Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Матрица произведения С = ВА операторов А и 8 равна произведению матриц этих операторов (от но си телы ю одного и того же базиса е ): С(е) = В(е)А(е). (2) то гапй А равен максимальному числу линейно независимых элементов в системе Аеы..., Ае„. В силу теоремы 4 главы Ч, последнее совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов матрицы А(е), т. е. с ее рангом. Таким образом, Гневе кп.
Линейные етобранеиик м Пусть Ае! = ~ а!"ек, Век=~Де . Тогда г и Се;=ВАе;=В~Я к ! Положим н и К и н н акен) = ~„"а~Век= 2 а~(~ Вкек) = ~,'(~ ))„ак)ек, к ! К=! ы! Ф=! и=! (3) з,тп= ),...,п. Тем самым С(е) = (у; ). Вследствие того, что А(е) = (ак) и В(е) = (Д, ), из формул(З) и (4) получаем С(е) = В(е)А(е). ~ Отсюда, в частности, вытекает, что (4) матрица оператора А !, обратного к А, лвллгтсл обратной к его матрице А. м В самом деле, из соотношений А 'А=У, АА '=Х, определяющих обратный оператор, получаем, что его матрица В удовлетворяет равенствам ВА=1, АВ=1, и, значит, является обратной к А: (В = А '.~~ (5) где 3 — матрица перехода от базиса с к базису е'. м Пусть у = Ах. Координатные столбцы элементов х и у относительно базисов е и е' связаны равенствами у(е) = Ах(е), у(е') = А'х(е') (6) соответственно.
Согласно свойству 2 матрицы перехода (в 5 главы и) имеем х(е) = Зх(е'), у(е) = Зу(е ). (7) Заменяя в первом из равенств (6) столбцы х(е) и у(е) их выражениями (7), получаем Зу(е') = АЗх(е'). Пользуясь вторым равенством (6), имеем ЗА'х(е') = АЗх(е'). Творении. Матрицы А = А(е) и А' = А(е')лингйногоонератора А; г - г'относительно базисов е и е' пространства кг связаны равенством А=В АЗ, $3. Матрица линваного оператора Отсюда в силу произвольности столбца х(е') получаем, что ВА' = А8. Так как матрица перехода 8 невырождена и, значит, обратима, то умножая обе части последнего равенства на матрицу 8 ' слева приходим к требуемой формуле (5).
ь Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса т Вычислим определитель матрицы А(е') = 8 'А(е)8. Имеем де«А(е') =де«(8 'А(е)8) =де«8 ' де«А(е) де«8 = де«А(е). Последнее равенство выполняется в силу того, что дег(8 ')=(де«8) .в Таким же свойством облалает и определитель матрицы линейного оператора А — «1, где 1 — тождественный оператор, а « — произвольное число.
м Рассмотрим матрицы этого оператора в базисах с и е' соответственно: А(с) — «1, А(е') — 4. Воспользовавшись равенством (5) А(е') — В = 8 'А(е)8 — В = 8 '(А(е) — В) 8 и доказанным выше следствием. получаем, что де«(А(е') — В) = дег(А(с) — В). ~ Пусть А = (а') — матрица линейного оператора А в каком-нибудь базисе. Функ- ция 1 он а,— « 1 = (-1) «+7,-1«+.. +7ьС+7ы Х(Г) = де«(А — Л) = он 1 Многочлен называется характеристическим многочленом линейного оператора А (матрицы А).
Его корни называются характеристическими, или собс«пвенными, числами линейного оператора А (матрицы А). з«(Ф) = де«(А — й) является миогочленом от «и, согласно только что доказанному, не зависит от выбора базиса. Расписавопределительматрицы А — б подробнее, получаем, что Глаз ОС. Линейные отобрикення 54. Собственные значения и собственные элементы Ненулевой элемент к Е Тг называется собственным элементом линейного оператора А: Тг — к', если найдется такое число Л вЂ” собственное значение линейного оператора А, что Ах = Лх. Пример 1. Всякий многочлан нулевой степени является собственным элементом оператора дифференцирования в и= —:лг -м; ят я к' соответствующее собственное значение равно нулю: л -(1) = О = О 1.
М еч Пример 2. Оператор дифференцирования в ту= —:т,-т, Ж' собственнык элементов нв имеет. < Пусть некоторый тригонометрический многочлвн а соз С + Д з! и С посла дифференцирования перека. дит а пропорциональный: тс(асозС+С)миг) = Л(асозС Ч.д миг). Это означает, что -а Мп С + Су соз С = Ла соя С + Лр з1п С или, что тоже, (Лр+а)мпС+(Ла-р)созС =О.
Последнее равенство выполняется в том и только е том случае, вопи а+ЛР=О и Ла — Р=О, откуда вытекает, что а = Р = 0 и, значит, многочпвн может быть только нулевым. м Теорема 6. Веи(ественнае число Л является собственным значением линейного оператора А в там и только в там случае, когда зта число — корень его характеристического многачленаг Л(Л) = О. Нвоходимость. Пусть Л вЂ” собственное значение оператора А. Тогда найдется ненулевой элемент э, для которого Ах = Лх.
