Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Определение. Прямая, для всех точек которой установлено указанное взаимоолнозначное соответствие с множеством всех действительных чисел, называется числовой осью или числовой прямой. В дальнейшем мы будем обозначать одним и тем же символом х действительное число х и точку х числовой оси. Числовая ось позволяет дать наглядное представление о расположении действительных чисел.
НеРавенство х1 < хз означает, что точка х~ лежит левее точки хз, двойное неравенство х1 < хз < хз означает,что точка ха лежитмежлуточками х1 и хз. 3.1. Простейшие множества чисел Дадим определения простейших числовых множеств, с которыми нам особенно часто придется иметь пело в дальнейшем. Для наиболее важных множеств приняты стандартные обозначения.
Так например, буквами Х К, Я, К обозначают соответственно множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Множество всех действительных чисел х (всех точек числовой оси), уловлетворяюших условию а < х < Ь, гле а < Ь, называется отрезком (сегментом) и обозначается (а, Ц. Множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих условию а < х < Ь, называется интервалами обозначается (а, Ь). Множествовсехлействительных чисел х, определяемых неравенствами а < х < Ь, а < х < Ь мы будем обозначать соответственно 1а, Ь) и (а, Ь| и употреблять в обоих случаях равносильные термины: нолуинтервол и нолуотрезок.
Мы булем рассматривать также бесконечные интервалы и полуинтервалы, вводя несобственные точки (числа) +оэ и -сю. Таким образом, Глава %1. Числовые ииеиестаа. Числеаые пасладеаательиасти (а, +ос) — множество всех действительных чисел х > а; [а, +со) — множество всех действительных чисел х > а; (-оо, Ь) — множество всехдействительных чисел х < Ь; ( — оо, Ь] — множество всех действительных чисел х < Ь; (-оо, +со) — множество Ж всех действительных чисел (числовая прямая). Олределеиие, Окрестностью точки хе числовой оси называется любой интервал, содер- жаший точку хе Пусть б — положительное число.
Оаределеиие. б-окрестностью точки хе называется интервал (хс — б, хс + б) симметричный относительно точки хс (рис. 4). Это — совокупность всех чисел х, удовлетворяющих неравенству хе хе+ б Рис. 4 [х — хе[ < б или,чтото же, хе — б < х <ха+ б. Отлтеделеиие. Интервал (хе — б, хе + б), из которого выброшена точка хс, иногда называют проколотой б-окрестностью точки хе.
Обозиачеиие: (хс — б, хе) 0 (хс хо + б). 54. Точная верхняя и точная нижняя грани множества Олределеиие. Множество Е дейс гвительиых чисел называется ограниченным сверху, если сушествует число а такое, что для всякого числа * б Е выполнено неравенство х < Ь. Например, множество Е = (-со, 1[ ограничено сверху. Определение. Множество Е называется ограниченным снизу, если существует число а такое, что для всякого числа х Е Е выполнено неравенство а < х. Так, множество всех натуральных чисел ограничено снизу. Определение. Множество Е называется ограниченным, если оно ограничено снизу и сверху, т.
е. если сушествуют такие числа а и Ь, что для всякого числа х б Е имеем а < х < Ь. 173 Ь Ф. Тачнаа ааркааа и чачава нажааа грим юеваетаа Отсюда следует, что множество Е ограничено, если оно содержится в некотором отрезке [а, Ь[. Множество, не являющееся ограниченным сверху (снизу), называется неограниченным сверху (снизу). Например, множество всех натуральных чисел является неограниченным сверху (но ограниченным снизу); множество всех отрицательных чисел является неограниченным снизу (но ограниченным сверху). Множество всех целых чисел, множество всех рациональных чисел, а также множество всех действительных чисел являются множествами, не ограниченными как сверху, так и снизу. Если множество Е ограничено сверху числом Ь, то это число Ь называют верхней гранью множества Е.
В этом случае любое число Ь', ббльшее Ь, тоже будет верхней гранью множества Е. Определение. Число М называется точной верхней гранью множества Е, если 1) лля любого х б Е выполняется неравенство х<М; 2) для любого как угодно малого числа е ) 0 найдется число х' е Е такое, что М вЂ” г<х'<М. Иными словами, точная верхняя грань множества Е есть наименьшая из всех верхних граней множества Е.
Точная верхняя грань множества Е обозначается М = ацрЕ или М= зцр(х) аел (сокрашение от латинского слова ацргегпшп — наивысший). Для множества Е, не ограниченного сверху, будем считать по определению точную верхнюю грань равной+со и писать зцр Е = +со. Если множество Е ограничено снизу числом а, то это число а называют ннзнней гранью множества Е. Ясно, что всякое число, меньшее а, тоже будет нижней гранью множества Е. Определение. Число гп называется точной нижней гранью множества Е, если !) длялюбого х б Е выполняется неравенство х)пз; 2) для любого сколь угодно малого числа г ) 0 найдется число х' б Е такое, что т < х < из+ г. Таким образом, точная нижняя грань множества Е есть наибольшая из нижних граней этого множества. Точная нижняя грань множества Е обозначается пь = !пГ Е или т = !и!'(х) нел (сокрашение отлатинского слова шипам — наинизший).
