Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Замечание. Отсутствие третьей коорлинатм (точнее, ее неявное присутствие) при вопит к нилинлрически поверхностям, направляющими которых являются кривые второго порялка, лема щне в плоскости Д = О и имеющие уравнение вила ЛгХ + Лзз + а44 — О. Глава Ч1. Пннвйнмв отобрмкенив (111) Ровно два корня равны нулю (для определенности Лг = Лз = 0).
Преобразованием координат аы Х=х+ —, У=у, Я=л л приходим к уравнению Лвахап ., г с . « .г:а 44, азс —— О. Преобразованием координат а24 + азад -аз42 + агед -2 -2 -г -г ст24 + ст34 с"24 + гт34 уравнение поверхности приводится к следуюшему вилу где Замечание. Преобразование координат, упрошаюгкее вил уравнения, выбирается так, чтобы новая коораинатная система вновь была прямоугольной лекарто воя Сдвигом начала координат а44 х=х, у=у+ —, 2ф ' получаем уравнение лагуабалическою цилиндра $ В. йлассивикааив кривых и поверившей втврсго передка б.
аы = азл = О. Уравнение Л»Х +а44 = О описывает либо пару параллельных плоскостей (Лг агл ( 0), либо пару совпадающих плоскостей(аы = О), либо пустоемнолсество(Л» аале > О). Упражнения 1. Проверьте, что оператор А, преобразуюший векторы трехмерного евклидова пространства по правилу Ах=(2х — х — х,х — 2т +х,х +х — 2х), з г г з г г з Вычислите ранг и дефект этого линейного оператора.
Э. Найдите матрицу оператора дифференцирования в двумерном линейном пространстве, натянутом набазисныефункции гр(Ц = е'сов!, ф(Ц = е'з|л!. 4. В базисе 1, 1, 1» пространства Мг оператор А задан матрицей Найдите матрицу этого оператора в базисе, составленном многочленами 3!» + 21, 5!г + 3! + 1, 7!г + 5! + 3. б. Вычислите собственные значения и собственные элементы операторов, заданныхматрицами: б) 2 1 -2 )(О 2)' б. Найдите солрязкенный оператор для поворота евклидовой плоскости на угол '-,. 7, Приведите квадратичнуюформу 2хг+ 5уг+ 2»г -4ху — 2ха+ 4уа к диагональному виду.
б. Определите вид поверхности второго порядка, заданной уравнением а) 7х + бу + 5аг — 4ху — 4уа — бх — 24у — 18» + 30 = О; б) х'+ 5уг + аг + 2ху + бха + 2уа — 2х+ бу ь 2а = О; в) 5х' — у'+ а'+4ху+ бах+ 2х+4у+ бх — 8 = О. Ответы 2. Базис образа уг — †(2, 1, !), уг — — (- 1, 2, 1); базис ядра к = (1, 1, 1); ранг равен 2; дефект 3 4 ~О) ~1) Лз = 3, 1, ~ О), ~ 1 ~ . б. Поворот на угол - г. 7. Х + 7У'-ь 2»; х = ~Х -ь ~зУ -ь ~»2; у = -2(У+ ~2; а = 7Х вЂ” -г!У вЂ” 752. В,а) эллипсоил —, + —, -ь -г- = 1; б) олнополостный г г, ! г 1 хг гг ег хг гг аг хг' зг гиперболоид т + ч- — Х вЂ”вЂ” 1; в) гиперболический лараболоид -г- - -г- = 22. г з Гг !ггт Ах = (х,а)а (а — фиксированнмй вектор), является линейным. 2.
Найдите образ и ядро линейного оператора А, преобразуюшего произвольный элемент х = (х, хг, х ) пространства ах' по правилу Глава И/ ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 91. Множества Понятие множества принадлежит к числу первичных, неопределяемых понятий. Употребляя термин «множество», будем понимать под этим любое собрание (совокупность) определенных и различимых между собой элементов, мыслимое как единое целое.
Например, мы можем говорить о множестве букв на данной странице, о множестве песчинок на морском берегу, о множестве всех корней уравнения„о множестве всех четных чисел и т.д. Если А — произвольное множество элементов, то утверждение «элемент а принадлежит множеству А» символически записывается так: а б А. Запись а б А (или а Е А) означает, что элемент а не принадлежит множеству А. Если каждый элемент из множества А входит и в множество В, то мы называем А подмпожссглпам множества В и пишем А С В.
Так, множество всех четных чисел Ж' является подмножеством множества Е всех целых чисел. Заметим, что всегла А С А. Если А С В и В С А, т.е. если каждый элемент множества А есть также и элемент В и наоборот, то мы говорим, что множества А и В равны и пишем А = В, Тем самым множество олнозначно определено своими элементами. Пользуясь этим, мы булем иногла обозначать множество его элементами, заключенными в фигурные скобки. Так А = (а), А = (а,Ь), А = (а,Ь,с) суть множества, соответственно состоящие из одного элемента а, двух элементов а и Ь, трех элементов а, Ь и с. Часто все элементы множества выписать затруднительно, или невозможно. В таких случаях невыписанные элементы будем заменять точками; А=(а,Ь,с,...) есть множество, состоящее из элементов а, Ь, с и, может быть, еше некоторых других.
Какие эти другие элементы, обозначенные точками, лолжно быть указано, например: множество натуральных чисел (1, 2, 3,..., и,... ); множество квадратов натуральных чисел (1, 4, 9,, оз,... ); множество простых чисел (2, 3, 5, 7,... ) .
