Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(!) Пусть функпия у = У(х) в окрестности точки хо имеет производную второго порядка, непрерывную в точке хо. Воспользовавшись формулой Тейлора, будем иметь У(х) = У(хо)+ — „(х — хо)+,', (х — о)з, О < В < !. (2) У'(хо) У" [хо+в (х — х,)1 Из формул (! ) и (2) получаем [хо + о (х — хо)1 у — У= 2 (х — хо)з. (3) Если У (хо) ~ О, то в силу устойчивости знака непрерывной функпии в достаточно малой окрестности точки хо знак У"[хо + 9 (х — хо)) совпадает со знаком У"(хо). Таким образом, из равенства (3) следует, что знак + l разности у — У совпадает со знаком У" (хо).
Поэтому, У (хо) ж О если Ун(хо) > О, то у — У > О для всех точек х ~ хо, М(хо У(хо И достаточно близких к точке хо, и в точке Мо(хо, У(хо)) М(хо, /(хо)) выпуклость кривой у = У(х) направлена вниз, а если Ун(хо) < О,товыпуклостькривойвточке Монаправлена У (хо) к О =ь угг вверх (рис. 23).
О гсюда получаем необходимое условие точки перегиба. Рис. 23 Теорема 8. Точка Мо(хо, У(хо)) мигает быть точкой перегиба кривой у = У(х) талька если У'(хо) = О (или У~ (хо) ке существует). окрестности точки хо, то выпуклость кривой в точке Мо направлена вниз, а если у — У < О для указанных значений х, то выпуклость кривой в точке Мо направлена вверх. Таким образом, вопрос о направлении выпуклости кривой в точке Мо сводится к вопросу о знаке разности у — У в окрестности точки хо.
Учитывая, что уравнение касательной к данной кривой в точке Мо(хо, У(хо)) есть У вЂ” У(хо) = У'(хо)(х — х ), $4. наврав пение меу»мости и точки перегиба кривой Это условие не является достаточным. Так, например, лля Функции /(х) = х имеем /Я(х) = 12х~ и /ч(О) = О, но точка 0(О,О) не есть точка перегиба кривой у = х~: и этой точке выпуклость кривой направлена вниз (рис. 24).
Достаточный признак точки перегиба выражается следующей теоремой Теорема 9. Пусть функция /(х) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки хс, непрерывную в точке хо. Если /н(хо) = О и при переходе х через точку хо вторая Рис. 24 производная /Я(х) меняет знак, то точка Мо(хо, /(хо)) есть точка перегиба кривой у = /(х). <ч Пустълляфункцииу = /(х) условие/н(хо) = Овыполненоипустьсушествуеттакая окрестность (хо — б, хс .+ б) точки хо, что в этой окрестности для всех х < хо знак /п(х) один, а длЯ всех х > хо знак /н(х) пРотивоположный.
Тогда пРи пеРеходечеРез точку Мо(хо, /(хс)) направление выпуклости кривой меняется. Поэтому точка Мо будет точкой перегиба данной кривой. Если же /Я(хо) = О, но в некоторой окрестности точки хо знак /н(х) один и тот же как при х < хо, так и при х > хо, то точка Мо не будет точкой перегиба: в этой точке выпуклость кривой направлена вниз, если /ч(х) > О как слева, так и справа от точки хс, и выпУклость кРивой напРавлена ввеРх, если /л(х) < О как слева, так и справа от точки хо. ~ Задача. Доказать что если функция /(х) имеет в точке хс конечную третью производную и удо. впвтворяет условиям /н(*о) = О, /к'(»с) Ф О, то график функции у = /(х) имеет перегиб в точке Мс(хв, /(хо)) ° Можетоказаться, что вточке перегиба Мо(хо, /(хо)) кривой у = /(х) касательная вертикальна, и поэтому /н(х) в точке хс не сушествует.
» Пример. Рассмотрим, например, функцию /(х) = х», Имеем /'(х) = - х», /я(х) = — - ~~. Оче- ч г»' видно, нет ни одной точки, в которой /н(х) = О. Но есть точка х = О, в которой /н(х) не сушесп»уег. Исследуем знак /н(х) в окрестности этой точки. Нетрудно видеть, что /н(х) > 0 в интервала (-б, 0) и /" (х) < 0 в интврвапе (О, б), гдв б > О. Таким образом, слава от точки 0(0, 0) выпукяость кривой направлена вниз, справа от точки 0(0, 0) — вверх. Спедоватепьно, точка 0(0. О) есть точка перегиба кривой у = х», Касатвпьная в точке 0(0, 0) к этой кривой перпендикулярна оси Ох, м Окончательно достаточный признак точки перегиба может быть сформулирован так.
