Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 38
Текст из файла (страница 38)
!епрема 24 (эамеиа б.м.ф, эквивалентными), Пусть а(х», »!(х), а!(х), !у!(х) — бесконечно лилие при х — хо функции причем о(х) ~ а! (х), !б(х) ~ Д(х). Если в точке хо отно- ь!к! швнив р 1 имеет конечный или бесконечный предел, то он не изменится при замене о(х) но а!(х) и ~3(х) но Д(х). 22а Главе МИ. Предел н непрарнхнхть фунвннн одной переменной м Представим отношение ут;*т в виде йцьг а~(х) а,(х) а(х) )3(х) (3) )3!(х) а(а) ,9(х) (3!(х) По условию 1цп -"ф = 1, 1цп хтхт = 1.
Если отношение ф~ в точке хо имеет *в '*' * о "'"' предел А, то, воспользовавшись теоремой о пределе произведения, из (3) будем иметь а~(х), а1(х) . а(х), )3(х) ! цп — = !цп — 1(гп — ° йп — = А. *-*ю )3!(х) в-вв а(х) в«тю )3(х) ' *-*, )3!(х) Если же х(с) — бесконечно большая функция при х — хо, то вся правая часть равенргк) ства (3) и, значит, Я также будет 6. б. ф. при х - х,, ~ Пример.
Вычислить йв,:,~~. .-а ~пп+ь У' < Польвуясь теоремой о вемена б. м.ф. им еквиввлеитиыми и таблицей (21, получаем я кт 1 — сова 2йп — 2 — ! Игп = ВФ вЂ” -2. = Пм — + =, ° ь О!пй+вт) * а а' к в в 2 Теорема 2$ (условие аввнвапентностн). Для того, чнюбы две бесконечно малые при х — хо функции а(х) и )3(х) былиэквиволеннтными, необходимо и достонточно, антибы «х разность нри х — хо было бы б. м. ф.
более высокого порядки, чем они сами. ° Необходнмоспь Пусть а(х) и !3(х) — эквивалентные б. м. ф. при х — хо. Докажем, что их разность 7(х) = а(х) )3(х) (б.м. ф. при х — хо) является б. м. более высокого порядка, чем )3(х), а, следовательно, и а(х). Действительно, по условию а(х) )3(х), х хо„и значит а(х) 1'цп — = 1. в кв )3(х) Отсюда у(х) , а(х) — (3(х) , (а(х) 1цп — = !(ш =!ип ( — — 11=0. *в (3(х) *-*о 13(х) * *о ';0(х) Это означает, что пРи х — хо б. м. ф.
7(х) есть 6. м. более высокого поРЯдка, чем )3(х) . Достаточность. Пусть разность 7(х) = а(х) — )3(х) функций а(х) и (3(х), б. м. при х — хо, естьб.м.ф. более высокого порядка, чем 13(х) (или а(х)). Докажем,что а(х) )3(х), х- хо. Поусловию 1цп — = О. 7(х) *-*в )3(х) Отсюда Ит — = !(т а(х), )3(х) + у(х) / у(х) чт = (цп ~1+ — ) = 1, * иг )3(х) *-*ю )3(х) *-*о,б(х) ) что означает эквивалентность б. м.ф.
а(х) и )3(х) при х — хо. ь пеннер. Функции п(в) =вь2а и р(в) = в встьб,м.ф.прил О. икрыиостьт(в) =2вт при в О является б. м. более высокого порядка, чем о(в) и р(в). Следовательно, о(*) р(в), в — О. 229 2 1т. Снмеееы О н О (енмеееы Паняеу! 917. Символы о и О (символы Ландау) Пусть функции у(х) и ср(х) определены в некоторой окрестности П точки хе, кроме, быть может, самой точки хе, и пусть в некоторой окрестности ПО точки хе, х Оа хе, (р(х) Ф О (здесь точка хе может быть конечной и бесконечной). Говорят, что у(х) есть о-малое от р(х) и пишут если (!гп — = О „г(х) »»с Ое(х) Соотношение 1(х) = о(ср(х)), х — хе, означает таким образом.
