Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Здесь нарушено условие непрерывности функРис. 12 ции /(х) вточке х = О. йраенло 1 (отыскання акстремумоа функции!. Чтобы найти точки максимума и минимума функции /(х), надо: улана Х). Иссяедоэание функция одной аеременной 290 1) найти производную ~'(х), приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение у'(х) = О; 2) найти точки, в которых производная /'(х) не существует. Эти точки и корни уравнения у'(х) = О будут критическими точками для функции т(х). 3) исследовать знак производной у~(х) слева и справа от каждой критической точки.
Если при переходе х через критическую точку хо производная у'(х) меняет свой знак с плюса на минус, то в точке хо функция ~(х) имеет максимум; если знак ~(х) меняется с минуса на плюс, то в точке хо функция )(х) имеет минимум. Если при переходе х через критическую точку хо знак 2'(х) не меняется, то в точке хо функция 2(х) не имеет ни максимума, ни минимума. Примерю. 1.
Исследозать на экстремум функцию у=хе 1) Находим проиэзодную, у =2хе *-хе '=е (2 — х)х. 2) Приразмиаая у' муле, находим критические точки функции у(х): х = О, х = 2. 3) Исследуем знак производной слева и справа от каждой иэ критических точек; у<О ( уРО ( у<О (О ~2 х — ' + +(в Такие образом, точка х = О есть то ка минимума, точка х = 2 — точка максимума данной функции (рис. 13).
° 2, Исследовать на экстремум функцию т/1 1) Находим производную 2 1 у = 3 4! ха' 2) Проиэяодная нигде ня обращается а нуль, но но сущестаует а точка х = О: у (х) оо. е е 3] Исследуем знак у' слеза и справа ог точки х = О: у<О ! ухО (О х + Таким образом, точка х = О есть точка минимума данной функции (рис. 14). ю Рнс !3 Рис. !4 3. Исследовать на вкстрвмум функцию ° 1) Находим производную: у' = Зхз. 2) Приравнивая р' нулю, находим критические точки функции у(х): х ю О. 3 ! Исследуем знак производной у' слева и справа от точки * = О: и>О; у>О 1 ~О +'+ Производная у'(х) = зхз > О как слева, так и справа от точки х = О.
Следсеателыю, в точке х = О экстремума нвт, функция возрастает в точка х = О. и Замечание. Если функция /(х) имеет в точке хв экстремум, например. минимум, то это епге не значит, что справа от точки хл функция возрастает, а слева убывает. Это показьмает стлуюглий пример. Пусть функция 2(х) аллана равенствои (х (2 — ып-,), х~о, О, х=о (рис. !5). Нструлно вилеть, что в точке х = О данная функция непрерывна и имеет минимум. Лроизвоаная функции / (х) = 2х (2 — з)п -) Е соз — а .тювоя окрестности точ- зт ки х = О, исключая саму точку х = О, непрерывна н меняет знакбесконсчно многораз.
Л сама функция у(х) не монотонна ни слева, ни справа от точки х = О. рис, !5 2.3. Исследование функций на максимум и минимум при помани второй производной Следуюшая теорема опять выражает достаточные условия максимума и минимума функции. теорема 7, Лусть в тачке хо функция /(х) имеет первую и вторую производные, причем / (хо) = О, а /л(хо) Ф. О. тогда в тачке хо данная функция /(х) имеет ма~самум, если / (хо) < О, иминимум, если/а(хо) > О, м Прежде всего заметим, что точка хо является критической точкой для данной функциии /(х), т. к. /'(хо) = О.
Пусть /л(хо) < О. Из этого следует, что в точке хо первая производная /'(х) убывает, т. е. сушествует такая окрестность (хо — б, хо + б) точки хо, что для всех х из интервала (хо — б, хо) верно неравенство /'(х) > /'(хо) = О, а для всех х из интервала (хо, хо + 6) верно /'(х) < /'(хо) = О.
Таким образом, п ри переходе х через критическую точку хо производная /'(х) меняет свой знак с плюса на минус. Следовательно, функция /(х) в точке хо имеет максимум. Подобными же рассуждениями доказывается, что если в критической точке хо вторая производная /л(хо) > О,тофункиия/(х) вточкехо нмеетминимум. и Отсюда получаем второе правило отыскания точек экстремума Функпии. Правило 2 (отыскания экстремумов функции). Чтобы найти точки максимума и минимума функции /(х), надо найти критические точки /(х).
Для этого поступаем так, как указано в правиле 1. Затем ищем вторую производную /л(х). Если она в критической точке хо существует и меньше нуля: /л(хо) < О, то в точке хо функция /(х) имеет максимУм, если же /п(хо) > О, то в точке хо фУнкниЯ /(х) имеет минимУм. Если Глаза ХЬ Исследование функций одной переменной в критической точке хо вторая производная равна нулю или не существует, то такую точку хс можно исследовать с помощью первой производной. Пример. Исследовать на экстремум функцию кг у=е *. т Ч Имеем у' = -2зе *, откуда л = 0 — критическая точка 3 -ег Лалев находим уз= -2е * ч 4зте * .Отсюда у (0) = -2 < О, так что то жа з = 0 — точка максимума функции (рис. 16).