Пусть кривая у = /(х) имеет в точке Мо(хо, /(хо)) касательную, хотя бы и параллельную оси Оу. Пусть функция /(х) в некоторой окрестности тон~и хс, кроме, быть может, камой точки хо, имеет непрерывную вторую производную. Если /Я(х) в точке хв равна нулю или не существует и при переходе х через точку хо производная / '(х) меняет свой знак, то точгга Мс(хо, /(хо)) естыпочка перегиба кривой у = /(х). Глввв Х!. Исследование Втивннй одной переменной 95. Асимптоты графика функции Определение. Асилтлптаатай кривой с бесконечной ветвью называется такая прямая, что расстояние б точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М по бесконечной ветви от начала координат (рис. 25).
Вертииапвные асимптопт Прямая х = хо является вертиакальлай агамлптаитай графика функции р = 7'(х), если хотя бы одно иэ предельных значений Рис. 25 !нп У(х) или !1пт 7(х) сс-о с со+о равно +ос или — со. Действительно, при этом расстояние б = !х — хо! от точки М(х, 7(хо)) графика функции р = У(х) до прямой х = хо стремится к нулю, а сама точка М неограниченно удаляется от начала координат. Так, график функции р = —, имеет вертикаль- 2 ную асимптоту х = О, поскольку ! .
1 !пп — = -оо, 1йп — = +оо -2. *-о-о х ' *-очо х р= (рис. 26). 1 Кривая у = е* имеет вертикальную асимптоту х = О, так как О « !пп е* =+со. с о+о На рис. 27 представлены возможные случаи взаимного расположения кривой и вертикальной асимптоты. Для разыскания вертикальных асимптот кри- Рис. 2б вой у = 7(х) поступаемтак: 1) находим на оси Ох точки разрыва функции 7(х); 2) выделяем те из них, в которых хотя бы один из пределов функции 2 (х) (слева или спРава) Равен +со или -со.
ПУсть это бУдУт точки хнхт,...,хм. Тогда «о Рис. 27 5 5. аснматотм трафнка фуноаы прямые х = хм х = хп..., х = х будут вертикальными асимптотами графика функции у = у(х). Например, для кривой у = -т'-; вертикальными асимптотами будут прямые х = — 1 н х = 1 (рис. 28). Вертикальная прямая х = хо может оказаться асимптотой графика функции у = /(х) и в том случае, когда точка хо является концом интервала, в котором определена функция 1(х). Этобудеттогда, когда хе — левый конец интервала и !ип у(х) = +со или — со, *-*аьа либо когда хе — правый конец интервала и Нш у(х) = +со нли — со.
то-е Например, функция у = 1п х определена в интервале О < х < +ос, н для нее Рик зз !ип 1л * = -оо, к Оьа 1ип (у(х) — йх — Ь) = О, м +ю т. е. когда функция у(х) представима в виде у(х) = йх+ Ь+ а(х), где !ип а(х) = О. ю так что прямая х = О (ось Оу) является вертикальной асимптотой графика функции у = 1пх. Наклонные аснмлтоты !!усть функция у = У(х) определена для всех х > а (или х < а).
и пусть прямая у = йх + Ь является асимптотой графика функции у = у(х). Такую асимптоту называют наклонной. Для определенности будем рассматривать сколь угодно большие значения аргумента х положительного знака. Тот факт, что прямая у = йх + Ь является асимптотой кривой у = У =1(х) У(х), означает, согласно определению асимптоты, что расстояние б от точки М(х, У(х)) б кривой до атой прямой стремится к нулю при Ц х — +со. Обозначимчереза (а ~ у) угол,образованный асимптотой с осью Ох. Из рис.
