Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Если г(у(хо) ~ О и, значит, /'(хо) Ф О, то Ьу а(г."ух) — =1+ —, !(у У (хо) так что при т."ух — О бесконечно малые гуу и г!у эквивалентны и их разность гау — г(у есть бесконечно малая более высокого порядка, чем они сами.
Поэтому мы можем брать величину г(у в качестве приближенного значения сну: "ау т(у. Так им образом, если г(у(хо) ~ О, то для приближенного вычисления значения функции в точке хо + Ьх можно пользоваться формулой причем абсолютная и относительная погрешности будут как угодно малы при лостаточно малом (гзх!. $10. Производные вмсвик лорвдков Пусть, например, у = ху, Д Е Ж. Тогда ЬУ = ~(хо+ Ьх)Р— хор, ЫУ(хо) = )3хор ~йкх, При малых значениях 122 х! полагаем (хо х) хо у(~о) или В частности, при 11 = 2 1 1 т/Гхо+ тих т/мое+ — Лх, хо > О. 2ь/хоо (2) Пример. Вычислить приближенно т'2,990, м Полагаем *о = 4, Ок = -0,004, получим по формуле (21 ьм=тт+нцич и+ — нь~>= лн 1 2т'4 910. Производные высших порядков Если функция г(х) имеет производную 2'(х) в каждой точке х интервала (а, Ь), то Т'(х) есть функция от х, определенная на интервале (а, Ь).
Может оказаться, что и 2'(х) в точке х Е (а, Ь) в свою очередь имеет производную, которую называют производной 2 го порядка функции Г(х) (или внторой производной) и обозначают символом ~н(х) или 2П1(х). Таким образом Е БЯЮ Производные более высоких порядков определяются аналогично. Именно, производная п-го нарядна функции 2(х) есть производная от производной (и — 1)-го порядка этой функции: Число и, указывающее порядок производной, заключают в скобки, чтобы не путать с показателем степени. Чтобы найти 21"1(х), надо сначала найти 2'(х), затем ув(х), взяв производную от ~'(х), и т.д., пока не получим производную нужного порядка. Таким образом, производные высшихпорядковвычисляюгсяприпомощи ужеизвестныхправили формул дифференцирования.
Примеры. 1. Вычислим п.ю производную функции у = в ', ь = оопм. Последовательно диффвренцирул будем имать у Вв н йт Ьв у=в,у=в По методу математической индукции получаем глава )х. проиааоднмв н дифференциалы функции одной пврвмыаой Й В~~~с»~~ и-ю п)юизводиую фуи«ции у нл*. Имеем I у = соз и = згл 1 и+ — ), У = — «!л и = згл (а.г- гг) = 3!л !«в )- 2 — ), 2/ ' зг' ' Методом индукции устанавливаем 3. Аналогично получаем формулу Множество всех функций 2(х), определенных на интервале (а,6) и имеюших в кажлой точке х б (а, Ь) непрерывную производную и-го порядка, обозначается С" (а, 6). Функцию 2(х), имеюшую производную любого порядка в каждой точке х б (а, Ь), называют бесконечно дифференцируемой на (а, 6) и пишут 2 (х) б 'С (а, Ь) . Так, функции е*, з)п х, сов х бесконечно дифференцируемы на (-оо, +со). заначанив.
производные четвертого порядка и выше иногда обозначают лимскими иифрами и без скобок, т. е. пиезут У ° У У и' г гг 1О.1. Механический смысл второй производной Пусть 3 = Я(1) — закон прямолинейного лвижения материальной точки. Тогда, как известно, Я'(1) = э(1) — мгновенная скорость движушейся точки в момент времени 1. В таком случае вторая производная Я (1) равна э(1), т.е. ускорению а(1) движушейся точки в момент времени1: Я (1) = а(1). 10.2. Производные высших порядков суммы и произведения функций Если функции и(х) и э(х) имеют производные и-го порядка в точке х, то функции и(х) ш э(х) и и(х) ° э(х) также имеют производные и-го порядка в этой точке, причем (и(х) ш э(х)) " = и1")(х) х э1")(х), (1) (и(х) э(х)) = и ") э + — и)" )э + и1" э' + ...
