Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пример. Покажем, что функция р хз непрерывна во всякой точке яо числовой оси, ю В самом дела, для любого приращения мх в точке хо имеем Др = (ХО+ ДХ) — ХО = 2ХОЬХ Ч. (мву = (2*Е Ч чтв)2КХ, откуда видно, что величина тЗЧ О при тЗх О. и В ряде случаев удобно пользоваться следующим определением непрерывности функции в точке. Определение 4 (Гейне). Пусть функция /(х) задана на произвольном множестве Е действительныхчисел ипустьточка хо б Е.
Функция у(х) называетсянепрерывнайвтачке хо, если для любой последовательности точек (х„), х„б Е, сходящейся к точке хо, соответствующая последовательность <,Г(х,) ) значений функции сходится к Г(хо). Пользуясь определением 4, можно показать, что функция Дирихле У(х) = 1, если х — рациональноечисло; О, еслих — иррациональное число, не является непрерывной в любой точке хо б 22.
$ ЯЗ. Оеновиьм влементврныв фуиации. Ик нмьрьтнммкть 213 Все четыре определения непрерывности функции равносильны. В каждом конкретном случае пользуются тем определением, которое оказывается более удобным. Следуюшие теоремы выражают локальные свойства функции, непрерывной в точке. щ Пустьлля определенности У(хо) > А, такчто У(хо) = А + гь, где гь > О. Возьмем с = ь. В силу непрерывности г(х) б > О, что для всех х, удовлетворяюших условию 1х— ',г(х) — У(хо)~ < "-, или в точке хо сушествует такое хо~ < б, верно неравенство 1ь гь — — < г(х) — у(хо) < —, 2 2' откудаьгх б (хо — б,хо+ б) имеем 1ь гь гь ~(х) > /(хо) — — = А + Гь — — = А + — > А, м 2 2 2 Теорема 14 (устойчивость энвка непрерывной функции).
Если функция г(х) непрерывна в точке хо и з (хо) зб О, то существует окрестность (хо — б, хо+ б) точки хо, в которой функция у (х) не обращается в нуль и сохраняет один и тот хсе знак (знак числа г (хо) ). м Чтобы убедиться в этом, достаточно и предыдушей теореме взять А = О. м 910. Основные элементарные функции. Их непрерывность Основными элементарными функциями называются следую шие функции 1. !. Степенная функция у = х", где а — любое действительное число; область определения х > О. 2.
Покаэвтеньнвв функцив у = а*, а > О, а Ф 1; область определения — оо < х < +со. 3. Логарифмическая функцкя у = 1ой, х, а > О, а Ф 1; область определения х > О. О Подробнее с основными элементарными функциями можно познакомиться в приложении. Теорема 1Э.
Если функция Г(х) непрерывна в точке хо и Г(хо) > А (соответственно ,г'(хо) < А), то существует такое б > О, что г (х) > А (соответственно Д(х) < А) для всех х из интервала (хо — б, хо + б). Глава Уй(. Првдеа и непрерывность функции од1юй переменной 214 4. Тригонометрические функции б. Обратные тригонометрические функции Функции, которые получаются из основных с помон(ью конечного числа арифметических операций, а также операций взятия функции от функции, примененных конечное число раз, называются элементарными функциями. Можно показать, что все основные элементарныефункции непрерывны в каждой точке своих областей определения. Пример.
Покажем, напримвр. непрерывность функции у = соэ х, -со < х < +со. Предварительно докажем неравенство (1) Рассмотрим окружность радиуса 1 (рис. 21). Пусть угол АОВ имеет х радивнную величину х, О < х < —, и пусть (АОВ = 2АОС. Очевидно, 1' О -х А длинаотреэка ВС равна 2япх;длинадуги ВС равна 2х. Таккакдлина дуги больще длины корды, стягивающей эту дугу, то 2 яп х < 2х и, значит, к!п < х. С Длл рассматриваемых значений х Е (О, -) зто неравенство можно запиРнс. 21 сать в виде (ялх! < (х!. Учитывал, что )ял( — х)! = ! — япх! = )япх! и ! — х! = !х(, замечаем, что неравенство ! ял х! < Пй верно и длл х е (- д, О) , так как ып О = О, то неравенство (1) справвдамо длл всех х Е ( — д, -'), Если же х й (- —,, "-,), то )х! » -", 1, тогда как ! яп х) < 1 Ух, Следовательно, нервввнство (ялх! < (х) верно дпл любых х.
Функция у = сок х определена на всей числовой оси. возьмем любую точку х Е И, Дадми этому значению х приращение Ьх. Тогда функцию у = сок х полу ыт приращвнив Ьх~ Ьх Гзу = саз (х ч. цх) — сок х = — 2 яп (х + — яп —. 2 у 2 Отсюда (Ьу! = ~-2з)п (х-,'. — ) ял — ~ = 2 (з1п ~х-1. — )! (к(п — ~. (2) воспольэовавщись тем, что всегда (э)п(х+ —,)( < ! и (ял — ( < 1 в силу неравенства (1), из (2) получаем, что )гьу( < 2 ° 1 — = ((Эх(. )ох! 2 Итак О < (Оу! < )Дх! $!!, Зяе етельнмв пределм !при фиксироаанном * Гар есть функцил от Гка!. Отаода, е силу теоремм о предала промежуточной функции, при Ье О получаем Нл1 а|=О.
