Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 31
Текст из файла (страница 31)
16 а) 2' (1+ в); б) |728; (»4 в) !. !9. а) к1, жв; б) -,'(|+з); в) к (соз'-, — вил-"), к (соз в +вил в'); г) г'(1+ в), з/2 (-соз-,", +аз|и —," ), ъ/!2 (з|п —,', — в сов аг);д) ш(т/3 — з). Найдите пределы: (и+2) 3. !Йп пг пг — и+5 б. |пп »-ы 2п+6 чт от+6- и 7. |пп чг т7 х'эт' Найдите прелелы: и! 9, пя » (и+1)! — и 1 11. Ия — (1+ 2+ ° ° ° + и). !3. |йп (т/и+ 2 — ч/и) .
16. 1|я (чЯ+1 — и) . 2пэ- и'+1 4. Бя ' и»+ |бп+ 2 М~,= г б, 1|я. и+| ч/из + 1+ з/пг ч- 2 В. |пп ' '«чгпт+ 3+ т/и~+5 /! ! 1~ Ю. Пя ~-+-+ + — ). » ы'ч2 4 2") и соз и! 12. |пи —, »» па+! 14. з (»с»-т +» — ). Глава ИИ ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 51. Понятие функции. Способы задания функции Понятие функции является основным и Первоначальным, как и понятие множества, Пусть Х вЂ” некоторое множестводействительных чисел х. Если каждому х Е Х по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число у, то говорят, что но мнозкесгнве Х задана функция и пишут Введенную таким образом функцию называют числовой.
При этом множество Х назь!веют ойлосглью определения функции, а независимую переменную х — ореуменнтом. Для указания функции иногда используют только символ, которым обозначен закон соответствия, т. е. вместо у(х) пишут просто у. Таким образом, функция задана, если указаны 1) область определения Х; 2) правило у, которое каждому значению х Е Х ставит в соответствие определенное число р = 2 (х) — значение функции, отвечаюшее этому значению аргумента х. Функции ~ и о называют ровными, если их области определения совпадают и равенство 2 (х) = р(х) верно для любого значения аргумента х из их обшей области определения. Так,функции у = хт, — оо < х < +сои у = х, О < х < 1, не являются равными; они равны только на отрезке 10, ! ].
Примеры фуякциа. а Послвдааатетьность (е„) есть функция целгмисленнага аргумента, определенная на множестве натуральных чисел, такая, чта 2(п) = а„ (и = 1, 2,... ). 2. функция у = и!(читается .зн-факториал.). Задана на множестве натуральньж чисел каждому натуральному числу и ставится а ссютветсгвив произведение всех натуральных чисел от 1 до и включительно: причем условно полагают О! = 1. 3.
1, воли з > О, у =я!Зла = О, если х = О, ( -!, если з < О. Обозначение я)ап праисюдит ат латинского слова вщпцгл — знак. Эта функция определена на всей числовой прямой — ао < з < +оп; множество ее значений состоит из трех чисел — 1, О,! (рис.!). $ ). Понятие функции. Соособи хщаюгя фунще Рнс. 2 Рнс. ) 4, а = [к[. где [к[ обоэнечеет целую часть дейстеительного числа к, т.е. [е[ — неиболмцее целое число, не лрееосходицее к: Ы = и для и < с < и + ), и = О, Ы, х2,.... Читеетси игрек равно ентье икс» [фр. елаег), Эта функция задана не всей числовой оси, е множество всех ее значений состоит иэ целмх чисел !рис.
2). Способы задания фун[(ции 1.1. Аналитическое задание функции Функция у = З'(х) называется заданной аналитически, если она определяется с помошью формулы, указываюшей, какиедействия надо произвести над каждым значением х, чтобы получить соответствующее значение у. Например, функция х у =, — оо < х < +со, 1+ х' задана аналитически. При этом под областью определения функции (если она заранее не указана) понимается множество всех действительных значений аргумента х, при которых аналитическое выражение, определяюшее функцию, принимает лишь действительные и конечные значения.