Для множества Е, не ограниченного снизу, полагаем !пу Е = — оо. 3?ь Гласа У)Ь Чнсасаме янюжестаа, Числовые последовательности Примеры, < Если Е =(я,Ь), то )пГЕ = я, тир Е= Ь. Если Е = (я, Ь), то опять $пГЕ = я, апрЕ = Ь. В персом случае )пГЕ и япр Е принадлежат множеству Е, ао втцтсм — нет. для множества ( ) 1 имеем ~пГЕ = В, апр Е = 1. > Справедливо следуюшее утвержлен ие, Теорема 1. Всякое огроиичеиное сверху непустое множество Действительных чисел имеет точную верхнюю грань, о всякое огроничеииое ситу — точную нижнюю гринь. 95. Логические символы.
Логические высказывания В дальнейшем изложен и и для сокрашения записи и для упрошения построения определений мы будем пользоваться некоторыми логическимисимволами и отношениями. Квонтор существовоиия 3 соответствует словам «существует», «сушествуют», «найдется». Квонтор общности У соответствует словам «для всякого», «для любого», «для каждого», «лля всех».
Будем называть высказыванием всякое повествовательное предложение, в отношени и которого имеетсмыслутверждать, истинно оно или ложно. Например, высказываниям и являются предложения «Математика есть наука», «2 меньше Злч «б есть простое число», Напротив, предложения «Закройте дверь», «Сколько Вам лет?* не являются высказываниями. Условимся обозначать высказывания буквами а, )3, у и т.д. Импликацик а ~ )3 (читается «если а, то )3» или «а влечет за собой )3») означает высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда а истинно, а )3 ложно. Соотношение «если а, то )3» не следует понимать как отношение основания и следствия. Напротив, высказывание а ~ )3 истинновсякий раз, когда а есть ложное высказывание.
Иными словами, из неверногосуждения следуетлюбое суждение: если 2 х 2 = 5, то сушествуют ведьмы. Экаиааленцнк а сь,д («а тогда и только тогла, когла )3») означает логическую равносильность высказываний а и )3. )ГоньюнкцГм а д)3 означает высказывание, составленное и з высказываний а и )3 при помоши союза «и» (читается «а и )3»), Конъюнкция а д )3 считается истинным высказыванием тогда и только тогла, когда оба высказывания а и )3 истинны. Диаьюнкцик а ту)3 означает высказывание, образованное из высказываний а и )3 п ри помощи союза «или» (читается «а или )3»). Ди зъюнкция атг)3 считается истинным высказыванием тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно изданных высказываний. Отрицание.
Пусть а — некоторое высказывание. Высказывание а называют отрииоиием высказывания а (читается «а с чертой» или «не а»), Высказывание а истинт<о, если а ложно и, наоборот, ложно, если а истинно. Отрицание не которого свойства содержашего кванторы тг, 3 и свойство А, получается заменой каждого квантора на двойственный (т. е. квантора обшности на квантор сушествования и наоборот) и заменойсвойстваА наегоотрицание А. При этом, если Д ~ у, то )~3 3~ у сь )3 д у.
5 5. Логические символы. Логические выскввыевиие 175 5,1. Необходимое н достаточное условия Пусть,З вЂ” некоторое высказывание. Всякое высказывание а, из которого следует 13, называется достаточным условием для Д. Всякое высказывание а, которое вытекает из 13, называется необходимым условием для Д. Например, пусть высказывания а и 13 таковы; а; «число х равно нулю»; Д; «произведение ху равно нулю». Тогда а является достаточным условием для Д.
»Чействительно, для того, чтобы про- изведение ху равнялось нулю, достаточно, чтобы число х было равно нулю. »Чля того, чтобы х было равно нулю, необходимо, чтобы произведение ху было равно нулю. Однако, Д не является достаточным для а; из того, что произведение ху равно нулю, не вытекает, что обязательно число х равно нулю. Теорему: если истинно высказывание а, то истинно высказывание !3», можно запи- сатьтак; а =ь 73 и выразить любой из следуюших Формулировок: «а является достаточным условием для !3»; «Д является необходимым условием для а», Если высказывания а и !3 таковы, что из каждого из них вытекает другое, т, е. а ~ Д и Д:» а,то говорят, что каждое из высказываний а и Д является необходимым и достаточным условием для другого и пишут а со !3.
»Чругие употребительные Формулировки; 1) для справедливости а необходимо и достаточно, чтобы имело место Д; 2) а имеет место в том и только в том случае, если выполняется Д; 3) а истинно тогда и только тогда, когда истинно Д. 5,2. Метод математической индукции Многочисленные примеры убеждают нас в том, что некоторое утверждение может быть справедливо в целом ряде частных случаев и в то же время бьгть несправедливым вообше. Вот олин из таких примеров.
Подставляя в выражение 991п'+ 1 вместо и последовательные натуральные числа!, 2, 3,..., 1О'о, мы будем получать числа, не являюшиеся полными квадратами. Однако делать отсюда вывод, что все числа такого вила не являются квадратами, было бы преждевременным; сушествуют и, при которых число 991п' + 1 есть полный квадрат. Вот наименьшее из таких значений и; 12055735790331359447442538767. Поэтому естественно возникает следуюший вопрос. Имеется утверждение а, зависяшее от натурального параметра (числа) и и справедливое в нескольких частных случаях. Как узнать справедливо ли это утверхгдение вообше !при всех значениях параметра и)? Этот вопрос иногда удается решить методом математической индукции (полной индукции).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
