Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть А Е м „ч — фиксироаанная матрица, Х вЂ” произвольный столбец высоты и, Умножение столбца Х на матрицу А слака яаляатся линейным отображемам пространстаа столбцов аысоты и а пространство столбцов аысоты т, Хбйчч~ ~ ЯХЕКмчь Образом линейного отображения А: У ч И' называется множество !га А всех элементов из пространства И', облалаюших слслуюшим свойством: элемент у лежит в нп А, если в пространстве У найдется элемент х, такой, что Ах = у. Примеры 1 . Образом операции диффаранцироаайия Э: М, - М, яалкатся совокупность многочланоа, ста. пеъ которых на пыже и — 1.
2'. Образ отображания подобия соападаат со асам пространстаом У. 3'. Образ отобрекания проектироаания Р; у у яалпатся подпросгранстаом Иг„= цеп..., еь) пространства у. 4'. Образ операции дифференцирования тт: тт - тт соападаат со всем пространстаом тт. Теорема. Образ нп А линейного отображения А; У вЂ” ТУ является линейным поднространством пространства ТУ. т Пусть у, и ут — элементы из!го А. Зто означает, что в пространстве У найдутся элементы х, и хт,такис,что Ах| = у|и Ахз = уг.
Из формулы Л1у, + Лгут = ЛгАХ1 + Л1Ахг —— А(Лгх1+ Лгхз) вытекает, что произвольная линейная комбинация элементов у1 и ут также лежит внпА,а Размерность образа линейного отображения называется рангом этого линейного отображения. Обозначение: гапб А. Определение. Линейные отображения А: У вЂ” Иг и В: У - ТУ называются равными, если для любого элемента х из пространства У выполняется равенство Ах = Вх. Обозначение: А = В. Теорема 1 (Построение линейного отображения). Пусть У и Иг — линейные пространства, с = (еп..., е„) — базис пространства У, о (и..., (н — произвольные элементы из пространства И'. Тогда супгествует и притом ровно одно линейное отображение А:У- И', для которого Аез=(ы й=!,...,п.
Глава Ч» Лииванме отобрвзензз 142 Д. Существование, Разложим произвольный элемент х из пространства У по базису е этого пространства, х = ~~ с»ей, »=! и построим отображение А: У - В' по следуюцгему правилу: я Ах = ~г с~Е». »=! (2) Ясно, что Ае» вЂ” — Ей, й = 1,..., и, В линейности отображения А убелимся непосредственно. Пусть н уел~ т) Ей, »=! дайян! пик! является множество решений однородной линейной системм ах=о. Тогда согласно правилу (2) я и я А(Лх + Езу) = ~~! (Л~~ + Езт)~)Е» = Л ~ с~Е» + Ез ~~ т)»Е» = ЛАх+ Е»Ау. й ! й=! й=! Б. Единственность. Покажем, что требованием (1) линейное отображение А определяется однозначно.
Пусть В: У вЂ” йг — линейное отображение и Ве» = Ей, й = 1 .т!. Вычисляя действия А и В на произвольный элемент х из У, убеждаемся в том, что в обоих случаях результат один и тот же— л я л к =З тг,=а тзч=а(З Г,) =к.. ь=! й=! й=! Значит, отображения А и В совпадают. ~ Таким образом, линейное отображение можно задать его действием только на элементы базиса, Ядролг линейногоотображения А: У - ГУ называется множество )гег А всех элементов из пространства У, каждый из которых отображение А переводит в нулевой элемент Он пространства ГУ. Прнмерм, 1 . Многочленм нулевой степени образуют ядро операции дифференцирования тт: М„М„.
