Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Учитывая, что угловой коэффициент касательной МТ к кривой у = /(х) в точке М есть предел углового коэффициента секушей М Р, когда точка Р стремится по кривой к точке М (и, значит, Ьх - О), получим Глана !Х.' Пронааодньм н днааеренцналм Етнщин одной переменной кзо у = ('(х) Рис.! последний предел (если он сушееткует) есть производная ~'(х), так что Таки мобразом, производная у"(х) функпии у = у(х) естьугловой коэффипиент тст касательной, проведенной к кривой у(х) = ~(х) в точке с абсписсой х.
1.2. Уравнение касательной и нормали к кривой Пусть имеем кривую, заданную уравнением у = з(х). Возьмем на этой кривой точку Мо(хо,,т (хо)) и выведем уравнение.касательной к кривой в точке Мо, предполагая, что сушествует производная ~'(хо). Уравнение прямой с угловым коэффипиентом я, проходяшей через точку Мо(хо, уо), выглялит так у.— уо '= й(х — хо) Угловой коэффициент касагеланой гс, = ~'(хо), поэтом ууравнение касательной к кривой у = у(х) в точке Мо имеет вид Норлталмо к кривой в данной ее точке называется прямая, проходяшая через эту точку перпендикулярно касатедьной к кривой в этой точке.
Из определения нормали следует, что ее угловой коэффипнент.й„связан с угловым коэффициентом ттт касательной соотношением ! ! а„= — —, т'.е. ял = —, (~ (хо) Ф О) е,' ' '. ",г'(хо) Уравнение нормали к кривой у = з (х) в точке Мо(хо, уо): В случае, когда У'(хо) = О, уравнение нормали есть х = хо.
Пример. Написать ураеиммо касательной и нормали к криаой у = ат а точке О(0, О). $1. Пронаеодиея ° Имеем У(х) = хт, / (х) = 2х, /'(О) = О. Поэтому ура«нанна касательной у — 0=0 (х — О) или у=О (ось Ох); ура«нанна нормали; х = 0 (ось Оу) (рис.2), Ь 1.3. Производная с точки зрения механики Пустая = Я(() — законпрямолинейногодвиженияматериальной точки, выражающий путь Я, пройденный точкой, как функцию времени. Обозначим через (),Я путь, пройден- Рис. 2 ный точкой за промежуток времени 2а( от момента ( до ( + ка(, т. е.
ЬЯ = Я((+ Ь() — Я((). Отношение —, называется средней скоростью точки за время от ( до (+ сь(. Скорость в оу в данный момент ( определим как предел средней скорости за промежуток времени от( до(+ Ь(, когда тд( — 0: ЬЗ о(() = 1пп — = Я'(().
ш-о (з( Таким образом, скорость о(() есть производная от пути Я = Я(() по времени (: о(() = Я'((). Пример. Точка дан«ется прямолинейно по эакону Я = (~ (8 — метрм, ( — секунды). Найти ее скорость е момент ( = 3. < Скорость точки е любой момент аремени ( Вэ" «= — =2(. в( Отсюда «~, = б м/сот. и 1.4. Правая и левая производные Введем понятия правой и левой производной функции У(х) в точке х. Определение. Правой производной 2(х + О) функции у = 2(х) в данной точке х называется величина Ьу , ~у 2'(х+О) = 1пп — = 1пп а*-о Ьх дх-о+о (ьх' акьо и левой производной 2'(х — О) — величина 2~у У'(х -О) = (ки — = 1(ш о*-а 2зх ах о-о сьх' хм<о если указанные пределы существуют.
Пользуясь понятием односторонних пределов функции, получаем: для того чтобы в точке х существовала производная /'(х), необходимо и достаточно, чтобы в точке х функция у = 2(х) имела правую и левую производные и зти производные были равны между собой: У'(х+ О) = У'(х — О) = У'(х). гве Главе 1Х. Произяодиые и дифференциалы функции одной переменной Следуюший пример показывает, что сушествуют функции, которые имеют в точке х правую и левую производные, но не имеют производной в этой точке.
