Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Произведением а~лг комплексных чисел л~ — — х1 + гу1 и аг = хг + гуг называется комплексное число (3) Эту формулу легко запомнить: достаточно при обычном перемножении (х1 + гу,) и (хг+ туг) учесть, что ги = — 1. Если а1 и лг — действительные числа, то правило(3) совпадает с обычным. Несложно проверить, что при таком определении произведения сохраняются основные законы умножения — нереместител ьн ый: сочетательный (агат)аз = аг(агат), Г:: —::2 распределительный (относительно сложения): Умножсниедопускаетобратнуюопераиию — деление: длялюбыхдвухкомплексных чисел а1 и аг (лг Ф 0) можно найти такое комплексное число а, что а~ = ага. (4).
Комплексное число а называется частньмг отделения л~ на лг и обозначаетсячерез Я. Укажем формулу для вычисления частного. Пусть а1 — — х~ + туп аг = хг+ луг а = х+ ту. Тогда из формулы (4) вытекает, что х~ = хгх — УгУ У1 = хгУ+ хУг. Полученная система (5) при а, Ф- 0 всегда разрешимаотносительно х и у, Имеем (5) (6) Комплексное числа Глене Н1. Чномеме нножеотел. Чнолоеме лоолеаоелтельноотн называется солрязкеннмм комплексному числу г = х+ ту. Укажем некоторые свойства оперании сопряжения: (7) 10.1. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа Комплексное число л = х + гу изображается на плоскости х08 точкой М с координатами (х, 8) либо вектором, начало которого находится в точке О(0, 0), а конен— в точке М(х, р) (рис.
8). Такую плоскость будем называть комплексной нлоскостью л; ось Ох — действительной (вещественной) осью, а ось Ор — мнимой осью. Рнс. В Рнс,в Для определения положения точки М ~ 0 на координатной плоскости удобно пользоваться полярными координатами (т, В), где т — длина вектора ОМ, а  — угол между вектором ОМ и осью Ох (рис.9). Переходя в алгебраической форме записи комплексного числа л = х + еу к полярным координатам х=тсозВ, у=тз1пВ, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа (8) Полярный радиус т называется модулем комплексного числа л, а полярный угол В— его аргументом. Обозначение: т =1л), В = Агах.
Модуль комплексного числа определяется однозначно: (9) Аргумент комплексного числа л ~ 0 определен с точностью до слагаемого, кратного 2я: Ага =ага +28; (й=О,Ы,Ы2,...), (10) где ага л — главное значение аргумента, задаваемое следуюлзими условиями — я < агах < 1г (или 0 < агах < 2к) !От $ ру. Комалакснме числа а действие над ними (12) Аргумент ком йлексного числа в = 0 вообше неопределен, а модуль этого числа равен нулю.
Лва отличных от нуля комплексных числа в, и вз равны между собой в том и только в том случае, когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отличаются на слагаемое, кратное 2я: где и — делос число, Пример. Найти модуль и аргумент комллаксного числа к и а = — ял — — тсоа —. 8 8' и Имеам 1т к е=-к!»-СО, у= — сок-ев. 8 ' 8 Главным значением аргумента, согласно !!2) будет :тт ! гк кт! Зкт Зк 5л мак = -к+ атс!в (с!в -к! = -л+ агота !!В ! - — — т! ! = -и+ атс!в !ч!в — ) = -к+ — = — —.
8У ! ~2 8Я 8) 8 8 Следовательно, 5 Акаа= — — Л+2ал, а=в,ит,ж2,. 8 ! т 1к1 = ил! — +сок' — и !. и 8 8 Отмеченное выше соответствие между комплексными числами и векторами на плоскости придает естественный геометрический смысл операциям сложения и вычитания комплексных чисел (см, рис. 10, где изображена сумма и разность комплексных ЧИСЕЛ З! И Вз). Легко устанавливаются следуюшие неравенства. (14) Рис. !О Для простоты письма введем сокращенное обозначение ~:::-Л сов В+ !гйпр = е' (15) Гласа МИ. Чнслоеие множества, Чнслоенв послеясеатвльностн (полный смысл введенного обозначения будет установлен в дальнейшем), Зто пбзволяет записать комплексное число (8) в локазалтелытой форме '(л = ге'".) (16) Тригонометрическая н показательная формы записи комплексного числа удобны для выполнения операции умножения и деления комплексных чисел.
Если л, = г, енн и лз = т тейт, то (17) м В самом деле л1лз = г~ет ' тает ' = г~(соьВ~ +ть1пВ~)гт(соьйт+ те!пВз) = = г1гт~(соьВ, соьВт — ь1п В1 ь1пВт)+(ь!п В, соьдт+ь1пйт соьВ~)] = = гага(соь(В~ + Вз) + ь ьш(В + В,)) = г,гтей~" с". м Таким образом, прн умножении комплексных чисел нх модули перемножаются, а аргументы складываются: 1л~лг~ = )л~1 1лз1, аг8(л,хз) = аг8 л, + агй лт.
(18) Так же просто выполняется операция деления комплексных чисел: (19) (при гт ~ О). Из формулы (19) видно, что (20) Определим операцию возведения комплексного числа л в натуральную степень и: 3" =х ... ь. н опт В силу формулы (17) возведение комплексного числа х =гете = г(соьВ+тьбпВ) в степень и можно производить по правилу (21) Из последнего соотношения при г = 1 получается формула ттууасра (22) Обратная операция — язвлечение корня — определяется следуюшнм образом.
