Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пусть функция /(х) непрерывна но отрезке (а, Ь), причем /(а) = А, /(Ь) = В. Тогда каким бы ни было число С, заключенное мезкду числами А и В, на отрезке (а, Ь) найдется по крайней мере одна точка о такая, что /(о) = С. Инымисловами,нспрсрывнаянаотрсзкс [а,Ь) функцияпринимаствсспромежуточные значения между сс значениями на концах отрезка. м Пусть, для определенности, А < В. Рассмотрим функцию уз(х) = /(х) — С, где А < С < В. Очевидно, функция р(и) непрерывна на отрезке (а, Ь], причем на концах этого отрезка (о(х) принимает значения противоположного знака, гр(а) = У(а) — С = А — С < О, (о(Ь) = /(Ь) — С =  — С > О. По теореме (8 в интервале (а, Ь) найдется точка гз такая, что (о(а) = /(а) — С = О, т. с.
/(а) = С. (и Теорема 20 (первее теореэаа Вейермтрасса). Если функция /(х) непрерывна на отрезке (а, Ь), то оно ограничена на нем, т. е. существует такое число К > О, что для всех х Е (а, Ь) верно неравенство ~/(х)~ < К. Замачание. Если функция /(х) непрерывна на интервале (л,6) (или на полуинтераллс (а,ь), или на полуинтсрвалс (а,6)), то /(х) нс обязательно ограничена на нем. Напрнмср.
функция /(х) =- ! непрерывна на полуинтэрэалэ (О, ! ), но не ограничена на нэм. $14. Свойства функций, ивпрерыаиыд иа атреям 223 Пусть функция Г(х) определена и ограничена на некотором множестве Е. Назовем точной верхней гранью М функции Г(х) на множестве Е точную верхнюю грань множества значений функции Г(х) на множестве Е: М =зцр Г(х). аед Аналогично определяется точная нижняя грань тп функции у(х) на Е: т = (пГ Г(х).
аел Рис. 29 Теорема 21 (вторая теорема Вейерштраееа), Если функция Г(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она достигает на этом отрезке своихточной нижней и верхней граней, т. е. на отрезке [а, Ь] найдутся такие точки б и г), что Г(Д =из= !пГ Г(х), Г(п) = м= зцр у(х) ев(е,ь! е[е,ь! (рис. 29). Змьечвмгв. Условие непрерывности функции Г(в) иа отрезке [о, а! суше- у ствеиио; функция Г(е) = я иепрерывиа иа интервале (-1, 1) и ограничена иа иеы, ио ее точная верхняя грань зпр к = 1 ие достигается, т.
е. иет ае(-!,П ! такого еа 0 (-1, 1), значение атой функции двя которого равно едииице. ! Другой пример: Г(а) = е — (е! ив [О, ![ (Рис.зо). Здесь зш! У(я) = 1, ае!е,!! ! ио ои не достигается иа отрезке [О, 1[. Это связано с теы, что функция Г(е) ! разрывиапа [О,! [. О ! х Назовем точную верхнюю грань наибольшим значением, а точную нижнюю грань — наименьшим значением функции Г(х) на отряс. ЗО резке [а, Ь].
Тогда второй теореме Вейерщтрасса можно придать следующую формулировку. Теорема 2д Если функция Г(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она на этом отрезке принимает свои наименьшее и наибольшее значения. 14.1. Равномерная непрерывность Пусть функция Г(х) непрерывна на интервале (а, Ь). Тогда в любой точке хо б (а, Ь) для любого е > О существует такое б > О, что для всех х б (а, Ь), удовлетворяющих условию [х — хо[ < б, верно неравенство ],Г(х) — Г(хе)] < е. При этом величина б зависит как от е, так и от точки хо.
б = б(е, хо). Так что при одном и том же е > О в разных точках х б (а, Ь) число б может оказаться разным и ниоткуда не следует, что существует единое б для всех х б (а, Ь). Требование, чтобы такое б = б(е) > О существовало, является более сильным, чем требование просто непрерывности функции Г(х) на интервале (а, Ь). Глава у(й. Предел и непрерывность фуигцни одной переменной Определение, Функция б(х) называется равномерно непрерывной на интервале (а,ь), если для всякого е > О существует такое б = б(е) > О, что лля любых точек х' и х" иэ интервала (а, Ь), удовлетворяющих условию [х' — хн[ < б, верно неравенство [у(хг) — /(хл) [ < е.
Здесь существенно, что лля всякого е > О существует 6 > О, обеспечивающее выполнение неравенства [У(х') — 2(хе)[ < е сраэудля всех х', х" иэ интервала (а, Ь) при единственном условии [х' — хв[ < 6. пример 1. Функция Г(х) = х равномерно иепрерьенв на всей числовой оси. здесь достаточно ваять б=г. П Ясно, что если функпия Г(х) равномерно непрерывна на интервале (а, Ь), то она непрерывна в каждой точке х б (а, Ь).
Обратное утверждение неверно. Пример 2. Функция Г(х) = ягп; непрерывна нв интервала (О, 1), но иа является равномерно непре- рывной на етом интервала, и Пусть х„ = -„, х„ и †„,. Тогда величина 1 ° 1 » 11 2 1 1 )х» х») = н 2и+1[ и(2п+1) за счет выбора и может быть сделана меньша любого числа б > О, в то время как [Г( '«) — Г(*')[= . Тем самым, суцГаствует Г > О (например, х = -') такое, что при любом б > О найдутся точки х'„ 2 и х'„' ив (О, О такив, что )х'„— х'„') < б, но [/(х'„) — Г(х'„')[ > г. Следовательно, функции Г(х) = »1пнв является равномерно непрерывной на интервале (О, 1).