Пример. Рассмотрим функцию /(х) = (хр Для зтсй функции отнонюние /(О+ дх) - /(О) )дх( дх дх равно 1, вели гкх > О, и равна — 1, если гзх < О. поэтому функция /(х) = ~х~ я точке х = 0 имеет прзеую производную )гьх( / (О '; О) = Игл — = 1 л.-ч дх и левую производную /'(Π— 0) = Цю (дх) Рнс, 3 но они нв разны, и знечит, я точке х = 0 функция /(х) = (х) не имеет производной. Геометрически это означает, чта е точке 0(0, 0) график функции р = ~ х) (рис. 31 не имеет касательной, ° Пусть функция /(х) непрерывна в точке хс. Будем говорить, что функция /(х) имеет в точке ха бесконечную производную, равную +со или — оо, если в этой точке или соответственно (Ьометрически это означает, что касательная к кривой у = /(х) в точке (хо, /(хс)) перпендикулярна к оси Ох. Пример. Рассмотрим, например, функцию /(х) = ьтгх.
Для этой функции при х = 0 имеем КЬХ /(О Е Дх) — /(О) Ггпхх дх дх дк уз/(д )т' откуда видно, что -, "стремится к всо при стремле- нии гьх к нулю праизеольнмм образам. График функ- ции у = тз/х е тачке 0(0, 0) имеет вертикальную ка- сательную х = О (ось Оу, рис. 4), Р Таким образом, если функция р = /(х) в точке ха имеет конечную производную У (хо), то в точке Ма(ха, У(ха)) график функции р = /(х) имеет касательную (рис. 5), определяемую уравнением Рис. 4 Определение.
Функция у = /(х) называется гладкой ла интервале (а,Ь), если она непрерывна вместе со своей производной на этом интервале. В этом случае кривую, задаваемую правилом у = /(х), называют гладкой кривой на (а, Ь). 237 Ь 2, дифаереьцирренесгь фрнции. Дифференциал фрннцни Рис. 6 Рис. 5 Если в точке хс функция у = ~(х) непрерывна и имеет правую и левую произволные У'(хе+О) и У'(хе — О), причем У'(хе+ О) рь з'(хе — О), то в точке Ме(хе„~(хе)) график функции у = 5(х) касательной не имеет (кривая не гладкая). Но сушествуют лве односторонние лолукосоеельнме (рис.
6). Точку Мс(хс, 5(хе)) называют в этом случае угловой мочкой кривой у = /(х). Так, точка 0(0, О) есть угловая точка графика функции у = 14. Если функция у = /(х) непрерывна в точке хс, а ее производная в точке хе бесконечна, то возможны случаи: 1) У'(хе) =+ 2) У'(*) =-~' 3) 5'(хе — О) = -оо, /'(хс + О) = +оо; 4) У'(хе — О) = +ос, У'(х, + О) = -оз. 4) Рнс. 7 На рис. 7 представлены расположения касательной х = хс к графику функции у = У(х) в точке Ме(ае, /(хе)), отвечаюшие случаям 1)-4). (В случаях 3) и 4) иногда говорят, что график функции у = Г(х) имеет две слившиеся полукасательные.) 5 2.
Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Пусть функция у = Г(х) определена на интервале (а, Ь). Возьмем некоторое значение х Е (а, Ь). Дадим * прирашение Ьх любое, но такое, чтобы х + сьх Е (а, Ь). Тогда -"йбс Глхии |Х. Проихаодиыо и диффироы~иалы функции одной переменной функция у = У(х) получитприращение Ьу = 2(х+ Ьхг †.Г(х). Оаределеиие. Функция у = /(х) называется дифференциругмой в точке х Е (а, й), если приращение функции Ьу = .Г( + Ь ) - У(х), отвечающее приращению Ьх аргумента, можно представить в виде Ьу = АЬх + ст(Ьх)йх, (1) где А — некоторое число, которое не зависит от Ьх (но, вообще говоря, зависит от х), а а(Ьх) — О при Ьх — О.
