Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В таком случае у можно рассматривать как сложную функцию у = У [(о(х)) аргуьтента х. Поскольку аргумент х является независимой переменной, то для сложной функции у = у [р(х)) дифференциал ду представляется в виде (у= Ыр(х)1)', (х. (7) По правилу дифференцирования сложной функции [,г[уз(х)) Г =) (и)(р(х), поэтому формула (7) примет вид т(у = у (и)уз (х) в(х. Замечая, что тр'(х) !(х = в(и, получим для !(у выражение !зу = у (и) ди, совпадающее с (б). Таким образом, дифференциал функции выражается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции.
Это свойство дифференциала называют инвариантносптью формы дифференциала. Следует обратить внимание нато, что если и — независимая переменная,то вформуле дифференциала в(у = у (и) в(и величина ди равна Ьи — произвольному приращению независимой переменной; когда же и = уз(х), то тли = р'(х) !(х есть линейнал часпзь приращения функции и = уз(х), в общем случае псравнил зли. Ь 6, Понятие обрвнюй функции, Производная обратной функции авт 9 6. Понятие обратной функции. Производная обратной функции Пусть функция у = у(х) задана на отрезке [а, Ь[ и пусть множеством значений этой функции является отрезок [а, 4 оси Оу. Пусть, далее, каждому у из [а, Д соответствуеттолькосднозначениех Е [а, Ь[,длякоторого ~(х) = у(рис,9).
Тогда наотрезке [а, Д можно определить функцию х = ут(у), ставя в соответствие каждому у Е [а, )у[ то значение х Е [а, Ь[, для которого 1(х) = у. Функция х = у(у) называется обратной для функции у = у(х). Если х = !Р(у) — обратная функция для у = у(х), У то, очевидно, функция у = 7(х) является обратной для функции х = ут(у). Поэтому функции у = у(х) и х = !Р(у) называют взаимно обралтнилти Для взаимно обратных функций имеют место соотношения Укажем еше один, более конструктивный, подход к понятию обратной функции. Если уравнение у = у(х), определяющее у как функцию от х, можно разрешить относительно х так, что каждому значению у соответствует одно определенное значение х, то получим уравнение х = р(у), определяюшее х как функцию у.
Эта функция х = !Р(у) является обратной по отношению к функции у = 7(х). Примера, у 'х 1. р= Зя нв (О, Ц; обратная Функция я = Я не (О,З!. 2. р = и', -со < и < +со; обРатная Функция * = И -со < р С +со 3. р=(,*п, обратная функция ( р если с — рвционвльное числа если * — ирреционвльное число; если у — Реционвльное число, если у — иррвционвльное число. Рис. 1О Очевидно, уравнения у = Дх) и х = у(у) определяют одну и ту же кривую на плоскости хОу. Если в обоих случаях откладывать значения аргументов на оси абсцисс, а значения функции на оси ординат, т. е. вместо уравнений у = у(х) и х = ут(у) рассматривать уравнения у = у(х) и у = у(х), то график функции у = ут(х) будет симметричен графику функции у = Г(х) относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов (рис.
Ю). Оврвдвявицв. Функция у = у(х) называется возраслталтигеу на некотором отрезке [а, Ь[, если для любых х ~ и хт из отрезка [а, Ь), удовлетворяюшнх условию х ~ < хы справед- ливо неравенство У(х~) < у(хт). Пример. Такова, непримвр, функция /(я) = е~ не любом отрезке )о, О!. В Гама 1Х. Производные н днааерендивнм функцнн одной переменное Теорема 4.
Если функция у = у(х) непрерывна и возрастает на отрезке [а, Ь[, причем г (а) = а, з(Ь) = 13, то она имеет обратную функцию х = ~р(у), которая определена, непрерывна и возрастает на отрезке [а, р[, Ограничимся геометрическим пояснением теоремы (рис.11). Кривая АВ является графиком функции у = у (х), непрерывной и возрастающей на [а, Ь[. Из рисунка видно, что каждому значению у Е [а, !3[ отвечает одно значение х Е [а, Ь[, для которого 7(х) = у.
Поэтому той же кривой АВ величина х выражается как функция у на [а,4: х = у(у). Этоиестьфункция,обратнаяк у = у(х). Она на отрезке [а,!3[ непрерывна (ее графиком является та же непрерывная кривая АВ) и возрастает, т. к. большему значению аргумента у отвечает большее значение функции х = у(у). Аналогичное утверждение справедливо и для непрерывной убывающей на [а, Ь[ функции. Рнс! ! 6,1. Производная обратной функции теорема а. пусть функция у = г (х) непрерывна и возрастает (убывает) в некоторой окрестности точки хе и пусть в точке хе суи1ествует производная у'(хе) ф О.
Тогда обратная функция х = х(у) имеет проимодную в точке уе = ~(хе), причем 1 1е (уо)— ~'~* )' (2) Ьх = 1о(уе + бьу) — х(уе). При этом в силу возрастания (убывания) обратной функции при агу ~ 0 обязательно бьх ~ О. Поэтому отношение ф можно представить в виде Ьх 1 (3) ау Если теперь гну устремить к нулю, то и ььх будет стремиться к нулю, т. к.