что функция ~(х) есть бесконечно малая по сравнению с (О(х) при х — хе. В частности, соотношение У(х) = о( !), х - хв, означает, что у(х) — бесконечно малая функция при х — хв. Примеры. !. ез = 0(е), е О, 2. е = е(н~), е се, еообце е«ы е(ее) е .~.сс, о < « е'ые(на), н О+О, а>Р. Говорят, что у(х) есть О-болыиое от у(х) при х — хе, х Е П, и пишут если сушествует число М > О и окрестность ПО точки хе такие, что Соотношение /(х) = 0(!), х - хе, означает, что /(х) ограничена в окрестности точки хе. Прнмеры. 1. е = 0(е') не (1, «-сю), 2. н~ ы 0(е) не (-2, 2!.
3. ынн =0(1), -оо < *< +со. Использование знака равенства в рассматриваемой ситуации я вляется чисто условным, так как некоторые свойства знака равенства не сохраняются. Например, из «равенства» а!и х = 0(!), — оо < х < +ос, не следует,что 0(!) = О(п х. Гана %1!. Продел н нопрормоносга фуннанн одной пнромннной Справедливы следуюшие формулы: Напомним, что если 112п — = 1, 1( ') * *о уа(х) то функции г(х) и уа(х) называют эквивалентными нли асимлтатически равными при х- хаипишуг у(х) р(х), х хо.
Пользуясь таблицей (2) эквивалентных б. м. ф. и теоремой 25, получаем асимптотические формулы Всю группу соотношений ~(х) ~ 92(х), У(х) = а(р(х)), У(х) = 0(уа(х)), х -+ хо, называют асимлтатическими формулами или асимлтатическими оценками, Упражнения Найдите пределы: 2-гха-1 х' — ! ха+ Зх1+ 2Х 1.!ип, . 2. !ип . 3. 1пп х'-х ' ' « — 1Х'-1-Эх-1-2 «--1 ха-х-6 г- гх:3, Ж+хт-1 Х24-х б. 11гп б. 1'ип 7. 1ип ,-2 Х1 -49 ' «-а Х2 х' - 3*'+ ! ' Пользуясь эквиванентными б, м, ф., найлите пределы; яп 2Х 51П ОХ 9.
11т —. 10, !!п2 (а,23 = сопя). а *-о яп23Х вгса!п Зх агсгй 2Х 12. !ип 12. !ип «О *-а яп Эх ! — х' 1п(1+ х') 1б. !ип 1б. Нгп «1 яи«ГХ ' *-о 5!па Зх 2 СОО Х е — ! 1б. 1ип —. 19. 1яа —, «О «О 5!пах е««еы 1 21. 1ип (а, Ь = сапа!), 22. Игп — (е* — 1) . -а х ъ/Г~х2-1 4.
1'ип ' *-о х 1 х-гх б. 1'ип *-««14 ха 4ЗХ' га Зх 11. нпа —, ',-а яп 2Х яп Зх 14. 11ап —, «5!п 2Х 1п х — 1 17. 11гп «« !п(! — Х) 20. 11т -О Еа«« 6 17. Символы о и 0 (символы Лвидву! 231 Найдите пределы: 23. !пп ( —,* ) . 24. !пп (Я) . 2Б. !!сп(сове)!т. Я. !Оп (сдЯ.) и! 1, О. 2. -2. 3, -1, 4. О. Б. — -', 6, 1. 3 О. 8. — 1, 9. 2, 10, 6. 11. $.
