Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Р( !) = О, Р(С) = !. Тогда (О О) — матрица сопряжвмюго операторе Р', действующего по прввилу: Р'(!) = С, Р'(С) = О, Для произвольного многочленв тр(С) = а + ЬС получаем Р:а+ЬС Ь, Р':а+66~ аС,И Свойства операции сопряжения 1, Укаждого линейного оператора существует ровно один сопряженный ем у оператор. м Пусть В и С вЂ” операторы, сопряженные заданномуоператору А. Это означает, что для любых элементов х и у из пространства У выполняются равенства (Ах, у) = (х, Ву), (Ах, у) = (х, Су).
Отсюда вытекает, что (х, Ву) = (х,Су) и, далее (х, Ву — Су) = О. В силу произвольности выбора элемента х заключаем, что элемент Ву — С у ортогонален любому элементу пространства Г и, в частности, себе самому. Последнее возможно Глава УЬ Линейнме отображены лишь в случае, когда Ну — Су = О и, значит, Ву = Су. Вследствие того, что у— произвольный элемент, получаем Н = С. ь 2.
(аА)' = аА", где а — произвольное вещественное число. Пусть А: У вЂ” У и й У вЂ” У вЂ” линейные операторы. Тогда 2. (А+ 8)" = А' + Н'; 4. (АИ)' = В*А',. 6. (А')* = А. М Свойства 2-5 легко вытекают из единственности сопряженного оператора. )и Замечение, Полчсркнсн, что свойство б справедливо только лля нвтрни, постросннмх в ортонормнро- ввннон базисе. Для произвольного бвзнсв оно неверно. 7.
Если линейный оператор А невырожден, то сопряженный ему оператор А' также невырожден и выполняется равенство (А ')' = (А') '. 96. Симметричный оператор Линейный оператор А называется самосопрялгенным (или симмепгричмым), если он совпадает с сопряженным ем у оператором А", т. е. А' = А. В силу свойства 6 из предыдушего параграфа матрица самосопряженного оператора в ортобазисе симметрична, т. е. не изменяется при транспонировании. Поэтому самосопряженный оператор называют также симметричным оператором.
Пример. Рассмотрим опервтор Р ортогонвльного проектироввнил трехмерного евклидова пространства Оэрт нв координатную плоскость 0лр )рнс. 7). в ортобвзисе 1 ), ь матрица этого опмзвторв имеет следующий вид гтек квк Рг = ), РЗ = й РЬ = д), т.е. являетсв симметричной.
Значит, оператор проектирования Р симметричен. В Рнс. 7 Симметричный оператор обладает рядом замечательных свойств. 6. Пусть е — ортобазис пространства У. Для того, чтобы операторы А:У вЂ” У и й У вЂ” У были взаимносопряженными, т.е. выполнялись равенства В = А*, А = В', необходимо и достаточно, чтобы их матрицы А = А(е) и В = В(е) получались одна из другой транспонированием.
$6, Снммвтрнчныя опврвтср Свойства симметричного оператора Первые два вытекают из его определения. Ь Для того, чтобы линейный оператор А: У з У был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы для любых элементов х и у из пространства У выполнялось равенство (б) (Ах, у) = (х, Ау). 2. Для того, чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в (каком-нибудь) ортонорм ированном базисе была симметрична. 3.
Характеристический многачлен симметричного оператора (и симметричной матрицы) имеет только вещественные корни. Напомним, что вещественный корень Л характеристического многочлена линейного оператора А является его собственным значением, т.е. существует ненулевой элемент х (собственный вектор оператора А), который оператор А преобразует так; Ах = Лх, 4. Собственные элементы симметричного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
м Пусть х, и хз — собственные элементы оператора А, Ахз —— Л~хн Ахз = Лзхм и Л~ 4 Лз. В силу симметричности оператора имеем (Ахы хз) = (хы Ахт). С другой стороны, (Ахи х,) = (Л~хнх,) = Лз(хм х,), (хм Ахз) = (хн Лзхз) = Лз(хм из), Из вытекающего отсюда равенства Л1(хы хз) = Лз(хы хз) получаем, что (Л~ — Лз)(хы хз) = О.