В атом смысле область определения Функции называют также ее областью существования. Для Функции у = ч/! — хт областью определения является отрезок — 1 < х < !. Для функции у = в!и х область определения — вся числовая ось — со < х < +оо.
Заметим, что не всякая формула определяет функцию. Например, формула у = ЬГ ! — Х) + тггХт — 4 никакую функцию не определяет, так как нет ни одного действительного значения х, при котором имели бы действительные значения оба написанных выше корня. Аналитическое задание функции может выглядеть достаточно сложно. В частности, функция может быть задана различными формулами на различных частях своей Глава рйй Предел и нвнрерывнссгь Еуннанн одной лврвывннвй области определения. Например, функция может быть опреде- лена так: О, х<0; х, 0<х<1; 2 — х, 1<х<2; О, х>2 У(Х) сс (рис.
3). 1.2. Графический способ задания функции Функция у =,Г(х) называется заданной графически, если задан ее графи~, т. е. множество точек (х, У(х)) на плоскости хОу, абсциссы которых принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствуюшим значениям функции (рис. 4). Не для каждой функции ее график можно изобразить на рисунке. Например, функцияДиризсгв Рнс. 3 Рнс.
4 не допускает такого изображения. Функция Ы(х) задана на всей числовой оси, а множество ее значений состоит из двух чисел 0 и 1. 1.3. Табличный способ задания функции Функция называется заданной табличка, если приведена таблица, в которой указаны численные значения функции для некоторых значений аргумента. При табличном задании функции ее область определения состоит только из значений хм хз,..., х„, перечисленных в таблице.
52. Предел функции в точке Понятие предела функции является центральным в математическом анализе. Пусть функция Г(х) определена в некоторой окрестности П точки хс, кроме, быть может, самой точки хс. 1х — хс( < д, верно неравенство 'ц(х) — А! < е. Обозначение: 11пз У(х) = А. и-*с Определение (Кеши). Число А называется пределом функции Г(х) в точке хс, если для лю- бого числа е > О, которое может быть как угодно малым, сушествует число б > О, такое, что для всех х Е Й, х ~ хе, удовлетворяющих условию 195 $2. Предел фувкции а тачке С помошьюлогическихсимволовэто определение выражается следуюшим образом (!нп б(х) = А) с» (туе> ОЗб >О: )ух, )х — хо! < б=» )3(х) — А! < е).
! я хо Прщюры. 1, Пользуясь определением предела функции в точке, показать, что Игл(2х+ 3) = 5. «! е Функция г(х) = 2х+ 3 определена всюду, включая точку хс = 1: 2(1) = 5. Возьмем любое с > О. Для том, чтобы неравенство ((2х+ 3) — 5( < к имела место, необходимо выполнение следуккцих неравенств к )2х-2! < к*е 2(х- 1! < с )х-1! < —. 2 Следовательно, если взять б = -', то при (х — Ц < б = - будем имать )б(х) -5! < с.
Это означает, что ЧИСЛО 5 ЕСТЬ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ б(Х) м 2Х+ 3 В таЧКЕ ХЭ м 1. М 2. Пользуясь определением предела функции, показать, что х — 4 т Пгл м2, я тхт — 2х х' — 4 хт -2х нв определена в то ке хс = 2. Рассмотрим 3(х) в некоторой окрестности тачки хс м 2, например, на интервале (1, 5), не содержащем точку х = О, в которой функция г(х) также не определена. Возьмем произвольное число с > О и преобразуем выражение (г(х) — 2! при х тб 2 следующим образом Для х Е (1,5) полуееи неравечство хт -4 ! (х — 2! -г — -2~ < —. х — 2х ~ 1 Отсюда видна, что если взять б = с, то для всех х Е (1, 5), подчиненных условию О<(х-2)<б, будет верно неравенство -2~ <б=к.
Это означает, что числа А = 2 является пределом данной функции в точке хэ = 2, и Дадим геометрическое пояснение понятия предела Функции в точке, обратившись к ее графику (рис. 5). При х < хо значения функиии Г(х) определяются ординатами точек кривой М,М, при х > хо — ординатами точек кРивой ММ,.