Комплексное число и называется корнем и-й снтелеяи из комплексного ~ясла л, если тс =л. п (23) Обозначение: тс = тть. 610. Камллексиме числа и действии вад ними 189 Покажем, что лля любого л 56 0 корень ~Д имеет и различных значений. Подставляя л = те , тс = ре " И тт в Формулу (23), получаем р" е'"" = те'~. (24) Напомним, что из равенства комплексных чисел выте- кает равенство их модулей, а аргументы чисел либо со- впадают, либо различаются на слагаемое, кратное гк. Поэтому из соотношения (24) вытекают равенства р" =, р=в+гая, или, чтотоже, (25) В+гя2; ., В+гМ~ с/л = (ут (соз — +тейп ), 2е = 0,1,...,п — 1, (26) или л п телека Гг= ~/те( ч, те=0,1,...,н — 1. (27) Прима(ь Найти все аиачеиил А.
3. и Запишем комппвксиое число е = т в покааатвлкиой форме е=т=ет, В соответствии с формулами (27) .„=.(-: %, получаем Ь = О, 1, 2. ттЗ .1 мЗ+( — -1. $ — = 2 2 2 тз,( —,Гз+( = — — +т- = —, 2 2 2 л, л ме = е'т =сов — ч-(ип — = 6 6 5 м~ = е'т 5л „, 5л — сое (- т мп 6 6 зл , Зл — сое — + т т!п 2 2 3* мт = етт Рис, 12 (рис. 12>. М Первое из равенств (25) показывает, что модули всех корней и-й степени из л одинаковы, а второе— Рис.
11 что их аргументы различаются на слагаемое, кратное — „. Отсюда вытекает, что точки на комплексной плоскости, соответствуюшие 2к различным значениям корня и-й степени из комплексного числа л ~ О, расположены в вершинах правильного н-угольника, вписанного в окружность радиуса ~/~4 с центром в точке ит = 0 (рис. 11). Придавая в формуле (25) числу (е значения О, 1, 2,..., и- 1, получим и различных комплексных чисел Гееее еть Чиееееые ыиежестее.
Чеееееые еееледееечельиеете 10.2. Предел последовательности комплексных чисел Пусть (ги) — последовательность комплексных чисел. Определение. Комплексное число г называется пределом последовательности (г„), если для любого е > О найдется номер лГ = Ю(е) такой, что для всех и > Ю выполняется неравенство !«и — г! < е. Последовательность (г,), имеюшая пределом комплексное число г, называется сходящейся к числу г. Обозначения; г= !пп гнили«и - г. и оо и оо Каждый элемент г„= хи + )уи последовательности (ги) характеризуется парой действительных чисел хи и уи, Поэтому последовательности комплексных чисел (ги) соответствуютдве последовательности вешественных чисел (хи) и (уи), составленные из действительных и из мнимых частей элементов г„последовательности (ги).
Теорема, Последовательность каммексных чисел (ги ) является сходящейся в там и толька в там случае, когда одновременно сходятся абе последовательности действительных чисел (хи) и (уи) (ги = хи + еуи) м Пусть последовательность (ги) сходится к числу г. Это означает, что для любого е > О можно указать номер лг, такой, что для всех п > йг вь|полняется неравенство )ги — г! < е. Так как )хи -х! < )ги -г! и )у, — у! < )ги — «! < е„то отсюда следует что Иш хи = х, 1нп уи = у.
и оо и оо Обратно, если 1пп хи ьи х и !пп уи = у, тотогдадля любого е > О найдется номер лг1 и оо и м такой, что г е )хи — х! < —, )уи — у! < —. Л' " Л' Поэтому ! . — г! = Ьх. + 1у.) — (х + еу)! = <е, Тем самым !пп(хи+ чуя) = х+!у, и и оо Доказанное утверждение позволяет переносить на последовательности комплексных чисел все основные факты, установленные для сходяшихся последовательностей действительных чисел.
Упражнения 1, Докажите, что предел последовательности (-„'г ) равен нулю. Для каких значений и будет выполнено неравенство 1 — <г, пз если: а) е > 0 — любое, б) е = 0,1; е) е = 0,01. 2, Докажите, что предел последовательности ( — „"., ) равен свинине. !9! 6 1О. Комплексные числа и дейв тмаа ная ними (Ухазанша, Прн отыскании предела отношения двух многочленовопюсительно н пелесосбраэио пред- варительно разделить числитель н энаменатель на ит, где р — наивысшая степень многочлеиа в знаме- нателе. Этат прием используется и при отыскании предела дробей, содержаших ирраниональности) 1б.
Найдите модуль и главное эначение аргумента комплексного числа; а) 4+ Зз; б) -2+ 2з/Зз; в) -7 — в; г) — соз з + 3 з|п «; д) 4 — Зз. 17. Запишите комплексное число в тригонометрической и показательной форме; а) -2; б) 2»; в) -в; г) -чг2+ вз/2. 16. Вычислите: а) (2 — 2в)'| б) (ч»3 — Зв); в) ( ь,)~. 19. Найдите все значения корня: а) ~ь/|; б) ч'в; в) б'-в; г) (/-! + ° ; д) г/2 — 2 ГЗв, Ответы 1. а) и > ~',б) и й 4; в) и > 10. 3.
1. 4.О. В. со. 6. ч/2. 7. — |. 6. О. 9. О. 19. !. 11. -'. 12. О. 13. О. 14. -2. 1б. !. 1В, а) т = 5, д = агсгй -', б) з' = 4, д = 'э"; в) т = 5а/2, й = -зг + агс|й г) т = |, д = в; д) т = 5, й = — шай 1. 17. а) 2(соз и + в з|п и), 2е"; б) 2 (соз -', + а ип — ",), 2е г; в) соз ( —,) + з з|п (- -", ), | е зт; г) 2 (соз» + в з|п з ), 2е» .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
