Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В основе этого метода лежггт принцип математической индукции, заключаюшиггся в следуюшем. Принцип математической индукции. сели 1) утверждение а(п) справедливо для и =. 1; 2) из справедливости утверждения агп) для какого-либо натуральною числа и =. а следует его справедливость для и = а + 1, то утверждение а!и) справедливо для всякою натурального и. 176 Глава Ча. Числовые множества.
Числовые последовательности Этот принцип принимаютв качестве основного положения математическогомышления. В качестве его п ри менени я установим одно неравенство, называемое неровенсн>вом Бернулли: если И > — 1, то м В самом деле, неравенство (*) верно для и = 1. Допустим, что оно доказано для некоторого натурального п = т > 1, т. е. (1+ И) > 1+ тИ, и покажем, что оно справедливо при п = т + 1. Умножим обе части последнего неравенства на 1+ И > О. Имеем (1+ И)~"' > (1+ тИ)(1+ И) = 1+(т+1)И+ тИ'. Отбрасывая справа неотрицательное слагаемое тИ>, получим (! + И) > 1+ (т+ 1)И, т.е. неравенство оказывается верным и для т+ 1. Следовательно, согласно принципу математической индукции, неравенство (*) вернодля всякого натурального числа и.
96. Числовая последовательность и ее предел Если каждому натуральному числу и по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число а„, то говорят, что задана числовая носледовотельносн>ь а>, а>,..., а„,.... Числа а>, аз,..., а„,... называются членами последовательности; а„называют общим членом последовательности. Он содержит закон образования членов последовательности.
Ради сокрашения записи последовательность а>, а>,..., а„,... будем обозначать [а„) >. Примеры последовательнсстеа: (2") = 2,4,8,...,2",...; 1>) = », , »... , ....; (сов п) = сов >, сов 2,..., сова... Введем важное понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности (а„), если для любого как угодно малого в Нс следует путать последовательность (а„) с множеством !а„1.
Твк, например, последовательность 151 = 5, 5,..., 5,..., в то время как множсство 151 состоит из одного алсмснта 5, е 6. Числовая последваатвлыюоть и ее предел положительного числа е сушествует номер К такой, что все члены последовательности а„с номерами и > )т удовлетворяют неравенству )а„— А( < е. (!) Обозначения А= )ни а„ и сс или ал †" А. л сс С помощью логических символов определение прелела последовательности (а„) выражается следующим образом: Определение. Последовательность (а„) называется сходящейся, если она имеет (конеч- ный) предел, и расходящейся, если она предела не имеет. Пример 1. Последовательность (о„), все члены которой равны одному и тому же числу А 1ствцнонврнвя последоввтвлыюсть), имеет предел, равный етому молу А. Р Пример 2, Рвсоиотрим последовательность (И с общим членом и+1 оч = —. и Очевидно, что при больших и дзобь — „= 1+ -„мало отличается от единицы.
Это дает основание чг! предполвгвты что и+1 1!тп в, = Бш — =1. чмямн доквжем, что зто действительно твк. Возьмем произвольное с > О и найдем натуральное число )у такое, что при всех знвченнях и > йг будет верно нерввенство )и+ 1 )Лх !) (2) и ( и Решим неравенство 2 < г. считая и немзвесмым: ! 1 1 — < я м и > —. и г Если взять в качестве !У целое число, большее -,, то дпя всех н > йт будет выполняться соотношение ! 1 1 — < — <т, и йг в следоввтельно, и нерввенство 12). Согласно огределенню, зто ознвчвет, что )пп л„=1. Р 7 Звк. 750 Геометрический смысл предела пошмдоаатеяышепт Изобразим члены последовательности (а„) точками числовой оси (рис.5).
о! А с агг 2 А оы» А+с ан Неравенство (а„— А) < с, равносильРис. 5 ноедвойномунеравенствуА-е < а„< А + е, означает, что точка а„находится в е-окрестности точки А. Таким образом, число А есть предел последовательности (а„), если какова бы ни была е-окрестность точки А, найдется такой номер К, что все точки а„с номерами и > Ф будут содержаться в этой окрестности точки А, т,е. в интервале (А — е, А+ с); вне этого интервала может оказаться лишь конечное множество точек данной последовательности.