и Примар 3. Функция у(х) =; непрерывна на интервала (О, 1), но не является равномерно непрерывной 1 на етом интервале. И Птсть х» = „х» = „— „мг (г > Π— любое). Тогда величина !» » )х» -х») = и(и+ 2с) быть сделана меньше любого б > О. вместе с твм, ~7(х„)— функция Г(х) = ~ нв является равномерно непрерывной нв ин. при достаточно большом и может Г(х„")( = 2г > с Следовательно, ! тврвале (0,1).
М Теорема 23 О(литер). Если функция 2(х) непрерывна но отрезке [а, Ь[, то она равномерно непрерывна на энгом онг резке. Тем более интересно, что если функция 2(х) непрерывна на отрезке [а, Ь[, то она на этом отрезке обладает свойством равномерной непрерывности. б зб. Сравнение бесконечно нвнив фрнцна 915. Сравнение бесконечно малых функций Пусть а(х) и)3(х) — б.м.ф. при х - хв.
Опредепенне !. Если а(х) (йп — = О, *«,6(х) то а(х) называется б. м. багге высокого порядки, чем )3(х) и пишут а(х) = о()3(х)), х — хе (читается «альфа равно о-малое от бета«). Символ о(0(х)), х - хе, означает любую б. м. ф., имеюшую в точке хв более высокий порядок малости, чем б. м. в этой точке функция 13(х). йрннвр, а(*) = ят, р(к) = я — б,м ф. при я В. дл« чик о(я) Вп — = Н«2 — = Нн1 к = В, «-ю р(н) *-«н -в так что кт = о(я), я о, ° Опредепенне 2. Если Бш — =СТО, а(х) *- «)У(х) то а(х) и )3(х) называют бесконечна малыми функциями одного порядки. Так, а(х) = 2х, )У(х) = х, х- О, — б.
м.ф. одного порядка, поскольку а(х) . 2х Опт — = !йп — = 2. * о)3(х) *-о х Опредвпеннв Э, Говорят, что б. м. при х — хс функции а(х) и,О(х) ие сроояимы, если отношение ф при х - хв не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного. Например, б. м. при х — О функции а(х) = х 5)п —,' и )3(х) = х не сравнимы, поскольку их отношение —, = 5(п -, не имеет конечного предела в точке х = О «(*) . 1 р(«) и не является б.б.ф. при х — О. Определение 4.
Говорят, что б.м. при х — О функция а(х) имеет лорядок молося2и тп Е )Ч относительно основной б. м. при х — хс функции ы(х) = х — хв, если )пп = )3 ~ О. а(х) *-*о (х — хо) Например,функцияа(х) =Зяп х,б.м, прих- О,имеетпорядокмалоститп = 2 2 относительно б. м. при х — О функции ы(х) = х, так как 351П х )пп — = 3. *-О (Х)' Гвввв МИ1, Предел н иввреривиооть функции одной иврвмвкной 916. Эквивалентные бесконечно малые функции Определение, Две бесконечно малые при х — хо функции о(х) и )!(х) называются эквивалентными, если предел их отношения в точке хо равен единице: а(х) !нп — = 1. *о )у(х) Эквивалентные б.
м. ф. представляют частный случай б. м. одного порядка, Эквивалентность б. м. ф. а(х) и )з(х) обозначается так: а(х) )у(х), х - хо. Про эквивалентные б. м. ф. а(х) и ))(х) говорят также, что они равны асимнтотичвски при х- хо. звнвчвиие. пусть а(г), )У(г) и т(г) — б. м.ф. орн г хм нетрулио вилеть, что !) а(х) а(х),г го; 2) если а(х) д(х), то Ф(г) а(г), х го; 3) если а(х) д(х),од(х) т(г),тоа(х) 1(г) г го тек что отношение вквивелеитностн облвлвет свойством ре4шсксивиости, симметричности и треизитивиости. Приведем примеры эквивалентных бесконечно малых функций. В свое время мы установили, что 51п х, !и(! + х) !пп — =1=55!пх ° х, х- О; !пп =! ~1п(1+х) х, х- О. г-о х *-о х Нетрудно показать, что Докажем, что ! а* — ! 1'пп =!па (а> О,а~1). о х М Положим а* — 1 = У.
Отсюда а* = 1 + У, х = (и,'е) . Ясно„что У вЂ” О пРи х — О. Следовательно, а* — ! у, 1па !!ш — = !пп — = !цп — = 1п а. г о х у о !"(1та) в о )в(ый) 1е е У Поэтомуа* — ! х1па, х- О. ~ В частности, при а = е получаем $ тб. Эккнкакентныебеоконечно мам!е фр!кНни Докажем, что < Положим (1+ х)к — 1 =у, Тогда (1+ х)Р = 1+у!откуда р1п(1+ х) = 1и(!'+.у) Ясно, по у — 0 при х — О. Используя равенство (1), получим (1+х)п — 1 у у ' р!п(1+х). х х 1п(!+у) х ". Переходя к пределу при х — О (у - 0), найдем (1 +х)п — ! у, р!п(1+%) 1!го = 1пп 11га —...
= р. м о х ко1п(1+у) *о ''х:': Итак, Таблица эквивалентных бесконечно малых функ пий (асимптотически х равенств) (2) ' Определение, Если для функции у(х) можно подобрать числа а и т, а ~ О, пт б !ч1, такие, что ~(х) ах~, х — О, то говорят, что функция ах~ есть главный стеленной член функпии у(х) при х — О. Правые части написанных выше асимптотических равенств есть главные степенные члены левых частей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