+ 1! 2! + ( ' ' ' ) !»- ) !л) + + (») тз(п — !)...(и — й + 1) М Формулы (1) и (2) доказываются по индукции. Лля формулы (1) зто делается без труда (проделайте самостоятельно). Остановимся несколько подробнее на выводе формулы (2). Если у = и(х) . э(х), то у'=иг э+и э', ул' = иш э+ Зил э'+ Зй э»+ иэл' и т.д. Легко подметить закон, по которому построены все эти фоомулы: п)тавые части их напоминают разложение степеней бинома (и+ э)', (и + э), (и + э), лишь иместо $11, Диффаранциаме ицеаия иореййои 255 степеней ц и о стоят порядки производных. Сходство становится еще более полным, если в полученных формулах вместо и, о писать и( 1, о( 1 (производные нулевого порядка). Формула (2) носит название формулы Лейбница.
пример. Поньетееь фойцтиой лейбница, найти у('ОН) от функции т = етее. и Имеем (10031 Г Е* т 10~0 ( «)(ФОН1 а „1001 (,е)РИИ)(,г) 100 1000 (,е)19Н1( т) 0 и е = е*е Н- 2002е*е + 1001 1О е*. И Отметим еше полезнуюформулу. Пусть х = (а(у) и у = 2(х) — взаимно обратные функции и пусть у (х) ф О. Тогда 1 *г = У* Далее, н «, «(1) «((~«х Уее 1 Уе, д ~М/ дх (,11~/ Ф ~п К Ь~)' 511. Дифференциалы высших порядков Пустьфункция у = у(х) дифференцируемав точке х. Можетоказаться, чтов точке х лифференциал Иу = г'(х) Их, рассматриваемый как функция х, есть также диффе- ренцируемая функция.
Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалам ваюрага порядка фуикциа у = г (х) и обозначается д~у. Таким образом, 3:-Яет13 Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков: дифференциа- лам и-га порядка д" у функции у = У(х) называется дифференциал от лифференциала (и — 1)-го порядка этой функции (е'т: — е ,'"'ть Дифференциал ду естественно называть дифференциалам 1-га порядка от функции У = е (х) Найдем формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Пусть у = г(х) есть функция независимой переменной х, имеющая дифференциалы любого порядка.
Тогда ду = ~ (х) Их, гле дх = Ьх есть некоторое приращение независимой переменной х, которое не за- висит от х. По определению И~у = И(ду) = д(у'(х) Их) . Т. к. злесь у~(х) дх рассматривается как функция от х, то множитель дх является постоянным и его можно вынести за знак дифференциала. Поэтому И у = И(/ (х)) дх. 256 е 1х. Пронннодные и днфферииннны фтннннн одной переменной Для вычисления И(у'(х)) применим формулудифференциала первого порядка к функ- ции з'(х). Получим Н(Г (х)) = (у (х)) йх = у"(х) йх. Следовательно, дифференциал Ю~у второго порядка функции у = ~(х) в точке х, соответствующий тому же дифференциалу ах независимой переменной х, определится формулой И у= у (х)4х, где ах~ обозначает (г1х)'.
Пользуясь методом математической индукции, получаем формулу дифференциала п-го порядка Е':: —::Л 1л Г(л1( ) 1 л где г1хл = (дх)л. Отсюда ~1"1(*) =— р'у Ихл ' Пусть теперь у = Г(и), где и = ~р(х) — функция, дифференцируемаядостаточное число раз Тогда в силу инвариантности формы первого дифференциала Иу = У'(и) аи. Злесь Ии = 1о'(х) ах в общем случае не является постоянной величиной, поэтому Н у = й(йу) = г1 г(у'(и) Ии) = г1(Г'(и))г1и + У'(и)д(Ни) = Рл(и) Ий + Ди) Н и.
