Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Горизонтальные и наклонные асимптоты. Глава Х). Исследование функций адней ПЕРеменной 6. Интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума. 7. Направления выпуклости кривой. Точки перегиба. 8. График функции. Пример 1. Построит~ график функции 1 у = — (вврэнерв или локон Марии дньвэир 1+хт 1. О.О.Ф. — ася числовая ось. 2. ТОчек разрыва нет; вертикальных асимптОт нет. 3. Функция четнах Г(-х) = )(х), так что график ее симметричен относитвлыю оси Оу; непериодическая Иэ четности функции следует, что достаточю построить ев график на полупрямой х > О, а затем зеркал~но отразить его в оси Оу. 4. При х = 0 имеем р = 1; р И О, р > 0 ух, так что график функции лежите аеркней полуплоскости р > О.
б, Пгп Г(х) = Птп — 3 — О, так что график имеет горизонтальную асимптоту у = О; наклонных асимптот нет. В. рг = †вЂ. Так что функция Г(х) (3ьь ) 1 )+ ' возрастает при х < 0 и убывает, когда х > О. Точка х = 0 — критическая. При переходе х через точку х = 0 производная у'(х) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, точка х = 0 — точка максимума, р(0) = 1. Х Результат этот дтютаточно очевиден Г(х) = — ', <(сх. Рис,33 (ьь 7. у = — 2 — -т.т. Вторая производная обрмцается в нуп в точках х = й и .
Исследуем точку 1-эг' 1 (11-*1 ' 73' х = (далее соображение симметрии). При х > имеем ргг > О, т,е. кривая вьпукла вниз; Гэ ПРи х < ~) галучаем у < 0 (кривая выпукла вверх). Следовательно, точке х = г) = — — точка 3 г ,/1 перегиба графика функции. Результаты исследования сведем в таблицу: В таблице стрелке «гг» указывает на воэраотание функции, стрелка «'ь. — на ее убывание. График функции изображен на рис.
ЗЭ. Р Пример 2. Построить график функции 1 р = х + — (трезубец Ньютона). 1. О.О.Ф, — вся числовая ось, исключая точку х = О. 2. Точка раэрьва функции х = О. Имеем /3 13 . 33 13 1'ПП (Х + — г( =+Ос, 1ЦП (Х + — (=-СО, «-аьо (, х г' ' к-э-о (, х) так что прямая х = 0 — вертикальная асимптота. а Функция не являетоя ни четной, ни нечетной (функция общего положения); непериодическая $6, Сквиа построевю графика фуюа!ии 4. Полагая у = О, получаем х +; = 0 или — = О, стку- 2 да х = -1, т е.
график функции гересвкает ось Ох в точке (-1, О). б. Огл = Огп (х+ ~~ = хсо — наклонных и горилл] ч Ьм ь 2 ьм зснтальнык асимптот нет. ! ты-! 6. у' = 2х- -т = — т-, откуда х = -т- — критическая точка. 1 в /! Вторая производная функции у" = 2+ -т > 0 в тсчке х = ~:, так 3 ! Л Ь2 ' что х = т- — точкз минимума.
! Д и т.п 7. Вттфая производная р' =,тт обращается в руль в точке * = -! и ивняет свой знак с + на -- при переходе через зту точку. Следовательно, точка (-1, О) — точка перегиба кривой. Для х 6 (-со, -1) и х Е (О, +со) имеем рь > О, т.е. выпуклость кривой направлена вниз; для -1 < х < 0 имеем р" < О, т.е.
выпуклость кривой направлена вверх. Результаты исследования сводим в таблицу: Рис. 34 График функции изображен на рис. 34. ° Пример 3, Построить график функции !па р=х+ —. 1. О.О,Ф, — полупрямая з > О. 2. В обгасти определения функции точек разрыва нет, При х 0+0 имееи Ощ (х+~" ) =- так что прямая х = О, прокодацая через граничную точку области определения функции у(х), является вертикальной асимптотой графика функции.
3. Фугжция общего положения. непериодическая. Рнс. 35 4. Полагая р = О, получаем х+ — ",* = О, или х + !пх = О. Приближенное ращение етого уравнения можно получить графически !рве. 36!. б. Г(х) Г !и хЧ Вгп — = Отв (1+ -у-Г! = ! и Ь. к чм х * чы(, х 1пх 1нп фх) — Ьх) = !ап — = 0 = Ь. .нч 1 Отсюда р = х — наклонная асимптота графика 6. ! !и х х + 1 — 1п х т р'=!+ — — — 1- = хт х хт Из рис 36видно что хтч ! > !паук >0 и, значит у' > 0 тх т е, функция Г(х) возрастаетна (О,.ню). Экстремумов нет. Глава Х!.
Иссяедоввнне фуякций одной пе!гемеяяой Рис, 37 Рис. 36 и 2 1 21пх 21лх-3 У = -3 — -Э+в Вторая производная обращается в нуль при х = гз(~, и при перекоде * через зту точку уи меняет знак с « — * на *+ . Следовательно, х = ет! — абсцисса точки перегиба кривой. Резун татм исследования сводим в таблицу: График функции изображен на рис. Э7. и Пример 4. Построить график функции < 1. 13.13.Ф. — вся числовая ось, исключая точку х = О. 2. Точка х = 0 — точка разрыва 2.го рода функции. Так как йгп (х+ 71 = ч-со, то прямая ь-Оьв т г ~ * = Π— вертикальная асимптота графика функции.
