Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Элементы х и у называютсяортогональнмми, если(х, у) = О. Для ортогональных элементов из соотношения (2) вытекает равенство Рис. а являюшееся обобшением известной теоремы Пифагора: квадрат длины суммы ортогональных элементов равен сумме квадратов их длин (рис. 8).
Система элементов (ц..., (ь называется ортогональной, если (1ь (1) = О при т Ф З, и ортонормированной, если Определение, Символ 1, если т =у, ~ О, если т ~ у', н а зы ва ют символом дронекера. Теорема 9. Ортонормированная система элементовлинейно независима. $7. Метод ортогоиееиееции < Умножая обе части равенства а1(! +... + аь(ь = 9 скалярно на элемент 1, 7' = 1,...,/с, получаем, что ау((тч (,) = О. Итаккак(1,1) =1,тоа, =О,у = 1,...,й. м 5 7, Метод ортогонализации Покажем, как, пользуясь заданной системой линейно независимых элементов 11,..., (е евклидова пространства Е, построить в нем ортонормированную систему из й элементов. м Положим К! = 11.
Для того, чтобы элемент Кт = 1! — й!К! был ортогонален элементу К1, необходимо выполнение следуюшего равенства: О = (дт,р!) = (11,91) — о,(кн К1), откуда ((г К1) (к,к1)' Тем самым, элемент (12 К1) К2=(2 К1 (к,к ) ортогонален элементу К, (рис. 9а). а) К1 = Г! Рис.з Пользуясь построенными элементами К,, К, и заданным элементом (з, построим элемент К! = 13 !9!К! 172К2 ортогональный как элементу К1, так и элементу К!. Для этого коэффициенты !91 и 9! должны удовлетворять следуюшим условиям: О = (зз, р!) = ((з, К1) — А(К1, К1), О = (рз и!) = ((з, Кт) — 1уз(Кн Кт), откуда ((з, К!) ((з, Кг) А= — ', А= (К! ° К1) (К2 К2) 136 Глава Ч. Лииайиыв и ваимдовы пространства Таким образом, элемемт ((3, К!) ((зг Кз) Кз 3, К! Кз (Ь, К ) (Кп Кг) ортогонален элементам К, и Кз (рис.
9 б). Аналогичными рассуждениями можмо показать, что элемент ортргонален элементам Кь Кг,, К;-!. делемиемкаждогоэлементаК! (з = ) „...,/с) маегодлиму! К!)* Кз получаем ортомормированмую систему К! К1 Кз е,= —, е,= —, ..., ел=— )Кз! )Кз) )Кв) (рис. )О), м Базис е = (е| ... е„) евклидова пространства называется ортонорлгированным, или ориюбазисолг, если е, Рис. 1О Суммируя вышеизложенное, получаем слелуюший результат. Теорема 10. Влгобом евклидовом лргзстранстве существует ортолормировонный базис. Пример.
методом ортогонализации построить ортонормированныа базис евклидова пространства е по вго базису а, = (1, 2, 2), аэ = (3. О, 3), аэ = (5. ! 1) ° Полагаем Ь| = а, и Ьэ = лз — оЬ|, Для того, чтобы вектор Ьэ = аз — оЬ| был ортогоналвн вектору Ь|, необходимо выполнение нераввиства О =(аз, Ь!) — о(Ь!,Ь|), опгуда (аэ, Ь!) (аэ,а|) 9 (Ьь Ь,) (а|, а|) 9 твм самым, Ьз = (3, О, 3) — 1 (1, 2, 2) = (2, -2, !). Для того, чтобы вектор Ьэ = аэ — ззЬ! — '|Ь| был сртогонален векторам Ь| и Ьз, наобкодимо выполнение равы|отв О = (аз, Ь!) — !3(Ь!, Ь!), О = (аз, Ьэ) - у(Ьь Ьэ), (аэ. Ь!) 9 (аз. Ьэ) 9 — = — =1, т= — =-=!.
