Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 46
Текст из файла (страница 46)
., ~ /'"'(о [(п — 1)! Так как С Ф Ь (точка С находится в интервале (а, Ь)), то отсюда следует, что /'"1Š— М.и=О, (и — 1)! Гыйн а потому М = / — „-Гн. Таким образом, для 22„(см. формулу (9)) получаем выражение /(н) (О В„= — (Ь вЂ” а)", а < с ( Ь. п! Т1одсгавляя найденное значение 22„в равенство (8), получим (12) Эта формула называется формулой Тейлора для функнии /(х). Последнее слагаемое правой части (12) где 8 — некоторая точка, находящаяся между а и Ь, называется остаточным членом формулы Тейлора в фармеЛогронлсо.
При п = 1 из формулы Тейлора (12) получаем как частный случай формулу Лагранжа /(Ь) = /(а) + —, (Ь вЂ” а), /'(О $3. Формула теалора или У(Ь) — 1(а) = У (с)(Ь вЂ” а). В равенстве (12) вместо а и Ь можно взять любые точки хо и х из отрезка (а, Ь). .Поэтому формулу Тейлора для функции г(х) можно записать в виде (13) где ~ри(О ~к(х) (х хо) и! (точка С находится между х и хо), или у (хо+ Е(х — хо)) Я„(х) = (х — хо)", При хо = О получаем формулу Маклорена О < Е < 1. (14) гле можно записать так: УЬО(хо) + а(х) 22п (х)— (х — хо)" и! или ум!(хо) „а(х)(х — хо) 2~о(х) = (х хо) + где а(х) — О.
Так как а(х) О, то -'Ы!ф*-о)- есть о((х — хо)"), х — хо. Поэтому к кО формула (13) примет вид (15) уы!(вх) В (х)=, х". О<В<1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано Мы предполагали, что функция /(х) имеет в окрестности точки хо производную у!"!(х). Предположим теперь, что 2Ы!(х) непрерывна в точке хо. Тогда уы!(хо+ д(х — хо)) = у~ 1(х) + а(х), тле а(х) — О при х хо, и остаточный член У'"! (хо+ 0(х — х,)) Л„(х) = (х — хо) Глава Х.
ДнФФеранцнальнме теереты е среднем. Фармула Тейлора 278 94. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций Представим формулой Маклорена У'~0) УЯ(0) з У'" "(О) . ~ Уой(йх) 1! 2! (и — 1)1 и! некоторые элементарные функнии. 1. У(ж) = е* Имеем Г(х) = е*, Г (х) = е*, У(0) = 1, У(0) =1, У!" 11(х) = е, Т!" ~1(0) = 1, у!~1( ) * з!н1(й ) ан По формуле (1) будем иметь (г) Полагая в равенстве (2) х = !, получим (3) Поскольку е 3 О« — —, и! и! сумма 1 ! ! 2+ — + — +...
+ 2! 3! (и — 1)! дает приближенное значение числа е с недостатком и погрешностью, меньшей -„,. з Формулу(15) назьтвают4юрлтулой Тейлора разлозкепия функции 3(х) по степеням х — хе с остаточным членом в форме Пеаио. Эта формула показывает, что, заменив у(х) в окрестности точки хе ее ми огочленом Тейлора и-ой степени, мы совершим ошибку, которая при х — хе является бесконечномалойболее высокого порядка, чем (х-хе)". Следовательно, формула (15) представляет наибольший интерес при х, достаточно близких к хе.