Отсюда в сафу неравенства (Л~ — Лз) ~ О имеем $. Пусть А: У вЂ” У вЂ” симметричный оператор. Тогда в пространстве У существует ортонормированный базис с = (ен..., е„), состоящий из собственных элементов оператора А: Ает=Леп всв1,,и; (ет,еу)=б;, з,у'=1,...,п В приведенном выше примере таким базисом является тройка 1, Л Уд векторы 1 и ) — собственные векторы оператора проектирования Р с собственным и значениями, равными единице, а к — его собственный вектор с нулевым собственным значением. 6.
Пусть А: У вЂ” У вЂ” невырожденный симметричный оператор. Тогда обратны й ему оператор А .': У вЂ” У также является симметричным. Звмвчммв. Всс собствснныс значсния нсвыролотснното оператора отличны от нуля. Если Л И' б— собствсннос значение опсраторв А, то — — собствсннос значснис обрапмто опсраторв А '. Симметричный оператор называется лолохгилмльиым, если для любого ненулевого элемента х из пространства У выполняется неравенство (Ах, х) ) О. Глава ус Лииейныв отображена Свойства положительного операторе 1.
Симметричный оператор А: е' — ьг является положительным в том и только в том случае, когда все его собственные значения Лн... „Л„положительны. 2, Положительный оператор невырожден (обратим). 3. Оператор, обратный положительному, также положителен. 97. Квадратичные формы Пусть А = (аб) — симметричная матрица порядка и,, о т = аб. Выражение н и ~ ~ оп с'сз туп называется квадратичной формой переменных б',..., б". Матрица А называется ма трицей этой квадратичной формы.
Примером квадратичной формы двух пврвменньж * и у может служить выражение ахз ч- Зьау+ су где а, Ь и с — некоторыв действительные числа; вв матрица (Ь с)'» Набор чисел Г',..., б" можно рассматривать как координаты элемента и-мерного евклидова пространства (Г в некотором фиксированном ортобазисе е = (ен..., е„) этого пространства, х=б'ег+... +Сне„.
Тогда выражение (1) будет представлять собой числовую функцию аргумента х, заланную на всем пространстве )Г. Эту функпию принято обозначать так:,ст (х, х). О такой квадратичной форме Ф (2) говорят, чтоона задана в п-мерном евклидовом пространстве Ьг. Со всякой квадратичной формой лг(х, х) естественно связана симметричная билинейная форма где т)',..., т)" — координаты элемента у в ортобазисе с: ! и у=т) е, +... +т) е„. Замечание.
Форма (3) назыаастсл билинейной, так как она линсйна по кажлому аргументу — и по л, и пор: ,сУ(о~х~ + озхз,у) = ог сг(хну)+и сгг(хз,у), , СГ(Х р й ~ Ч- раут) = р|-гтг(Х, у ~) + рЗ.СГ(Х, у З) (ъзссь оы оз, д ггрт — произвольные чзгсла). Ь т, Квадратичные формм звт Билинейная форма (3) называется симметричной вследствие того, что ее значение не зависит от порядка аргументов, Вычисляя значения билинейной формы.сг(х, у) на базисных элементах, т. е. полагая х = ек, у = е,„, получаем, что ,як(ек, е ) = ак (4) Зто означает, что элементы матрицы А квадратичной формы (2) суть значения билинейной формы на элементах базиса е.
(римером билинейной формы может служить скалярное проиаеедение векторов и-мерного косрдинатнаго лространстаа Ия (вд») м('в'+ "+б"в", где й = ((',. ",("), » = (в',...,ч" ) е Вя. Соответствующая кеадратинная форма (й(' =(Е,е) =((')'+" -:-(С")'. определяет кеадрат длины вектора Е,. ь При переходе к другому базису координаты элемента х изменяются. Меняется и матрица А = А(е) квадратичной формы. В приложениях часто возникает необходимость приведения квадратичной формы к наиболее простому виду.