Глава та. Числовые множества Числовые послвйовв)сладости тта Номер ззг в определении понятия предела, вообще говоря, зависит от е: Х = Х(е). Так, в приведенном примере прис = 0 1 в качестве Ф можно взять число 10 (или любое большее), а при е = 0,01 в качестве Л следует брать число, не меньшее, чем 100. Замечание. Номер 1Ч, фигурируюший в определении понятия предела последовательности, определяется заданием числа е неоднозначно в следуюшем смысла если неравенство (1) выполнено при всех и > Рй, то оно выполнено и при и > Лгз, где 1Чз > 1уы Как правило, не возникает необходимости искать среди зтих номеров наименьший.
Сформулируем теорему, которая дает необходимое и достаточное условие сушествования пределапоследовательности. Теорема 2 (критерий Коши). Для сходимости последовательности аназ,...,а„, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е > 0 существовал номер хту такой, что для всех и > 1)Г и всех гп > 11( было бы верно неравенство (а„— а ( < е. Последовательность (а„), удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной. Теорема 3 (единетеениость предела последовательности), Последовательность (ал ) не может иметь двух различных пределов. < Пустьпоследовательность (а„) имеет пределом число А.
Докажем, что А В тогда никакое число В ~ А не может Рис. 6 быть пределом (а,). Для этой цели возьмем е-окрестности точек А и В столь малыми, чтобы они не пересекались, например, возьмем ( — А( е = 3 (рис. 6). Так как 1цп а„= А, то вне интервала (А — е, А+ е), в частности, в интервале (В— е, В+в) может располагаться лишь конечное число точек из последовательности (ав) . Поэтому число В и не может быть пределом последовательности (а„), м Определение, Последовательность (а„) называется ограниченной сверху, если сушествует число М такое, что а„< М хгп.
пример. Послвдоватвльность ... — и, -(и — 1),..., -3, -2, -1 ограничена сверху: любой член атой последовательности меньше нуля. Ь Определение. Последовательность (а„) называется ограниченной снизу, если сушествует число гп такое, что а„> тп 1(п. е б. Числовая последсватвлымсть и ее предел 179 Пример. Погледовательмтсть 1, 2, З....,и,...
ограничена снизу: любой член этой последовательности не меньша едммцы, М Определение. Последовательность (а„) называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т. е. если существуют числа тп и М такие, что тп < а„< М 17п. Геометрически это означает, что все точки, изображаюшие члены последовательности (а„), лежат на отрезке ]тп, М]. Пример. Последовательность (о„) с общим членом я„м — "+„~ ограничена: лри всяком и имеем 1 < а„< 2. М Иногда бывает удобнее другое, равносильное определение. Определение. Последовательность (ал) называется ограниченной, если сушествуют чис- ло К > О такое, что для любого и выполнено неравенство (а„] < К.
Сформулируем определение ограниченности последовательности с помошью логических символов: (последовательность (а„) ограничена) с» (пК > О: тп ]а„] < К). Определение неограниченной нослвдовангельносглн получаем из предыдушего заменой квантора сушествования на квантор обшности, квантора обшности на квантор сушествования и обрашения неравенства: (последовательность (а„) неограничена) с» (чК > О пп: ]а„] > К). Пример. Последовательность (2" 1 — неограниченная. М Каково бы ни было число К > О, найдатся и таков, что 2" > К, именно и > 1оат К. Тем самым, лоследователыюсть (2"1 неограничена.
и Определение. Последовательность (ал) называется бесконечно болыиой, если для любого как угодно большого числа М > О сушествует номер Ф такой, что ]а„] > М тУП > 111. Мы пишем в этом случае, что 1пп а„= оо. л оо Если последовательность (а„) такова, что 'у'М > О БФ: туп > Ф а„> М (соответственно, а„< -М), то эту последовательность также называют бесконечно большой и п ишут 1пп а„= +со (соответственно, 1нп а„= — оо).
и со и иг «ш„,, Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. На- против, неограниченная послеловательность (а,) может и не быть бесконечно боль- шой. Такова, например, последовательность (и з(п пк ). Глава У)!. Числовые множества. Чисаовые песледователмюсти Теорема 4 (об ограниченности сходящейся последовательности). Всякая сходящаяся последова- тельность ограничено, т. е. существугот числа т и М такие, чню т < а„< М для всех членов данной последовательности. М Пусть 1!ш а, = А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