Поэтому ее называютешелоиальиой с!ормулой Тейлоре. 5 а. раамление но формуле маклорена некотормк алеменирнык функцнй 2.,).(ж) = 510 х Имеем и вообще (х) = 5!п(х+тп ' ), 2 откуда ,т ~ О, если тп = 2ль 2~ 1(0) = 5!и Пт- = 2 ( (-1), если тп = 2й+ 1, з ! 1(Вх) = 5!и! Вх + и — ) . 2 Следовательно, в многочлене Тейлора для 5!и х обращаются в нуль коэффипиенты при четных степенях х, так что (2п+ 1)-й много иен и (2п + 2)-й многочлен тождественны между собой. Поформуле Маклорена(1),беря п = 2й+1, получим (4) где Очевидно, ) )тл4-! 1йзан(х)~ < 3.,)'(х) = сов м Имеем ,г(0) = У'(О) = У'(0) = О, т=2!4+1, тп=2й, О, если )л, если 2й + 2) 4 6 „х сок х =! — — + — — — +., + ( — 1) — +ткзлтт(х) 2! 4! б! (2й)! (5) 4(Х) = 5!Пх 4 (Х) = СО5Х, (Х) = — 5!П Х, У (Х) = — СО5Х, 1(х) = У (Х) = 5тПХ (х) = — со5х, и вообще У! !(Х) = сов(х+тп-',),такчто 2! !(0) = солги 2 ) (-! Поэтому в силу формулы (1) (если взять и = у(о)= о, у'(о) = ун(О) = О, ун'(О) = Глава Х.
днфференцнагьнме теоремы о с!млеем. Формула теалора 280 где Очевидно хга4г г гл+г(х)г - (2! )г. 1Л 1( Формулами (4) и (5) можно пользоваться для вычисления приближенных значений яп х н соз х с любой степенью точности. На рис. 6 и 7 показано приближение функпий з!и х и соз х в окрестности точки х = 0 многочленами Тейлора этик функпий. лг х4 =1- — +— 2' 4' у=! Рнс. 7 Рнс, о 4. ~(Х) =!П(1 + Х) Эта функция определена и дифференпируема любое число раз для х > — 1.
Имеем ~(х) =!и(! +х), 7 (О) = 1п 1 = О, 1'(*) =Ь Г'(0) = 1, ул(х) =— (1+ а)г ,Гл(0) = — 1, 414-31( ) ( 1)и (и ) (! +х)л '' г!41( ) ( 1)и+г ( )1 (1+ х)л ' В силу формулы Маклорена (1) з!" '!(О) = (-1)" (и — 2)1, у!"!(дх) = (-1)" 4' (1 + Вх)п ' (7) где 8 6. Ислольаоаание формулы Ммморена яло нолученне аснматотическик оценок алементарнык Функций 231 6..Т(х) = (1+ х)а (сх — действительное, х ) — 1) Имеем з (» — 11( ) ( 1) ( +2)(1+ )»-~ч з»(~-~)(0) ( 1) ( +2) Г("1(х)=а(а — !)...(а-и+1)(!+х)" ", я("1(Вх)=а(а — 1)...(а — и+1)(1+Вх)' ". Поэтому а а(а — 1) т а(а — !)...
(а — и+ 2) (1+х)» 1+ — х+ х -1-...-1- х" ~+ттн(х), (8) 1! 21 (и — 1)! где а(а — 1)... (а — и+ !) В»(х) = (1+Вх)' "х", 0 <В< !. Если а = ти — нвтуральномучислу, то все члены формулы ( !) нач иная с (ти+ 1)-го исчезают, и формула Маклорена превращается в известную формулу бинома ньютона 5 5. Использование формулы Маклорена для получения асимптотических оценок элементарных функций и вычисления пределов В свое время мы установили асимптотические формулы для элементарных функций (глава ЧП1, е 17).
а!п х = х + 0(х) е* = 1+ х+ о(х) !п(1+ х) = х+ о(х) (1+х) = 1+ах+о(х) х — + О. Формулы (1) дают представление элементарных функций при малых значениях )х!. Мы пользовались ими при вычислении простейших пределов. Для вычисления более тонких пределов, когда определяющую роль играют члены высокого порядка относительно х при х — О, формулы (1) оказываются недостаточными. Поэтому возникает необходимость получить более точные асимптотические оценки лля элементарных функций. Такие оценки легко получаем из формулы Маклорена, если в этой формуле взять остаточный член в форме Пеано.