29 видно,чтоб=1М1т'!сока. ПосколькусокаФО, стремление к нулю величины б при х - +оо влечет за собой стремление к нулю величи- Рнс. гв ны (М1т!, и наоборот. Замечая, что !М1т! = !у(х)-ях-Ь), приходим к выводу: прямая у = Лх+ Ь будет наклонной асимптотой графика функции у = у(х) при х - +со тогда и только тогда, когда слева Х! Исследование функций одной переменной Существование асимптоты у = 6 а+ Ь у кривой у = /(х) при х — +со означает, что при х — +ос функция у = У(х) ведет себя «почти как линейная функния», т. е. отличается от линейной функции у = Ьх + Ь на бесконечно малую функпию при х — +оо. Теорема 1О, Дчл того, чтобы график функции у = у(х) имел при х - ° +со наклонную осимптоту у = Ьх + Ь, необходимо и достаточно, чтобы существоволи обо предела 1нп — = й и йгл [,Г(х) — Ьх] = 6. У(х) х-+ы х +С» (2) < Необходимость.
Пусть график функнии у = /(х) при х — +оо имеет асимптоту у = йх + Ь, т. е. для у(х) справедливо представление (1): у(х) = )сх + Ь + а(х), где а(х) — О, Тогда 1)гл — = !!п! ~)с+ — + — ~ = Ус, 1лп ~Г(х) — Лх] = !лп [6+а(х)] = Ь, Г(х) Г Ь а(х) 1 х +сс Х х +со ~ Х Х ~ х «со к, сс т.е. существуют оба предела (2). Достаточность. Пусть существуют оба предела (2). Существование второго из этих пределов дает право утверждать, что разность у(х) — йх — Ь является бесконечно малой функцией при х - +со.
Обозначив эту разность через а(х), получим Г(х) = йх+ Ь+ а(х), где а(х) — О. Зтоозначает, что график функнии у = у(х) имеет наклонную асим итогу у = Ах+ Ь, (и Аналогично исследуется случай х - -со. «1 Пример. Рассмотрим функцию р м,—,, ч Ее график имеет вертикальную всимптоту х = !. г Звпиюем функцию 2(х) = —,, в виде 2 ! у(х) = х ч- 2+ —. х — ! х — ! Величина —, стрвмитсл к нуво при х сс. Таким ! «2 образом, функцил /(х) = †, допускает предстввле- ние у(х) = х -2- ! -2-п(х), где п(х) = ,†, О, Отсюда следует, что график 2 данной функции имеет наклонную воимптоту р = х + ! (рис, ЗО). ь Полезно исследовать знак разности Рнс.
ЗО 26 = у(х) — Усх — Ь. Если 26 ) О, то кривая расположена над асимптотой; если сз < О, то под асимптотой. Ь 6. Скема востро ения графика функции Горизонтальная асныптота (частный случай наклонной, й = 0) Если при х — +со (или при х — — оо) функция 2 (х) имеет конечный предел, равный числу Ь: 1пп у(х) =Ь (соответственно Игп 2(х)=Ь), в +сз к -ьь то прямая у = Ь есть горизонтальная асимптота соответственно для правой или левой ветви графика функции у = у(х) Примеры. 1. Пусть р = -'.
Для функции /(к) = имеем 1 !Ьц — = О, к гав так нто график функции р = —, имевт горизснталь- 1 ную асимптоту у = О. 2, пусть у = агствк. для функции г(к) = агсгак имеем я я !лп апла = —, Нгп а!стоки = --. -и 2' 2 таким образом, правая ветвь графика функции р = агста к имвет горизонтальную асимпготу р = "-, а левая ветвь — всимптоту р = - т 2' !р .21!. 3. Пусть у = "— ",*, р(О) = !. Поскольку Рис. З! впв !пп — = О, к ьт прямая у = 0 является горизонгалыюй асимптотой графика функции р = — '",* (рис. 32!. у в1пх Ьт х Рис. 22 Последний пример показывает, что кривая у = у(х) может пересекать свою асимптоту, и даже бесконечное множество раз. Заявка Установить условии суцествования асимптот у графика рациональной функции.
96. Схема построения графика функции Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика разлагается на следующие этапы решения задачи: 1, Область определения функции (О.О,Ф.). 2. Точки разрывафункции, иххарактер. Вертикальные асимптоты. 3. Четность, нечетность, периодичностьфункции. 4. Точки пересечения графика с осями координат. 6, Поведение функции на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