2Я. Ядро отображения подобия состоит нз нулевого злемента От пространстве У. и Рнс. 3 3 . Ядром отображения проектирование й: У У является линейное подпространство це».гг,...„ е„) (рис. 3). 4". Ядро операции дифференцирования т»Т! Т! состоит из нуля. $ . Ядром отображения $2, Оперпцпп ппд пммапммп плпбрнпппнпмн Теорема 2. Ядро линейного отображения А: У - Ю является линейным подпрострапсивом пространства У. м Из равенств Ах = Вя и Ау = Вц вытекает, что А(Лх+ ру) = ЛАх+ рАу = Лбц + рбв = Вц . ь Размерность ядра линейного отображения называется де4ехтом этого отображения. Обозначение: бе(есг А. Для любого линейного отображения А: У вЂ” йг справедливо равенство (х) 92.
Операции над линейными отображениями Пусть й и Ю вЂ” линейные пространства и А: У -+ $Г, В: У вЂ” Ж вЂ” линейные отображения. Сумлюй линейных отображений А и В называется отображение С: в -+ $Г, определяемое п о следующему правилу: лля любого элемента х из У. Нетрудно убедиться в том, что отображение С является линейным. В самомделе, С(Лх+ ру) = А(Лх + ру) + В(Лх + ру) = Л(Ах + Вх) + р(Ау + Ву) == ЛСх + рСу. ~ Обозначение: С = А+ В. Произведением линейного отображения А: й — 2Р па число а назгявается отображение В: У вЂ” $т', определяемое по правилу для любого элемента х из й.
Отображение В линейно: В(Лх+ ру) = аА(Лх + ру) = Л(аАх) + р(аАу) = ЛВх+ рВу. > Обозначение: В = аА, В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением линейных операторов — линейных отображений, действующих из пространства У в это же пространство У, Среди рассмотренных выше примеров отображений линейными операторами являются дифференцирование,подобиеи проектирование; умножениестолбцанаквадратнуюматрицу также является линейным оператором. Оператор 2: У вЂ” У, задаваемый правилом 2х = х для любого элемента х из У, называется тождественным.
Введем операцию умножения линейных операторов. Пусть А: У ~ У и В: У ~ У вЂ” линейные операторы. Произведением оператора А на оператор В называется отображение С: К вЂ” й, определяемое по правилу (с =в[.ь~,) где х — произвольный элемент из У. Покажем, что С вЂ” линейный оператор: С(Лх + ру) = В(А(Лх +,иу)) = В(ЛАх+ рАу) = ЛВ(Ах) + рВ(Ау) = ЛСх + рСу. м Г И Лннааныв отобрпкмвм Обозначение: С = ВА. Замвчакнв.
Порядок сомножителея в произведении линсяныхоператороа является сушсствеиным, как показывает следуюшия пример. Пример. Пусть Р ю Пт. Отображения А:(Е',Ез) (Е',О); В:(Е,Е ) ь»(Е~+Е,Е ) — лннвпнмв операторы дапствуюшнв нз к~ в й~ (рнс. 4). тогда ВА'(Е', Ез) ь (Е', О), АВ:(Е', Ез) ь (Е~ + Е , О). Ясно, что прн Ез Ф О (ВА)(Е', Ез) ~ (АВ)(Е~, Ез), Пусть А: (г — (г — линейный оператор. ЛинейныйоператорВ: Тг - у называется обратным оператору А, если выполнены следуюшие равенства ВА =АВ=Т, (1) гле Х: Тг Тг — тождественный оператор.
т Предположим сначала, что обратный оператор В у заданного оператора А сушествует и покажем, что произвольно взятый элемент у из пространства у' непременно лежит в пп А. Подействовав оператором А на элемент х = Ву, согласно определению (1), получим Ах = А(Ву) = (АВ)у = Ху = у. Значит, элемент у является образом элемента х = Ву и, слеловательно, лежит в лп А. Тем самым, оп А = у.
Пусть теперьобразоператора А совпалает со всем пространством У: Рис. 4 1ЯТА = (г. Тогда гапй А = д)пз (г. Поэтому оператор А переводит базис пространства у снова в базис: А: е = (ен..., е„) — ( = ((н..., ( ), гле (» = Ае», й = 1,..., и. Построим линейный оператор В по следующему правилу В(а = е», й = 1,, .,, и. Согласно теореме 1, условием (2) оператор В определяется олнозначно. (2) Теорема 3.