Приведем эти оценки: .1(х) =(1+х), у (х)=а(!+х)» 2 (х)=а(а — !)(1+х)' ,г(0) =1, ~ (0)=а, / (0)=а(а — !), Глава Х. Дифференциальные теоремы а среднем. Формула Тейлара 282 (2) Пример. Найти предел х — пл х 1'нп *3 и при помощи формул ! 11 предел зтот найти невозможно, поскольку по виду знаменателя можно заключить, что определнощую роль играют члены 3-го порядка относительно х (х 0). позтому аоспользуемся оценками 121 Получим х (х 3 '10(х)) 41 ( 4)'1 йю = 1нп =йгл~ — + — ~=- ° *-О тз *-О 3 п-О 4,31 Хз у 6' ХСОБХ 51ПХ 2. !нп и О Хз Епп* — Еп 6. Пгп О О1ПХ Х и! СОО Х вЂ” 1 — —, 16.
1'нп 4-О хп ! + х соз х — чгГ+ 2Х 16. 1'цп *-О 1л(1+ х) — х пг'! 4- х + Й + х — 2Л - х 17. Ппт п-е х ,'/Г+ 2х — 1 4 *-О Я + х — ут ! - х Упрвкнений Применяя правилоЛопиталя, найлите прелелы Зх'+ 4х — 7 16 х — 3!и х 1. Пгп 3.
1нп *-1 2хт+ Зх — 5' * О Х вЂ” З!ПХ 1п(1+ х) — х 1п х 4. Пгп 6. 1нп и-О 161 х ' и-е4131пз(п х' ! т13 !44 7. Пгп( — — — ). В. 1'нп (!+х)ы*. 9. 1'нп О 1,51П Х п-п О 10. Разложите многочлен хз + Зх' — 2Х + 4 по степеням лвучлена х + 1. 11. Разложите многочлен хз — 2Х'+ Зх+ 5 по степеням лвучлена х — 2. 12. Разложите по формуле Тейлора функцию Г(х) = —,' в окрестности точки ХΠ—— — 1. 13. Разложите по формуле Тейлора функцию /(х) = хе* в окрестности точки ХΠ— — 0 (формула Маклорена). 14. Разложите по формуле Маклорена по о(хп) функцию 2(х) = е! ".
16. Тяжелая нить пол лействием собствешюго веса провисает по цепной линии р = а сй;* (а — сапы). Покажите. что лля малых )х) форма нити приближенно выражается параболой. Используя формулу Маклорена. нагщите прелелы: 9 Ь Иолользоеаниеформулм Макло!младая излучения аонмигоыичеекнк оценок алеман!ерник функций 363 Ответы 1. —",. 2. — —,'. 3 3. 4. — .
$, 1, 9. !. 7 О. 3. !. 9, !. 10 (х+ !) — 5(х+ !) +8. 11, (х-2)'+4(х -2) -!- ((* — 2) ..(ы /()= — — ( Π— (*+О' —... — ( ы' '+( — ~)(ц(...о ( (. 13. /(х) = х*— , + — * +... + (* ы, + * — „, (Вх + н)е~", 0 < В ( !. 14,/(х) = Я фр,хы ! о(х ). ы=е 16. -',. 12. ы. 13. -!. 19. Д. Глава Х/ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 5 1. Признаки возрастания и убывания функции Определение. Функция з(х), определенная на отрезке [а, Ь[, называется неубывающей на [а, 61 если для любых хихз Е [а, Ь[ из условия х~ < хз следует неравенство з(х1) < з(хз). Если из х~ < хз всегда следует у(х1) < з(хз), то функция у(х) называется возрастающей на [а, 6).
Если на отрезке [а, 6[ из условия х~ < хз следует неравенство з(х1) > ~(хз), то функция /(х) называется невозрастающей на отрезке [а, 61 Если из условия х~ < хз всегда следует /(х~) > у(хз), тофункция у(х) называе гся убываюигей на [а, 6[. Определение. Функция у(х) называется монотонной на [а, Ь[, если она на [а, Ь[ только неубывающая (в частности, возрастающая) или только невозрастаюшая (в частности, убывающая).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