Таким видом является диагональный, или нормальный вид. Будем говорить, что квадратичная форма в базисе е имеет нормальный вид, если все коэффициенты при произведениях различных координат равны нулю, т.е. а; = 0 при т уЕ 2'. Тогда ту(х, х) = ап(С ) + азз(С ) + ° ° + алл(С ) ° Матрица квадратичной формы в этом базисе имеетдиагональный вид: Теорема 7. Длякаждойквадратичнойформы, заданной в евклидовом нростронстве, можно указать (ортонормированный) базис, в котором ее матрица имеет диагональный вид..
м Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, воспользуемся свойствами симметричного оператора. Построим линейный оператор А: к — Тг так, чтобы его матрица (а') в базисе е совпадала с матрицей (аб) квадратичной формы в этом же базисе е, т.е. положим а' = ачь В силу симметричности матрицы (а() оператор А симметричен.' Вычислим (Ах, х).
Замечая, что (Аенез) = аз = а; вследствие ортонормированности базиса е, получаем [л,, ~=(л(йткк), гт',) ггг\ ~ля, >= г. тт'=иь, к т !,тны I гьиз ! Сз см Глава т!. Линейные отобрвиевив Тем самым, мы установили важную связь !Ямал:Я (5) между квадратичной формой, заданной в евклидовом пространстве У, и действующим в нем симметричным оператором. В силу симметричности построенного оператора А в евклидовом пространстве тг существует ортонормированный базис Е = (Е!,...,Е„), состоящий из собственных элементов оператора А: 'АЕт, =Лл(а Ус = 1,...,и! (ЕЛ,Е ) = ба . Заметим, что (АЕИЕ ) = (Лл(„, Е ) = Лада„= Разложим элемент х по базису Е, л х = ~ тЕ"Ев, а=! и вновь вычислим (Ах, х).
Имеем (ив Ч= (и(Ет ~). Йт ~ ) = к, «т (Ацк )=Е1(ч!', Отсюда в силу равенства (5) получаем, что л ,рт(х, х) = ~ Лл(тг")~. в=! Тем самым, матрица А(Е) исходной квадратичной формы в базисе Е является диаго- нальной: л О Сам диагональный вид квадратичной формы можно (с точностью до порядка слагаемых) записать и не вычисляя элементов базиса Е. Достаточно найти собственные значения линейного оператора А или, что тоже самое, собственные значения матрицы А = (аб) и выписать их с учетом кратности.
Пример. Привести квадратичную форму зт(к, к) = 2ку !- 2рв+ 2вв к диагональному виду. < запишем матрицу квадтатичной формы и построим ее характеристический мноточлен ! -Л ! ! ! -Л ! =-Л +ЗЛ+2. ! ! -Л бт. Квадратичнывформы 150 Приравняв получммов выражвниа к нулю, найдем вго корню Л! = 2, Лз,з = - 1, Твм самым, .гу(х,х) = 2й — у — у . Пастрое»ив соотввтствуюцвго артабазиоа сложнее. Собственные ввкторы симметричного оператора А суть собстввнныв векторы матрицы квадратичной формы Найдем их Пусть Л = 2. Рассмотрим однорОдную линейную систему с матрицвй 1 -2 ! Всв рвювния систвмы -2л+ у+ к=О, л — 2у+ л=0, л+ у — 2з =0 пропгчзциональны набору (1 1 1) . Пусть Л = — 1.
Однородная линейная систеиа с матрицвй сводится к одному уравнению к+у+з=О и имеет два линейно нвэависимых решения. выберем их так, чтобы они были ортогональнье ( 1 -2 ! ), (! 0 — 1) . Лвгкоубвдиться в том, что векторы с найдвнными координатными столб. Т т цами попарно ортогональны. Пронормирувм их: (у) у) у)) (~ л л) (л ' л) . г+)+а 1-2)+а - г-1» ьз чб ъ2 Искомый базис построим Замечание. в качестве пространства У можно взять любое и мерное евклидова пространства. Однако в звлвчвх наиболее часто встречается хоардллемлае пространство и", злементвми каторога являются всевозможные упорллоченные наборы лействнтельных чисел — с = (4',..., ("), стандпртный базис состоит нз наборов (! О,..., О 0), (О 1...., О 0),..., (О О,..., 1, 0), (О О...., 0 1), а скалярное произвеление наборов е = ((',..., С") и ч = (т)',..., ч") определяетея формулой (а д) = ('О' -» . " + ("О".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