о*-0 Это оаначавт, что функции р = сот а напрермана е мосей точка с числовой оси. 5!П Х 1пп — = 1. -о х я Предположим, что угол х заключен в границах О < х < т. Рассмотрим окружность радиуса 1 и проведем некоторые по- строения (рис. 22). Из рисунка видно, что плош. ЬОАВ < плош. сектора ОАВ < плош. сзОАС. 1 1 1 — яп Х, -Х, — гвх, 2 ' 2 ' 2 Рис. 22 то япх<х< !ах, хб (О,— '2/ Разделив все члены этого неравенства на яп х > О, получим х 1 1« —, —, 51П Х СО5 Х откуда (2) яп( — х) соз( — х) =соах, Функция у = соа х непрерывна в любой точке х, в частности, в точке х = О, так что 1пп со5 х = со5 О = 1.
(3) к о Таким образом, обе функции 1р(х) = сов х и тр(х) = 1 имеют в точке х = О предел, равный единице. По теореме о пределе промежуточной функции из (2) и (3) получаем 51П Х 1!ш — = 1. м к-о х 9 11. Замечательные пределы 11.1. Первый замечательный предел Если угол х выражен в радианах, то Так как указанные площади равны соответственно 51П Х 1 ) — ) со5Х. х Неравенство (2) доказано для х б (О, 52), но оно верно и для х б (-т, 0), так как 5!П Х Глава гл. П1мднн н непрнрманоого функннн одной поромвеой 21В 11.2. Второй замечательный предел Мы установили выше, что 1!Гп 1+ — = е. Положим „-' = л.
Легко видеть, что л принимает значения 1, ~, -',... и а — 0 при и — со. Будем очевидно иметь 1 !нп(1+ х)т = е. о о Можно показать, что !!ш(1+ х)* = е, о о когда х стремится к нулю произвольным образом, пробегаялюбую последовательность значений, отличных от нуля. 912. Операции над непрерывными функциями Теорема 15. Пусть функции /(х) и ~р(х) определены в некоторой окрестности точки хо.
Если функции у(х) и уо(х) непрерывны в точке хо, то непрерывны в точке хо их сумма Г(х) + 1о(х), разность Г(х) — ~р(х), произведение Г(х) 1о(х), а также частное оч! (при дополнительном условии р(хо) Ф О). М Докажем непрерывность частного функций. Пусть функции у(х) и 1о(х) непрерывны в точке хо, причем р(хо) ~ О. В силутеоремы об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестностьточки хо, в которой функция р(х) ~ О. Поэтому функция Р(х) = ф определена в некоторой окрестности точки хо. Так как 1!по /(х) = у(хо), Цгп 1о(х) = чо(хо) чь О,топо теореме о оо оо о пределе частного имеем 1!Гп у(х) йщ Е(х)= Пщ — = = =Е(х), У(х) *-* У(хо) *о * *о 9~(х) 1нп 9~(х) ~Р(хо) Итак йщ Р(х) = Р(хо),т.е.
функция Р(хо) = Д2 непрерывна вточке хо. о, Фю Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. м 12.1. Сложная функция. Непрерывность сложной функции Пусть на некотором множестве Е точек числовой оси задана функция и = уо(х). Обозначим через Е1 множество значений и, соответствующих значениям х из множества Е. Пустьдалее на множестве Е~ определена функция у = у(в). Таким образом, каждому х б Е соответствует определенное и б Еы а этому и б Ем в свою очередь, соответствует определенное значение у = Г(в) (рис. 23).
Следовательно, величина у 2гт $12. Оперение нед неерекывнннн фуавемин в конечном счете является функцией от х, определенной на множестве Е. В этом слу ие р мы будем называть сложной функцией от и и обозначать так: у =)(и) Лр(х)) у = Лр(х)] Например, если и = з)их, р = е", то мы имеем сложную функцию у = е*"', опрелеленнуюлля всех х. Теорема 16 (аереход к пределу аод знаком Рис. 23 неарерыаной функции). Если функция в = ~р(х) в точке хе имеет предел, равный числу А, а функция р = з (в) непрерывна в точке и = А, то сложная функция р = у [р(х)] в точке хе имеет предел, равный У(А). [у(в) — 1(А)] < е.
(2) По условию А = Вш р(х). Поэтому„каким бы ни было число и > О, найлется такое е ео б > О, что для всех х, удовлетворяющих условию О<)х — хе) <б, (3) будет верно неравенство ]1а(х) — А/ < В или, что то же самое, неравенство ()). А из неравенства (!) следует неравенство (2)„ которое можно записать в виде )у [р(х)] — У(А)] < е. (4) Итак, лля любого е > О существует б > О такое, что лля всех х, удовлетворяющих условию О < )х — хе) < б, верно неравенство ~У[)а(х)] — У(А)] < е. Согласно определению это означает, что число У(А) есть предел сложной функпии у [~р(х)] в точке хс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