Э. Функция общего положения, нетериодическад 4, полагая р = О, имеем хз е 1 = О, откуда х = -1, так что график функции пересекает ось Ох в точке (-1, О). б. 1!тп — = 1пп ~! ч- — ~ = ! =й, ~(х), г 1т з) 1 йтп [У(х) — йх]= бгл — =О=а.
г ьог ь ьхвт 303 9 О. Скема построение графика фунщнн Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту у = х. «» †! 6 р' = ! — -т — †-* , †. Из условия у' = О получаем х — 2 = О. т. е. х = ч'2 — критическая точка. Вторая производная функции р = -т > О всюду в области определения, в частност»ь е точка х = ч 2.
ч б »,- к Так что х = тг2 — точка минимума функции. » 7. Поскольку ук = -э > О Ух, х Р О, то всюду в области определения функции выпуклость ее графика направлвна вниз. Результаты исследования сводим в таблицу; График функции изображен на рис. 38. Гь Пример $. построить график функции 3 ) м !. С».Г».Ф. — ася числовая ось. 2. Непрерывна всюду. Ввртикальнь~к асимптот нет. 1 Общего положения, не»П»ионическая. 4.
Функция обращается е нуль при х = О и х = 3. 5. У(2)» х(х — 3)1 )(щ — = ищ — — — = ! =з к-".ъ, х ...» х х(х — 3)' — х' Ощ ]У(х)-х] = Ьп ]~/х~х — 3) — х! = ((щ — — 2=о. *-я': у»гх»(х !)4 + х 3/х(х — 3)» »- х' Таким образом график функции имеет наклонную асимптоту р = х — 2.
б. (х — 3) Е 2х(х — 3) х — ! 3 ]х(х 3)»] х (х — 3) Производная р'(х) обращается в нуль в точка х = ! и не существует при х = О и х = 3. При переходе х через точку з = 0 (х < ! ) производная у'(х) не меняет знак, так что в точке з = О экстремума нет. При парвкоде точки х через точку х = ! (О < х < 3) производная у'(х) меняет знак с + на Значит в точке х = ! функция имеет максимум. При пврекоде х через точку х = 3 (х > ! ) производная у(х) меняет знак с*- ° на *ею те.
в точке х = 3 функция млеет минимум. 7. Находим втсруо производную 2 к»Г»(х 3)ф» Вторая производная рн(х) не сущвстаувт а точке х = О и при пврекодв * через точку * = 0 у меняет знак с О» на * —., так что точка (О, О) кривой — точка перегиба с вертикальной касательной. В точке з = 3 перегиба графика нет. Всюду в пол»плоскости х > О выпуклость кривой направлена вверх. Результаты исследования сводим в таблицу Глааа ХЬ Исследование функций одной переменной График функции предстаапен на рис. 39. ь Рис. ЗЗ Рис. З9 97. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Для отыскания точек максимума и минимума функций может быть использована формула Тейлора. Теорема 11.
Пусть функция г (х) в некоторой окрестности точки хо имеет пуоизводнуюи-го порядка, непрерывнуюв тачке хс. Пусть У(хс)=У (хо)=" ° =ге (хс)=О (и-О но г ~"~(хс) Ф О. Тогда если число и — нечетное, то функция Г(х) в точке хс не имеет экстремума; когда псе и — четное, то в точке хо функция г (х) имеет максимум, если ~рй(хо) < О, и минимум, если ГРО(хо) > О.
т В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли Функпия у(х) в точке хо экстремум, сводится к тому, существует ли такое б > О, что в интервале (хс — б, хо+ б) разность |(х) — У(хо) сохраняет знак. По формуле Тейлора ЗОЭ 1 йсотдоаиев функций на аатршим е замошью вашимврвм высшмоворяДка (х) =У(хо)+ — (х -хо)+ — (х — хо) +... + — (х-хо) + 2 (хо) У (хо) 2 У хо 2! (и-1)! У'" (хо+6(х — хо)) У " ( ( — )) (, ).
(О ,> (,> 'аккакпоусловию у'(хо) = у™(хо) =... = У(" ')(хо) = О,тоиз(1) получаем З(") (хо + б( — хо)) У(х) — У(хо) =, (х — хо) . (2) )о условию У!)(х) непрерывна в точке хо и У()(хо) ~ О. Поэтому в силу устойчивости яака непрерывной функции суц)ествует такое б > О, что в интервале (хо — 6, хо + 6) иак 7(")(х) не меняется и совпадает со знаком у(")(хо). Рассмотрим возможные случаи: 1) и — четное число и У!")(хо) > О.
Тогда У " (хо + б(а — хо)) (х — хо)" > 0 )Ух Е (хо — б хо + 6). я! потому в силу (2) )'(х) — ~(хо) > 0 Ь'х Е (хо — б, хо + 6). )'огласи о определению это означает, что точка хо есть точка минимума функции у (х). 2) и — четное и у!")(хо) ( О, Тогда будем иметь ~(") (хо+ б(х — хо)) (х-хо)" ~0 Юх Е(хо-б,хо+6), и! вместесэтими у(х)-У(хо) ~ 0)ух Е (хо — б,хо+6). Поэтомуточкахо будетвэтом яучае точкой максимума функции у(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