(Ьз, Ь!) 9 ' (Ьз, Ьз) 9 Тем самым, вектор ь, = (3, |,1) — !.(1,2,2) — 1 (г,-г,!) =(г, |,-г). Система векторов Ь|, Ьэ, Ьз ортогональна. Поделив каждый вектор на его длину, получим (3' 3' 3) ' (3' 3' 3) (3 3' 3) — ортонормированный базис пространства Е. ° 1зт е 6. Ортегаеельеее аееелнееее При помощи ортонормированного базиса скалярное произведение элементов вычисляется особенно просто. Пусть е = (е! ... е„) — ортонормированный базис пространства Е.
Вычислим скалярное произведение элементов х и у, предварительно разложив их по базису е Имеем В частности Откуда 9 8. Ортогональное дополнение Пусть И' — линейное подпространство евклидова пространства У. Совокупность |Г~ элементов у пространства У, обладающих свойством (у,х) = О, где х — произвольный элемент из И', называется ор!яогонагьныл дополнением подпространства И'.
Другими словами, ортогональное дополнение И'~ состоит из всех элементов у, ортогональных всем элементам подпространства И'. Свойства ортогонального дополнения 1. Игз — линейное подпространство пространства У, < Пусть элементы у!, уз лежат в И"з,т.е. (у!,х) =О, (уз,х)=О для любого элемента х из $У.
Складывая эти равенства и пользуясь свойствами скалярного произведения, получаем, что (у!+уз,х) =О лдя любого элемента х из И'. Это означает, что у! + уз Е И'~. Из того, что (у, х) = О для любого элемента х из И', вытекает равенство (ггу, х) = а(у, х) и, значит, включение ау Е Иг . ь 2. У = 1УЮИ"'. Глава Ч. Линейные н евюмдовы пространстве Свойство 2 означает, что любой элемент х пространства И можно представить, причем единственным образом, в виде суммы элементов из Й' и )т к = У+2. (в) Элемент у Е Иг называется ортогональной лроекцией элемента х на линейное надпространство )и, а элемент 2 б )т' — его ортогональной составллгои(ей (рис.
11) . Покажем, как по заданным элементу х и линейному надпространству $т найти его ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую 2. Рис. 11 м Можно считать, что в линейном подпространстве Иг задан ортонормированный базис е1,..., еь. Запишем искомый элемент у в виде линейной комбинации у = а,е, +... + аьеь. Подставляя это выражение в формулу (*): Х = а,Е, +...
+ ааЕл + 2 и умножая обе части полученного равенства последовательно на элементы е!,..., еь, в предположении 2 .ь тт приходим к соотношениям (х,е!) = а1, ..., (х,еь) = аь. Элементы у= (х,е1)е, +... +(х,ев)еь и 2 =х — у обладают требуемыми свойствами. ь пример. найти ортогональную проекцию вектора х = (4, 2, 3, 5) нв линейное надпространство и' с й~, заданное системой уравнений т + *т + вт + лч = О, ( в! — вт — вт ч- вк = О. е Векторы в! = (1,0, О, — 1) и в! = (0,1,-1,0) образуют фундаментальную систему рвювний и, следовательно, базис надпространства Иг.
Кроме того. векторы в! и ат ортогснвльны. Для того, чтобы построить ортонормироввнный базис надпространства Иг, достаточно разделить зти векторы нв их длины. В рвзультвтв получим 1 1 1 1 е!=( —,0,0,— — ), ет=(0,—,— —,О). Вектор у = (х е ) е, в (х, ет)от = Я вЂ” -~5) . ( ~, 0 О, — ~) + (~~5 — ~р)) (О, ~;, — ~, 0) = —,' (-1, -1, 1, 1) является ортогональной проекцией вектора х = (4, 2, 3, 5), нв подпрострвнство И', в вектор к = х — у = (4-,25, 2-,4-) 1 ! ! — вго ортогональной аостввляоитвй.
ь 59. Унитарные пространства унитарным пространством называется линейное комплексное пространство кГ, в котором каждой упорядоченной паре элементов х и у из кт ставится в соответствие число — скалярное лроизвгоение (х, у) так, что лля любых элементов х, у и 2 из тт и любого комплексного числа а выполняются следующие соотношения: !89 В 9. Унитарные пространстве 1. (у, х) = (х, у) (черта в правой части указывает на операцию комплексного сопря- жения); 2. (х+у,л) = (х,к)+(у,л); 3. (ах, у) =а(х, у); 4. (х, х) > О, причем равенство (х, х) = О возможнолишьв случае, если х = В, Призер. е координатном пространстве С', элементами которого являются всевозможние упорядочен.