(1) В случае, когда и — независимая переменная, а' и = 0 и г Иу=у (и)ай. (2) Сравнивая формулы (1) и (2), заключаем, что уже второй дифференциал инвариантностью формы не обладает. Заметим, чтоеслии = р(х) естьлинейная функциях,т. е. и = ах+Ь(а, о = соим), инвариантность формы сохраняется. 912.
Дифференцирование функции, заданной параметрически Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат хОу. Пусть функции 1а(1) и $(1) непрерывны на отрезке а < 1 < 11 изменения параметра. Если параметр 1 рассматривать как время, то указанные функции определяют закон движения точки М с координатами а <1< 13, х = Зг(1), у=ФИ, на плоскости хОу. Определение. Множество (М) всех точек плоскости, координаты (х, у) которых определяютсяуравнениями(1),называютлласкойкрквай.
Говорятвэтомслучае, что кривая задана в ларазгетрическай фарзгв. в 12. Дифгуермгпираввиие функции, зеленная вврвметрически Рнс. ! 5 так по г г ! Уг У* = Уг ' х,'' или Формально этот результат получается мгновенно: производную Я рассматриваем как дробь и делим числитель и знаменательна г(С, чтодает М ~/'(С) Сх -';, у '(С) ' Пример. Твк, например, окружность радиусе д с центров 1 в начале координат можно задать в параметрической форме д уравнвниями Г="". -' О<1<2гг, (2) р = ййпг, М(х, д) где 1 — рвдивннвя величине угла между осыс ов и Рвдиусввкторам Ом, проведенным в та жу м(в, р) (рис. 15). и С Я Если из системы уравнений (() исключить пара- О х метр С, то останется одно уравнение, содержащее х и у, и тогаа данная кривая будет определяться уравнением Р(х, у) = О, Так, если в уравнениях(2) возведем в квадратлевые и правые части и затем полученные уравнения почленно сложим, то параметр С будет исключен и данная окружность будет выражаться уже знакомым нам уравнением х' + уз = Л~.
Однако исключить параметр С не всегда бывает возможно. И тем не менее, для решения некоторых задач, как, например, для отыскания касательной к кривой, надо уметь находить производную от у по х и в таких случаях, когда кривая задана в параметрической форме. Будем говорить, что функциональная зависимость у от х задана параметрически, если обе переменные х и у заданы как функции параметра С: х = х(С), У = г(г(С), С ц (сп гз). Рассмотрим вопрос о вычислении производной от у по х в случае параметрического задания функции.
Пусть функции х = (а(С) и У = т(г(С) опрелелены и непрерывны на некотором интервале (гк,(!) изменения С. Пусть для функции х = уз(С) существует обратная функция С = д(х). Тогда у есть сложная функция от х: у = д) [д(х)]. (3) Допустим, что функции ут(С) и т(г(С) дифференцируемы в точке С Е (а,гз), причем ут (С) Р О, а фуНКцня С = д(Х) днффЕрЕНцнруЕМа В СООтастСтауЮШЕй ТОЧКЕ Х. ТОГда„ согласно правилу дифференцирования сложной функции, будет дифференцируемой в точке х и функция у = т(г[д(х)], причем ! г г У* — Уг По по правилу дифференцирования обратной функции ! С г хг 222 Гнева )Х. Производные и диффвранцнаны функции одной пвраманноа !' х = ск соз С, Лляокружности ~, ' О < С < 2я, 1, р =Ля)пс, с(у а сксозс — = — = — = — с!а!, с(х ф -ск а(п С или 2~~ = — -„(пояснить результат геометрически). Если функции )7(С) и г)г(С) имеют производные гс-го порядка, причем ог'(С) ~ О, то и функция у = гр (р(х)] имеет производную гс-го порядка по х, Произаолная 2-го порядка от у по х вычисляется так: г(С) (сгз(С) , уг7(С) Таким образом (рИ У х' вообще где у = 2(х) — функция, заданная параметрическимиуравнениямих = х(С), у = у(С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