пример. Рассмотрим функцию р = хт. Во воякой точки х н при любом ьх мнввм Ьу= (и+Ьх) — х = 2х Ьх+ Ьх Ьх. к и Отсюда, и силу определении, функция р = х днффиринцируима и любой точки х, причем А = 2х, 1 о(Ьх) = Ьх. ы Следующая теорема выражает необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Теорема 1, Двя того чтобы функция у = у(х) была диффгренцируемой в точке х, необходимо и дчстаточно, чтобы у (х) в этой точке имела конечную производную у '(х).
Необкодиыость. Пустьфункция у = Г(х) дифференцируема вточке х. Докажем,что в этой точке существует производная Г ~(х) . Действительно, из дифференцируемости функции у = у(х) в точке х следует, что приращение функции Ьу, отвечающее приращению Ьх аргумента, можно представить в виде Ьу = АЬх+кт(Ьх)йх, откуда — = А+а(Ьх), Ьу Ьх где величина А для данной точки х постоянна (не зависит от Ьх), а ст(Ьх) — О при Ьх — О. По теореме о связи функции, имеющей предел, с ее пределом и беско- нечно малой функцией,отсюдаследует,что А = !пп — = /(х).
Ьу ь -оЬх Существование производной доказано. Одновременномы установили, что А = у'(х). Достаточность Пусть функция у(х) в точке х имеет конечную производную у (х). Докажем, что Г(х) в этой точке дифференцируема. Действительно, существование производной Г" (х) означает, что при Лх — О существует предел отношения д~ и что Ьу йш — = Г (х). с оЬх Отсюда, в силу теоремы о связи функции, имеющей предел, с ее пределом и бесконечно малой функцией, вытекает, что — =,Г (х) + а(стх), Ьх $2. Диффаренцаруамость Функюм. Дяффаранциап функции где а(Ьх) - О при Ьх- О, и, значит, 229 2.1. Непрерывность дифференцируемой функции Теорема 2. Если функция у = у(х) дифференцируема в данной точке х, то она непрерывна в этой точке.
и Действительно, если функция у = /(х) дифференцируема в точке *, то прираще- ниее Ьу этой функции, отвечающее приращению Ьх аргумента, может быть предста- влено в виде Ьу = АЬх+ а(Ьх)Ьх, (3) где А — постояннаядляданной точки х, а а(Ьх) - О при Ьх — О. Из равенства(3) следует, что !Нп Ьу= О, ь*-с что и означает, согласно определению, непрерывность функции у = ~(х) в данной точке х. И Обратное заключение неверно: из непрерывности функции ~(х) в некоторой точке х неследуетдифференцируемостьфункции в этой точке. Пример, Например, функция Г(х) = )х) непрерывна з тачке х = О, но, как мм показали емше (с. 236), не имеет произзоднай а точка х = О и потому не яаляется дифференцируемоа з зтаа тачке. и Приведем еше пример.
Пример. Функция ~ * м~,-', * и о; О, х = О, нетрермзна на интерзале (-ос, ч-са). Для зсек х и 0 она имеет производную, но з точке х = 0 она не имеет ни правая, ни лааоа произзоднод, потому что величина Ьхил — 1 1 = з!и— Ьх Ьх не имеет предела, как при Ьх 0 е О, таки при Ьх -- 0 - О. ° В приведенных примерах производная отсутствует лишь в одной точке.
Так и думали в ХМП и начале Х1Х в., когда считали, что непрерывная функция может не иметь производной самое большее в конечном числе точек. Позже были построены (Больцано, Вейерштрасс, Пеано, Ван дер Варден) примеры непрерывных на отрезке (а, Ь] функций, не имеющих производной ни в одной точке отрезка. Лу = ~(х)сзх+а(Лх)тзх. (2) Так как в правой части формулы (2) величина ~'(х) не зависит от Ьх, а а(Ьх) -ч О при Ьх - О, то равенство (2) доказывает, что функция у = /(х) дифференцируема в точке х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