Значение б(ха) опРеделяется ординатой точки хтГ. График данной функции получается, если взять «хорошую» кривую М1ММ2 и точку М(ха, А) на кривой заменитьточкой 23Г. Покажем, что в точке хо функция 2(х) имеет предел, равный числу А (ординате точки М). Возьмем любое (как угодно малое) число е > О. Отметим на оси Оу точки Рис. 5 Глава И!1. Предел и непрерывность фующнн одной переменной с ординатами А, А — е, А + е.
Обозначим через Р и (;) точки пересечения графика функции р = /(х) с прямыми р = А — е и р = А + е. Пусть абсциссы этих точек есть хо — )ы, хо + )ьз соответственно ()з ! > О, )зз > О). из рисунка видно, что для любого х Ф хо из интеРвала(хо — )ы, хо+)зз) значениефУнкции /(х) заключено междУ А — е и А+ е, т.е. для всех х Ф хо, удовлетворяющих условию — )з < х < х + )зз, верно неравенство А — е < 2(х) < А+ е. Положим б = пйп ()11, )зз), Тогда интервал (хо — б, хо+ б) будетсодержаться в интервале (хо — Ь1, хо+ Из) и, следовательно, неравенство А — е < /(х) < А+ а или, что то же, (/(х) — А! < е, будет выполнено для всех х, удовлетворяющих условию О< ф — хо(<б. Это доказывает, что )яп /(х) = А.
з яе Такимобразом,функция р = /(х) имеетпределА вточкехо,если,какойбыузкой ни была е-полоска между прямыми у = А — е и р = А+ е, найдется такое 6 > О, что для всех х из проколотой б-окрестности точки хо точки графика функции р = /(х) оказываются внутри указанной е-полоски. Замечание Б Величина б зависитот г: б = б(с). Замечание 2. В определении предела функции в точке хо сама точка хо из рассмотрения исключается. таким образоль значение функции в точке хо нс влияет на предел функции в втой точке. Более того, функция может быть даже не определена в точке хо..Поэтому дес функции, равные а окрестности точки хо, исключая, быть может, саму точку хо (в ней они могут иметь разные значения, одна из ник или обе вместе могут быть не определены), имеют при х хо один и тот же предел или абе не имеют прелела, Отсюда, в частности, следует, чтодля отыскания а точке хо предела прови законно сокращать зту дробь на разные выражения, обращающиеся в нуль при х = хо.
Пример!. Найти Ит *-. з о*' и Функция /(х) =;* длв всех х ж О равна единице, а в тачке х = О не определена. заменив /(х) на равную вй прн х и О функцию д(х) = 1, получаем х йщ — = йщ ! = 1. ь ох *-о Пример 2. Найти !нп /(х), где (рнс. 6). Рис. 6 м Функция д(х) = х, — еа < х < +со, совпадает с функцией /(х) всюду, исключав та ну х = О, и имеет в тачке х = О предел, равный нулю: !1т д(х) = О (гюкажнте втаб. Поэтому йщ /(х) = О. Ь з е я о Задача Сформулировать с гюмащью неравенств (на язмке г -б), чта означает !) Вщ /(х) = 5; 2) Ищ /(х) =О; 3) 1нп /(х) = 1; 4) 1!щ /(х) = -2. 197 а 3. Теоремы о прадепак Пусть фуикпия /(х) определена в некоторой окрестности П точки хв, кроме, быть может, самой точки хо.
Определение (Гейне). Число А называется пределом функции /(х) в точке хо, если для любой последовательности (х„) значений аргумента х (х„Е П, х„Ф хо), сходящейся к точке хо, соответствующая последовательность значений фуикиии (/(х„) ) сходится к числу А. Приведенным определением удобно пользоваться, когда надо установить, что функция /(х) ие 1 имеет предела в точке хо, Для это- у= 1пх годостаточно найти какую-нибудь последовательность (/(х„)), не -$ имеющую прелела, или же указать -1- х две последовательности (/(х„) ) и (/(х'„)), имеющие различные пределы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