Для того, чтобы у линейного оператора А: у' -ь у' был обратный, необходимо и достаточно, чтобы образ оператора А совпадал со всем пространством, нпА = У. $ а Операции най лиивйнынн отобрванниаыи <45 Пусть х — произвольный элемент пространства У. Вычислим (ВА)х и (АВ)х. Разложим х по базису е.
Имеем х = ~у с'е». й=! Подействовав на него оператором ВА, с учетом формул (2) получаем, что (ВА)хее(ВА)(~4~е») =В(Е(»Ае») = 2 саВ(Ае») = 2 С»ВЕ» = 2 с~е» ив е х. й=! й ! » ! » 1 й ! Аналогично, раскладывая элемент х по базису!, хси У т1(ы й=! и действуя на него оператором АВ, имеем и и и (АВ)х = 2, <1~А(В(») = 2', т1~Аей = 2 т!"1» = х. » ! Тем самым, ВАх=к, АВХ=Х лля любого элемента х из Р и, значит, ВА = АВ = л. ~ Звиечвы<в. В ходе доказательства втой теоремы иы установили также, что обратный к А оператор <т опрслслснодиозначно. Для оператора, обратного к А, принято следующее обозначение: А '.
От<де<вне. Линейньш оператор А: у — 1г обратим (имеет обратный) нюгда и только тогда, когда егаядра тривиальна, 1<егА = (ОР). Справедливость этого утаержления вь<текает из теоремы 3 и формулы (*) 5 1. '1 !' <1 $! Рис. 5 Припер. Линейный оператор гн(б,б ) (с', зб ) 146 Глава )П. Линейааэе отображение остэцестаммт равномаРное сжатие плоскости к оси ( (с коэффициентом т ); обратный оператор 2 А ': ((' б') - (б', $4') — равномерное растажание (с коэффэциентом -) (рис. б). М э 93. Матрица линейного оператора Пусть линейный оператор А: У - У преобразует элементы базиса е = (еэ,..., е„) пространства У последующему правилу Матрица столбцами которой являются координаты образов базисных элементов, называется матрицей линейного оператора А в базисе с. Пример 1.
Матрица О(т) оператора днффвренцнроввнип ээ: ЛГэ ЛГэ в баэнсв эс = 1, еэ = 1, р р еэ = —, еэ = — имеет вид аэ ээ Го 1 о о) (оо)О1( О(с) = ~ О О О 1 ~ . О О О ОЗ Пример 2, Матрица 0(т) оператора дифференцировании Р: Тэ - Тт е базисе еэ = солт, еэ = ты С имеет вид О(с) = ( О), так квк зээ = тэ солт= -к!от= -еэ = О еэ+(-1) ээ, Эээт = рк)нт=СОЭ1= ЕЭ вЂ” — 1 ЕЭ-;О ЕЭ. М Пусть у=Ах. Разложим элементы х и у по базису е: н н х = ~ С)е), у = ~э Паев. Координатные столбцы элементов х и у в базисе е связаны соотношением у(е) = А(е)х(е). $ 3.
Матрица пипеаного оператора м Сравнивая формулы тет У= 2 тртеа пал = Ах = Д С'Ае; = Д; 4' ('Я о,"е ) = ~„(Д ст,"С') еы в силу единственности разложения элемента у по базису е получаем ц =~~г а;С', А=1,...,п. г=! Записывая полученные п равенств в матричной форме (;Н::.:)(,') получаем требуемое равенство (1). а Теорема 4. Ранг матрицы А(е) линейного оператора А: У вЂ” У не зависит от выбора базиса е и равен рангу гапй А оператора А, м Так как нп А = Е(Аеп..., Ае„), гапйА(е) = гапйА. ~ Легко убедиться в том, что при сложении линейных операторов ихматрицы (вычисленные в одном базисе) складыва- ются, а при умнохсении линеиного оператора на число его матрица умножается на это число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