нме наборы и комплвкснмк чисел, скалчнов произведение можно ввести так (Е п)=Е('чт, пм где Е, = (( ...,, с"), ч = (ч,..., ч") е С'. ° Упрвжиеиий 1. Найдителинейнуюоболочку, порождаемую многочленами 1+!', !+!',! +!+!'. 2. Явллетсл ли система вектоРов х,, хз, х, пРостРанства Из линейно зависимой, если: а) х, = (1, 2, 3), хт = (4, 5, 6), хз — — (7, 8, 9); 6) х, = (1, 4, 7, 1О), хз = (2 5, 8, 1 1), хз = (3 б 9 12)7 Э.
Показките, что система векторов х, = (1, 1, 1), хт —— (1, 1, 0), хз = (О, 1, -1) образует базис линейного пространства 82 . 4. Дополните систему векторов (1, 1, О, 0), (О, О, 1, 1) до базиса линейного пространства !йк. 6. Проверьте, что векторы (2, 2, — 1), (2, — 1, 2), (-1, д 2) образуют базис линейного пространства Кз, и найлите координаты вектора х = (3, 3, 3) в атом базисе. В, Определите размерность и найдите какой-нибудь базис линейной оболочки, натянутой на систему векторов х, = (1,2, 2, — 1), хз = (2, 3,2,5), хз = (-1,4,3, -1), хч = (2,9, 3, 5) нз линейного пространства К'. 7.
Найдите угол между векторами(2, -1, 3, — 2) и (3, 1, 5, 1) евклидова пространства ж". В. Примените процесс ортогонализации к системе векторов (1, -2, 2), (-1, О, — 1), (5, — 3, -7) пространства !йз. 9. Найдитеортогональнуюпроекциювектора хнаподпространствоЬлинейногопространства 31~ и его ортогональную составляюшую, если х = (2, -5, 3, 4), а Ь натянуто на векторы (1. 3, 3, 5), (1, 3, -5, -3), (1, -5, 3, -3). Ответы 1,СовокупностьМт всехмногочленовстепениневыше2. 2,а)да;6) да. 4. Например, (0,1, 0,0), (0,0,1,0). 6.!.1,1. 6. 4; хг,хз,хз хт. 7, "-„.
В. (з ° з з)' ( з з !) (з зз з). 9. у = (О, -3, 5,?), л = (д -2, -2, 2). Глава И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 51. Определение линейного отображения. Образ и ядро линейного отображения Пусть К и ттг — линейные пространства (либо оба вен(ественные, либо оба комплексные). Линейным отобраэгсением линейного пространства У в линейное пространство т»г называется правило А, согласно которому каждому элементу х из пространства У ставится в соответствие (единственный) элемент у = Ах из пространства )тг так, нто 1.
А(х, +хз) = Ах) +Ахз, 1. А(ах) = аАх. Эти два требования можно обвединить в одно: Обозначение» А: (г - »т. Примерм линейнмх отображений, 1, Пусть У м И' = М», где М» — пространство многочлвнов, степам которых ив выше и. Правило й т» = —: М» -' М» б( ' согласно которому каждому ынсгочлвну из М„ставится в соответствие его производная, является лннайным отображением (производная суммы равна сумме производных, постоянный сомножитель можно выносить из-под знака производной).
2. Правило, по которому каждому элементу х из У ставится в соответствие элемент Лх из У (Л Ф 0 и фиксировано), — лрьюбраэоааннв подобна — является линейным отображением (рис. 1). 3. Пусть с = (еп..., е„) — базис пространства У. Поставим произвольному алементу Рис. 1 » х =б'е»+...
+с еэ+... +4"ел =~;с»ег 1=» в соответствие элемент (здесь а < и фиксировано). Правило З»; У У является линейным отображением н называется отображением проектирования (рис. 2). Рнс. 2 141 б!. Определите лннеимго отобрпкееа. Образ н ядро ееейного отобрпкениа 4, Совокупность Тт тригонометрических многочланоа аида и сок 1+ р з1пг образует линейное пространстао Прааило яаляатся линейным отображенном б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