Пусть с = (ем..., е„) — базис пространства. Тогда последнее равенство можно переписать в эквивалентном матричном виде А(с)х(е) = Лх(е) или, что то же (А(е) — Л1) х(е) = О. (1) И этого, что х — собственный элемент, вытекает, что его координатный столбец х(с) ненулевой. Это означает, что линейная система (1) имеет ненулевое решение.
Последнее возможно лишь при условии, что бе((А(с) — Л1) = О или, что то же, Л(Л) = О. $4. Собственные значение и ссбсменные алементы 1б1 Достаточность, Способ построений собственного апемента, Пусть Л вЂ” корень м ногочлена 2((1), т. е. у((Л) = де!(А(е) — Л!) = О, Рассмотрим однородную линейную систему с матрицей А(с) — Л(: (2) (А(с) — Л!) или, подробнее, (а! !— Л)с~+... +апс" = О, а!С + ...
+ (а,", — Л)С~ = О. В силуусловия (2) эта система имеетненулевое решение (!., . с". Построим элемент х по правилу я х = ~~, ((е( ~ Оу. Координатный столбец х(с) этого элемента удовлетворяет условию (А(с) — Л!)х(с) = О или, что то же, А(е)х(с) = Лх(е). Последнее эквивалентно тому, что Ах = Лх. действующего по правилу Р: с( + у)+ хй ~ я!+ у! (оператор проектирования) (рис.
6!. М Рассмотрим дайстаия линейного оператора Р иа базисные секторы Имеем Р! 1, РП й Рь в. Запиюем матрицу оператора Р= О ! О Рис. 6 построим характеристический миогочлен Г' О О! ! - Л О~ =-Л(Л вЂ” !)т О -Л Следовательно, х — собственный элемент линейного оператора А, а Л вЂ” соответствующее ему собственное значение. ь Замечание. Для нахождения всех собственных злсмснтоа, отасчаюших заданному собственному значению Л, необходимо построить ФСР системы (3). Пример 1.
Найти собстаеииью векторы линейного оператора ь Р;У У, збэ Глава УЬ Пинайюю отобрмкеюю и найдем его корни. Имеем Л1 = О. Лт,т = 1. Построим однородные пикейные системы с матрицами; (~~~) (~~3 Л=О Л =! Получим соответственно: (! -! Найдем фундаментальные системы рыданий для каждой из зтих систем.
Имеем Я ИИ Таким образом, собственными аакторами атого оператора лрсектироеания яаляютсж вектор Х с собстаенным значением О и любой вектор Ы+ И' (* + у ) О) с собстаанным значениам 1. ° Пример 2. найти собстаенныа алименты линейного оператора диффаренцироаания зт, дейстауккцего а лространстае Мт многочленоа степами не яьше дауд т)= —:о+рт+Зт р+тта И т ят м матрица О заданного оператора а базисе 1,1,Р имеетеид Оы О О 2 характеристический многочлен -Л имеет ровно один корень Л = О. Решением системы 3 2т = О является набор 1, О, О, которому соотаетстауат многочлен нулевой степени.
И 9 5. Сопряженный оператор Вевклидовомпространстве надлинейнымиоператорамиможноввестиещеоднодействие — операцию сопряжения. Пусть У вЂ” и-мерное евклидово пространство. С каждым линейным оператором АУ. У, действующим в этом пространстве; естественно связан другой линейный оператор, сопряженный данному. Определение, Линейный оператор А':У- У (читается) «а со звездойь) называется сопряженным линейному оператору А: У вЂ” У, если для любых элементов х и у из пространства У выполняется равенство (Ах, у) = (х, А*у). Линейный оператор А', сопряженныйданномуоператору А, всегда существует. Пусть с = (еС,..., е„) — ортобазис пространства У и А = А(с) = (ас) — матрица линейного оператора А в этом базисе, т.е. л Ае; = ~~) а',есп с = 1,..., и.
(2) С=С Непосредственными вычислениями можно убедиться в том, что для линейного оператора А': )г — )г, определяемого по правилу л А'ес=) )3,'.есу с =1,...,и, (3) С'= ! где )г( = атзэ т',с = 1,...,и, равенство(1) выполненоприлюбыхх и у. Напомним,чтосогласнотеореме1,длятого, чтобы построить линейный оператор, достаточно задать его действие на базисные элементы. Пример. Введем в линейном прсстрвнстве М! многочленов с вещественными коэффициентами степени не выме первой операцию скалярного умножения по следующему прввилу.
Пусть ф(С) = в + Ы, Ф(С) = с+ йС Положим (гр, ф) = ас е ЬИ. () Тем самым, М! — двумерное евклндово пространство. Пусть Р: М! М! — оператор дифференцированию Р(в+ И) = 6, Построим сопряженный оператор Р': М! М,. Многочлвны ! и С образуют сртсбззис прострвнствв МС, тзк квк согласно правилу (ь) (С, !) = (С, С) = 1, (С, С) = О. Матрица оператора Р в етом базисе имеет вид (О О) т. к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
