Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 33
Текст из файла (страница 33)
тд ф. иа ограниченную функцию). Егли функция а(х) является б.м. ф. при х — хо, о функция /(х) ограничена в окрестности точки хо, то произведение а(х)/(х) есть 6.м. ф. при х — хо. т По условию функция /(х) ограничена в окрестности точки хо. Это означает, что сушествуют такие числа 6| > О и М > О, что (/(х)) < М уа Е (хо — 6|, хо+ 6|) Возьмем любое е > О.
Так как по условию а(х) — б.м.ф. при х — хо, то найдется такое 62 > О, что для всех х Ф хо, удовлетворяющих условию ) х — хо) < бз, будет верно неравенство )а(х)~ < †, М Положим 6 = ппп(6|,62). Тогла лля всех х Ф хо, удовлетворяюших условию )х — хо| < 6, будут олновременно верны неравенства .т з!и —. 1 Х (/(х)( < М и ~а(х)~ < —. Позтому 1|а(х)/(х)~ = ~а(х)~ (/(х)~ < — М = Чх, х Ф хо, )х — хо| < 6 Это означает, что произведение а(х)/(х) естьб.м.ф. прих — хо ~ рис. |2 Пример.
Функцию р = к ил; |рис. |2) можно рассматривать как произведение функций о(з) = з | и /(з) = мп;. Функция о(к) есть б. м. ф. при к О, а функция /|к) = я|п; определена всюду, ! | исключая точку з = О, и ограничена в любой прсколотоа окрестности зтод точки, поэтому, в силу теорвмм О, функция р = я ми; есть б; м ф.
при я О, твк что | | игл кь!п — = О. Ы к ь з Следствие. Если а(х) — б. м. ф. при х — + хо, о функция /(х) в точке хо имеет (конечный) предел, то произведение а(х)/(х) есть б м. ф. при х — хо. Это вытекает из того, что функция, имеюшая в точке хо предел, ограничена в проколотой окрестности точки хо.
Лемма. Если функция /(х) в точке хо имеет предел, отличный от нуля, то функция — ' у(к) ограничена в проколотой окрестности точки хо. $5. Бесконечно испив функции м Пусть !)гл ! (х) = А Ф О. Тогда для любого е > О, в частности для е = !" — ', найдется с сс б > О такое, что для всех х, удовлетворяюших условию О < )х — хс! < б, будет верно неравенство )А — у(х)~ < —. (А! 2 Таккак (А — у(х)~ > !А! — (у(х)),то откуда !А! !у(х)! > — Ух, х Ф хс !х — хс! < б. 2 Значит, для указанных значений х определена функция —, причем ! !( )' так что — ограничена в проколотой окрестности точки хс.
М ! !(*) Теорема 7. Если а(х) — б.м. ф. при х — хс, а функция г(х) имеет в точке хо предел, отличный от нуля, то частное есть б. м. ф. при 'ж хс. «(с) т(с) м Представим частное — в виде «(с) т(«) а(х) ! — = а(х) . —. у(х) у(х) В силу леммы функция т~-; ограничена в проколотой окрестности точки хс и, следова! тельно, а(х). г~()- — б. м. ф.
при х — хо как произведение б. м. ф. на ограниченную. м Условие ))ш у(х) 4 О является существенным. Рассмотрим, например, функции *с а(х) = х и г(х) =хт, являющиеся б.м.ф. при х — О. Частное «-,*~ = -*т —— —,', х ф О, очевидно, не является б.м.ф. при х — О, так что отношение двух бесконечно малых функций в обшем случае не есть бесконечно малая функция. Теореме й (связь функции, имеющей предел, с ее пределом и бесконечно мелой функцией).
Пусть функция г(х) определена в некоторой окрестности точки хс, кроме„может быть„самой точки хс. Яля того, чтобы функция ! (х) в точке хс имела пределом число А, необходимо и достаточно, чтобы ! (х) можно было представить в виде суммы ,г(х) = А + а(х), где а(х) — б.м. ф. при х хо. Гневе Чйь Предел н ненрериеноьть функции одной переменной Необходимость, Пусть функция у(х) имеет в точке хо предел, равный числу А, И~ У(*) = А. Положим а(х) = ~(х) — А (!) и докажем, что а(х) — б.м.ф.
при х — хо. Возьмем любое е > О. Так как поусловию 1ип г(х) = А, ль то для выбранного е > О найдется такое 6 > О, чтодля всех х, х Ф хо, удовлетворяю- ших условию )х — хо( < 6, верно неравенство 1,г(х) — А] < е. В силу (1) последнее можно записать в виде ]а(х)! < е. Это означает, что а(х) — б. м. ф. при х хо. Достаточность. Пусть функцию у(х) можно представить в виде У(х) = А+ а(х), (2) где А — постоянная, а а(х) — б.м.ф.
при х -+ хо. Докажем, что функция 2(х) в точке хо имеетпредел, равный числу А. Возьмемлюбоее > О. Таккакпоусловию а(х) — б.м.ф. при х — хо, то найдется такое 6 > О, что для всех х, х Ф хо, удовлетворяюших условию 1х — хо) < 6, будет выполняться неравенство ]а(х)] < е. Новсилу(2) а(х) = У(х) — А. Поэтому!2(х) — А( < едлятехжезначенийх. Согласно определению это означает, что А = 1ип г(х). м 9 6. Арифметические операции над пределами Пусть функции 2(х) и у(х) определены в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки хо. Теорема 9.