Если А С В, но А ~ В, то А называют правильной частью множества В (исюаппым подмпоэсеством множества В). Иногда мы не знаем заранее, содержит ли некоторое множество хотя бы один элемент. Поэтому целесообразно ввести понятие пуспюгомпоэсесппга, т. е. множества, $ ь деастлл»елнме члслл. дбсслечелл величина 169 не содержащего ни одного элемента. Будем обозначать пустое м ножество символом В. Любое множество содержит пустое множество в качестве подмножества. Пусть А и  — два множества.
Их суммой или обаедине- В нием С = А»3 В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В (рис.1). А»2В Назовем пересечением множеств А и В множество С = ф»„- А Г» В, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В (рис. 2).
Например, если А = (1, 2, 3), В = (2, 3,4, 5), то А»2 В = (1, 2, 3,4,5), А г1 В = (2„3). Аналогично определяются объединение и пересечение В любого числа множеств. Если А Г» В = д~, то говорят, что множества А и В не пересекаются, Множество называется конечным, если оно состоит из некоторого натурального числа элементов. Например, конечным является множество всех жителейданного города, а также Рлс. 2 множество всех людей, населяющих планету Земля. Непустое множество называется бесконечным, если оно не является конечным.
Так, множество 1»1 = (1, 2,... ) всех натуральных чисел является бесконечным множеством. Пусть А и  — некоторые множества. Говорят, что между множествами А и В установлено взаимнооднозначное соответствие, если каждому элементу множества А поставлен в соответствие один элемент множества В так, что: 1) разным элементам множества А поставлены в соответствие разные элементы множества В и 2) каждый элемент множества В поставлен в соответствие некоторому элементу множества А, Если междудвумя конечными множествами А и В удалось установить взаимнооднозначное соответствие, то множество А и В имеют одинаковое число элементов. Множества А и В, междукоторымиможноустановить взаимнооднозначное соответствие, называются эквивалентными. Обозначение: А В. Бесконечное множество А называется счетным, если можно установить в за и мнооднозначное соответствие между множеством А и множеством 1»1 натуральных чисел, т.
е. если А ° )ч). Каждое бесконечное множество содержит счетное подмножество. 92. Действительные числа. Абсолютная величина Числа 1, 2, 3,..., п, п+ 1,... называются натуральными числами. Дроби вида »и где тп и и — натуральные числа, а также число О называются ракиональными числами. В частности, рациональным будет каждое натуральное и каждое целое отрицательное число. Любое'рациональное число выражается либо конечной, либо бесконечной периодической лесятнчной дробью. Кроме рациональных чисел существуют еще иррациональные числа, которые выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Например, ъ~2 = 1,41..., 1г = 3, 14....
Главе Уа. Чпепееме ипояеьтеа Чпепоеме пеетяееезельнотя 1то Рациональные и иррациональные числа называются действительиыми (вещественными) числами. Можно показать, что множество всех рациональных чисел счетно. Множество всех действительных чисел счетным не является. Мы будем предполагать, что основные свойства действительных чисел и арифметические действия над ними известны из школьного курса математики. Определение. Абсолютной величимой (модулем) числа а называется самочисло а, если а— положительно, и число — а, если а — отрицательно. Абсолютная величина нуля есть нуль.
Абсолютная величина числа а обозначается символом |а!. Таким образом, по опре- лелению Если а ) О, то отношение |х! < а эквивалентно отношению -а < х < а (проверьте это!). Для абсолютных величин верны следуюшие соотношения: 1. |а Ь! = |а| ° |Ь!; 2 /-~= — (ь~о), Справедливость этих соотношений вытекает из правила умножения и деления дей- ствительныхчисел и изопределения абсолютной величины. 3. |а + Ь! ( |а! + |Ь!, т Сложив почленно очевидные неравенства — |а| < а < |а|, — |Ь| <Ь < |Ь), получим двойное неравенство — (|а|+ |Ь!) ( а+Ь ( |а|+ |Ь!, равносильное неравенству |а+ Ь! < |а! + |Ь!, м 4.
||а! — |Ь)! ( |а — Ь! т Так как |а| = |(а — Ь) + Ь! ( |а — Ь! + |Ь!, |а! — |Ь! < |а — Ь|, то Из неравенства |Ь! = |(Ь вЂ” а) + а! ( |Ь вЂ” а! + |а! = |а — Ь!+ |а! |а| — |ь| > — |а — ь|. получаем,что (2) 53. Чвсвовав ось.
Лросгейыве мвоиесгва чвсев 17! Из соотношений (1) и (2) следует — ~а — Ь~ < ~а~ — ~Ь~ < ~а — Ь~, что равносильно неравенству ))а( — )Ь)) < )а — Ь). и 93. Числовая ось. Простейшие множества чисел Действительные числа изображаются точками прямой. Делается это так. На некоторой прямой (булем очи- О и Я тать ее расположенной горизонтально, рис. 3) выберем положительное напра- О вление, начало отсчета О и единицу внс. з масштаба и. Для изображения положительного числа а возьмем на нашей прямой справа от начала О точку на расстоянии (в принятом масштабе), равном данному числу а; лля изображения отрицательного числа а возьмем точку слева от начала О на расстоянии, равном ~а~; числу а = О будет отвечать точка Π— начало отсчета. Таким приемом мы устанавливаем взаимноолнозначное соответствие между всеми точками прямой и множеством действительных чисел: кажлое действительное число будет изображено одной определенной точкой прямой, причем каждая точка прямой будет изображением одного определенного действительного числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