12. 3. 13. 1в. 14. — $ (положить и — и = !). 1Б. ~ . 16. в. 17, -,'. 16. -1. 19, !. ЭХ -1. 21, о — Ь. 22. !. 23, -,'. 24, ев. 2Б. е с . 26. О. Глава /Х ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 9 1, Производная Пусть функция у = /(х) определена на интервале (а, Ь). Возьмем какое-нибудь значение х из этого интервала. Затем возьмем другое новое значение аргумента х + ках, ПрИдаВ ПЕрВОНаЧаЛЬНОМу ЭиаЧЕНИЮ Х ПрнраШЕНИЕ 2аХ, ПОЛОжИтЕЛЬНОЕ ИЛИ Отрнцательное, но такое, чтобы точка х + сух содержалась в интервале (а, Ь), Найдем приращение функции кзу, отвечающее приращению кэх аргумента: кау = у(х+ 2эх) — у(х). Составим раэностное отношение приращения функции 2эу к соответствующему приращению глкх ~ О аргумента: О у /(х+ Ьх) -1(х) (дьх ~ О).
2)гх тхх При фиксированном х зто отношение является функцией от сух: 2ау — = гр(Ьх). гзх Определение, Если при т2 х О существует предел отношения Д, то этот предел д называется производной от функции у = /(х) в данной точке х и обозначается 2'(х) или у'(х) или у,'. Таким образом, по определению ! /( ) „.
2)у В У(х+ ~*) — 1(*) д оЫ д о 2эх И Пусть у = хт, тогда е любое точке х для любого мх имеем гзз = (а+гкх) — х = эхтьх е(мх), Похтому —, = 2х+ 2кх, откуда ок Игл — = 2х гэе а*-о дх $1. Производная но !!ш ла = у'(х). Олвдэватвльно, фунщия у = хт имеет во асмой точке х производную р' = 2х, о еле т. в. (хт)' = 2х. 2.
Пусть р = е*.Тогда а любой точке х длялюбого Ьх имеем Ьу = е*+л* — е* = е*(ел* — ! ) Отсюда Ьр ее(еоь — !) г ео» !!пт — = !'цп = е !пп ле-е Ьх л* о Ьх л* з Ьх Таким образом, (е*) =с~ух. Замечание. формулу(!), о предела юшую п роя шоднуюфункции /(х), бмеает удобно братье следу вшей эквивалентной форме. Пустьфункция у(х) определенавточкехе и некоторой ееокрестности. Тогда ! уг( ) Г у(х) — у(хе) *е если этот предел сушествует. Определение.
Будем говорить, что функция у(х) имеет производную на интервале (а, Ь), если производная у (х) сушествует в каждой точке х Е (а, Ь). Задача 1. для функции э у( ) х 5!и-, О, хай, а=О, пользуясь определением проиэводной найти /'(О). Задача 2. Искодя иэ определения производной. доказать, что если пвриодичвская с периодом Т функ- ция у(х) имеет производную, то зта производная есть такив Т-периодическая функция Задача 3, Исходя из определанна производной, доказать, что производная чвтной функции, имеющей производную, всть функция нечетная, а производная нечетной функции всть функция четная, Ьр 1(х+Ь ) — 1( ) !З р = 1цп !За = 1цп — = йт Р и Ье О ЬХ Ье О Ьх 1.1. Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции р = 2(х), непрерывной на интервале (а, Ь).
Фиксируем произвольную точку М(х, у(х)) кривой р = 2(х). Пусть Р(х + Ьх, /(х + Ьх))— другая точка этой кривой. Проведем секушую МР (рис. 1). Касательной к кривой у =,Г(х) в точке М назовем прямую МТ, проходящую через точку М и являющуюся предельным положением секушей МР при стремлении точки Р к точке М по кривой (или, чтото же, при Ьх — О). Это предельное положение секушей определяется тем, что угол ТМР стремится к нулю, когдаточка Р стремится к точке М. Из рисунка видно, что угловой коэффициент )е, секушей МР равен лту йс = !я а = —. Ьх Пусть уг Ф у — угол, образуемый касательной МТ с осью Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