обратная фУнкциа х = 1о(У) также непРеРывна в точке Уе. По условию функция у = у(х) имеет в точке хе производную У (хе) ~ О. Следовательно, при сну - 0 (когда и сьх — О), предел частного -а — существует и равен уг( —. ! ! д1 Г (ее1' Из равенства (3) вытекаетпоэтому, что при гьу — 0 существует предел отношения о, причем гьх 1 1ап — т а|-о гну 1'(хе) и Рассмотрим функцию х = 1а(у). Дадим значению у = уе приращение гну.
Тогда функция х = 1о(у) получит некоторое приращение гьх: бе, йонмно обратной Еувцнн. проннаолнан обратное Еивцнн Зав Но предел отношения ф при Ьу - О есть производная у'(уо) функции х = р~(у) в точке у = уо. Таким образом, (4) Геометрически результаттеоремы достаточно прозрачен. Сушествование производной функции у = у(х) в точке хо эквивалентно существованию касательной к графику этой функции в точке Мо(хо, ~(хо)) .
Поэтому, если сушествует касательная к кривой у = У(х) в точке Мо(хо уо), не параллельная оси Ох, то она булет касательной и к графику функции х = р(у) (та же кривая!) в точке Мо (Рис. 12). ПРи этом У'(хо) = тб а, Рт'(Уо) = гб)5 и, поскольку а+,6 = $, то!в~9 = гб(т — а) = стб а =,—,',„, т. е.
1 тт (уо) = з,( У (хо) Формулу (4) записывают также в виде Рис. 12 (5) Формулы (4) и (5) можно получить совсем просто. Пусть у = у(х) и х = 1о(у)— взаимно обратные дифференцируемые функции. Тогда 1» 1у(х)) = х. у Дифференцируя обе части по х и пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим = рт'„= )1г,,у,' ~ О, « — „т, 6.2, Производные обратных тригонометрических функций 1. Функция у = агсьбпа определена на отрезке (-1, 1] (рис. 13) и является обратной для функции х = йп у на отрезке -~ < у < "-,. Рассмотрим интервал — ! < х < 1. Функция х = ойп у имеет для соответствуюших значений у Е (- -', у ) положительную производную х'„= соз у.
В таком случае сушествует также произволная у'„равная, согласно (5), 1г: ' гн 1 ! 1 1 у — — 1 < х < 1. ««т." «а «л:т«' Корень чТ- х~ берем сознаком «+», тк. соау ) Опля у Е (-у, у). Итак, (6) Гнава 1Х, Проивводнне и дийраренциани фунацни одной переменной Мы исключаем значения и = Ы, поскольку для соответствующих значений у = ~ з производная ин' = соа у равна нулю и правая часть (6) теряет числовой смысл. Рис. 13 Рис. 14 2.
Функция у = агсгйа, -со < я < +со (рис.14) служит обратной лля функции а = 18 у, — у < у < у. По формуле (5) ! 1 1 1 -+ !+18~у !+а~ Итак (7) Чтобы найти формулы лля производных агссоз а и агссгй *, достаточно заметить, Что '3Г я агса1па+агссоаа = —, агсгйз+агссгйз = —, 2' 2' откуда (8) (9) 9 7. Производные гиперболических функций г-г По определению гиперболический синус а!1 х =, гиперболический косинус Ег+Е г с!г а = —.
Отсюда легко находим l /Е* — Е *1 г' е* + е ' ! (з!4з)'= ~ у! =спи, (с!гз)'= ( ) =а!4л. 2 / в 6. Логцгнфмичвнгов дифференцированно ааг Поопределениюгиперболическийтангенс11г х = Я, гиперболический котангенс сбз х = -',ь*. Пользуясь правилом дифференцирования частного и тождеством с1г х — в1г х ад 1, г получаем Таблица проиаводнык основных еяементврнмх функций 5 8. Логарифмическое дифференцирование При отыскании производной сложной функции иногда бывает удобным следующий прием, называемый логарнфмическны дифференцированием.
Пусть требуется найти производную функции У = з(х) ) 0 и пусть функция 1о(х) = 1и г (х) дифференцируется значительно проще. Тогда поступаем так. Беря натуральный логарифм данной функции, будем иметь !и у = 1п з(х), или 1п у = нг(х). Дифференцируя обе части (1) по х и учитывая, что у есть функция от х, найдем У вЂ” = р'(х), у Глана (Х, Праааодные и йнфферанцнепы фу!анин одной переменой откуда у' = у ° (о'(х), или (2) Логарифмическое дифференцирование особенно удобно при дифференцировании сложной степенно-показательной функции, т.е. функции вида у = 1«(х)) (а(х) ) О, а(х) и «(х) — дифференцируемые функции). Имеем !и у = «(х) )п а(х).
Лифференцируя обе части последнего равенства, получаем у и'(х) у — = «'(х)!и а(х) + «(х)— а(х) откуда у'(х) = [а(х)) ~«(х) !па(х)+«(х) — у! . а'(х) ( (х) ( Примо«. найти проиэаоднво функции у=а, а>0. а Баре натуральные логарифмы от обвил частей равенства (т), получаем (ну =и!па, откуда г — = !па+ !, у~ = уйп и+ !) У или у' м а*(гп а + !), ° 9 9. Применение дифференциалов в приближенных вычислениях Пусть функция у = У(х) дифференцируема в точке хо, так что прирашение функции гзу, отвечаюшее прирашению тзх аргумента, представимо в виле Ьу =,г (хо)Ьх+ а(т.'ух)тих, гле У'(хо)т."ух = г(у(хо), а(тьх) - О при гзх -~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