Если функции р(х) и у(х) в точке хо имеют пределы, то в этой точке имеют пределы такхсе их сумма Э (х) + р(х), разность Э (х) — у(х), произведение Г (х) ° у(х) и, при дополнительном условии Игл у(х) ф О, частное 4-~, причем *ь 1) 1ип (2(х) ху(х)] = Иш Г(х) х!ип у(х); 2) 1ип (у(х) !а(х)] = 1ип /(х) !ип ьз(х); Ип1 у(х) 3) Игл — =, (йп !э(х) ~ 01. л-*ь !э(х) 1'ип р(х) ' ~*-ль 56. Арифметические операции пад пределами 206 Ограничилгся доказатедьстволг утверждения 2) о пределе произведения. ш Пусть Ип! ~(х) = А, йп! ут(х) = В.
Тогда, согласно теорелге 8, к ко ' в-хо 1(х) = А та(х), ут(х) = В т(3(х), где а(х) и )у(х) — б. м. ф. при х . хр. Отсюда у(х) ут(х) = [А т а(х)] [В т Р(х)] = А В+ Во(х) + А)у(х) + са(х))Т(х). Так как Ва(х), А(л(х), га(х)(л(х) — б.лг.ф. при х . к хо (как произведение б.лг.ф. на ограниченную), то и их сулглга есть б.лг.ф. при х х,, Такилг образолг, функция ~(х)у(х) представлена как сулглга постоянной АВ и б.лг.ф. при х — хо. Отсюда на основании теорелгы 8 закдючаелг, что функция у(х) ут(х) илгеетпредед вточке х,, равный числу АВ: Игп [,/(х)(р(х)] = А В = 1!гп у(х) (нп ут(х).
*-*о к кр з вр Утверждения 1) и 3) доказываются подобнылг же образолг (докажите!). й Замечание. Теорема а пределе суммы (произведения) абобшается нз случай любага фиксированного числа слагаемых (сомножителей), имеюших предел. Следствие. Постоянный множитель можно выносить зо знак нредело. Задача. Пусть функция г'(х) имеет предел в точке хр, а функция р(х) не имеет предела Будут ли существовать пределы !) йю Г(х) ч р(х)); 2) 11ю Т(х) р(х) ? Зэдача Пусть 1ип /(х) ~ О, а 1ип р(х) не существует. Доказать, чта йп [/(х) р(х) не существует ко *О Приведем несколько примеров на вычисление пределов функций.
т ч Пример 1. Найти йш — * р вю < Будем рассматривать данную функцию как частное двух функций г(х) = х! — 4 и р(х) = х ч 1. Каждая из этих функций в тачке * = О имеет предел. йп Г(х) = Пгп(х! — 4) = — 4; *-о *-о йю р(х) = 69п (х ч- О = 1 Ф О. *-о *-о так как предел Знаменателя р(х) заданного отношения не равен нулю, то можно воспольэоваться теоремой о пределе частного, что дает 4 11ю(х — 4) йш — = *"о = -4. м *-0 х -! ! 11ю (х -! 1) в 0 Пример 2.
найти 1нп — * г 1 в! И Полагая Г(х) = х! — 1, р(х) = х — 1, имеем йю /(х) = О, йю р(х) = О, т е, как говорят. имеет ! место неопределенность вида „-. Пользоваться теоремой о пределе частнага нельзя Для раскрытия О неопределенности поступаем так В определении предела функции в точке х = ! сама точка х = ! из рассмотрения исключается. Заметив это, представим данную функцию в виде х' — ! (х — 1)(х -! 1) х — ! х — ! Глава УП1. Предал и непрерывность функции одной переменной откуда, сокращая на х — 1 и О, получим х — 1 — =ха!, хи1, х-1 Поэтому х — 1 т йгп — = 1нп(х+ 1! = 2.
М !х — 1 *-! Пример 3. Найти Пгл — т — —. тг! т ° -з Ю Пределы числителя и знаменатели а точке х = О равны нулю, т.е, опять имеем неопределенность аида й. для ее раскрытия умножим чисмттель и знаменатель данной дроби на ьгтч хну+ 1. при х Р О з имеем (тгт+х'- 1) (Л +хат+ 1) 1+,' хт (ттт ч. хт е 1) хт (Я -ь хт + !) ь'Гч ххуч.
!' К полученной функции применима теорема о пределе частного, так что ьг( ь т Цгп т = йгп — = —. ° хт * з угз+хт»1 игл (ьг1ахт.!.1) 2 я 0( пример 4. Рассмотрим функцию /(х) = мп хз. Она определена на асей числоаой оси, четка, ограни- чена (! з1п хт! < 1 Ух) и обращается е нуль при х = хтгп»», где и = О, 1, 2,.... ю покажем, что зта функция — не периодическая. Возьмем даа соседник нуля функции; пусть зто будут,гл» и у/(п Ч. 1!». Расстояние между ними равно у/(п+ Ц» — тгп». найдем ащ (1/(п+ 1)гг — ьгп»»).
Здесь имеет место наопределемюсть вида оо — со. Чтобы ее раскрьпь, умножим и разделим выражение (1/((пп» 1!» — тгп»») на (1/(п+ 1)»+ чгй»). Будем иметь (1/(п+ 1) тг — угйх) Ц~п+ 1)» ч- чг»»») 1Ь (,/( Е!) — ул»)= !!го гьттГ+ге ' 7(" и" гж (поскольку числитель последней дроби постоянен, а знаменатель неограниченно возрастает при п сс !. таким образом, расстояние между дзум» соседними нулнми функции стрмиится к нупо при п со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