Ф 93. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке Если функция 2(х) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь), то, согласно второй теореме Вейерштрасса, она на этом отрезке принимает наибольшее и наименьшее значения. Если свое наибольшее значение М функция 2(х) принимает во внутренней точке хо отрезка [а, Ь), т. е.
когда а < хс < Ь, то М = 2(хз) будетлокальным максимумом функции У(х), т. к. в этом случае существует окрестность точки хс такая, что значения 2(х) для всех точек х из этой окрестности будут не больше Г(хо) как в точках слева от точки хс, так и в точках справа от точки хо. Однако свое наибольшее значение М функция /(х) может принимать и на концах отрезка [а, Ь[. Поэтому, чтобы найти наибольшее значение М непрерывной на отрезке [а, Ь[ функции У(х), надо найти все максимумы функции 2(х) в интервале (а, Ь) и значения ~(х) на концах отрезка [а,Ь[, т.е. 2(а) и Г(Ь), и выбратьсрединих наибольшее число.
Наименьшим значением тп непрерывной на отрезке [а, Ь) функции ~(х) будет наименьшее число среди всех минимумов функции /(х) в интервале (а, Ь) и значений 2 (а) и Г(Ь). Для функции, график которой изображен парис.)7, имеем М = 2(Ь), тп = ~(хо). Пример, Из квагцзатного листа жести со стороной а, вырезая по углам равные квадраты и сгибая края, составляют прямоугольную открытую коробку. Как получить коробку иаибольюей вместимостиз ч Обьвм е коробки, как функция з, определяется формулой (см.
рис, 16); в(з) = з(а — 2з)т, 0 < з < —. 2' Рис. Гй Рис. 17 б 4. Нввравление мюуклооти и точки перегиба криво» Имеем — = (я — 2х) — лх(в — 2х) = (л — 2х)(в — бх). г«1 вх Отсюда критические точки функции «(х); х| = —, хт = -. В интервале (О, -,) лежит критическая точка х! Находим вторую производную функцию «(х): ,тт„ — = -2(в — бх) - б(в — 2х). «хэ Прн Х = — ИМВЕМ 2;тт < О, таК Чта В ТОЧКЕ Х! = — фуНКцня «(Х) ИМЕЕТ МаКСИМуМ: На кончак отрезка (О, -,) имеем «(О) = «('-) = О.
Таким обраэом,наибольшее значение функции «(х) — наибольшая вместимость коробки — будет, «, 2«3 если выбрать х = —, лри этом вместимость коробки будет равна — „. и 94. Направление выпуклости и точки перегиба кривой Пусть дана кривая уравнением у = 2(а) и пусть функния 2(х) в точке хо имеет конечную производную /'(хо), т.е. в точке Мо(хо, У(хо)) существует касательная к данной кривой, не параллельная оси Оу.
Определение. Если сушествует такая окрестность (хо — б, ао + б) точки хо, что все точки данной кривой, аб си и осы которых содержатся в этой окрестности, расположен ы над касательной к кривой в точке Мо, то говорят, что выпуклость данной кривой в точке Мо направлена вниз (рис.! 9). Если весточки кривой с абсниссами из некоторой окрестности точки хо находятся под касательной к этой кривой в точке Мо, то говорят, что выпуклость данной кривой в точке Мо направлена вверх (рис. 20). Определение. Будем говорить, что график функнии р = /(х), дифферениируемой на интервале (а, 0), имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх (вниз), если график этой функции в пределах интервала (а, Ь) лежит не выше (не ниже) любой своей касательной. Рис.
2! Рнс.!9 Рис. 20 Глава Х1. Исонедоввнне фуннцнй одной переменной Определение. Точка Мо(хо, У(хо)) называется точкой перегиба кривой у = У(х), если существует окрестность (хо-б, хо+б) точки хо такая, чтодля х < хо изэтойокрестности выпуклость кривой направленаводнусторону,анри х > хо — в противоположную (рис. 2 1). Иными словами, точка Мо — точка перегиба кривой, если в этой точке кривая переходит с одной стороны касательной на другую, меняя направление выпуклости. Укажем аналитический способ для определения направления выпуклости кривой и отыскания точек перегиба.
Обозначим через у ординату точки кривой у = У(х), а через У вЂ” ординату точки касательной, проведенной к этой кривой в точке Мо(хо, У(хо)), отвечаюшие одной и той же абсписсе х (рис. 22). Очевидно, что если у — У > О для всех х Ф хо в достаточно малой хо х х имеем у-У = У(х) - [У(хо)+У'(х.)(х-х4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
