Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Возрастающие и убывающие функции часто называют также строго монотонными, Теорема 1. Лусть функция з (х) непрерывна на отрезке [а, 6[ и имеет производную З'(х) по крайней мере в интервале (а, Ь), Для того, чтобы функция З (х) на отрезке [а, 6] была неубывающей, необходимо и достаточно выполнение условия з'(х) > 0 для всех точек х из интервала (а, Ь). Необходимость.
Пусть функция у(х) на отрезке [а, 6) неубывающая (рис.1). Докажем, что на интервале (а, Ь) производная у (х) > О. Возьмемточких их+ззхвинтервале (о, Ь) . Так как по условию у(х) неубывающая, то при любом сзх (положительном или отрицательном) знаку гзх и Г(х+ гзх) -у(х) один и тот же, и поэтому у(х + з'.1х) — /(х) >О, гзх Учитывая, что по условию в каждой точке х интервала (о, Ь) существует производ- Рис! $1. Прнзввкв возрвстамв и убмввннв чкрвцнн ная / (х), из последнегонеравенства получим / (х) = !Пп /(х + сух) — /(х) >О. дк о йтх Итак,влюбойточкех б (а, Ь) имеем /'(х) > О.
Достаточность Пусть /'(х) > О на интервале (а, Ь). Докажем, что функция /(х) неубывающая на отрезке [а, Ь[. Действительно, пусть х, < хз — любые две точки отрезка [а, Ь[. По теореме Лагранжа /(хз) — /(х~) = /(0(хз — х~), где х~ < р < хз. Так как по условию /'(х) > О в каждой точке х интервала (а, Ь), тон /'(С) > О. Кроме того, хз > хы Поэтому /(хз) > /(х~). итак из неравенства х~ < хз следует неравенство /(х,) < /(хз), а зто и означает, что на отрезке [а, Ь[ функция /(х) неубываюшая. ° Аналогично доказывается Теорема 2.
Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь[ и имеет производную /'(х) по крайней мере на интервале (а, Ь). Ья того, чтобы функция /(х) на отрезке [а, Ь[ была невозрастающей, необходимо и достаточно выполнение условия / (х) < О для всех точек х из интервала (а, Ь). Таким образом, интервалы знакопостоянства производной /'(х) являются интервалами монотонности функции /(х). Слраведливо следующее утверждение (достаточное условие возрастания функции): если /т(х) > О на интервале (а, Ь), то /(х) на отрезке [а, Ь[ возрастает. Однако если /(х) возрастает на [а, Ь[, то отсюда не следует, что /'(х) > О всюду на интервале (а, Ь). Прнмер.
Функции Дз) = *' возрастает нв отрвзкв (-Н т), однако вв пронзводнвв /'(з) = з*з обрвщввтсв в нуль в точкв в=с. ° Принято говорить также о возрастании или убывании функции в точке. Определение. Функция /(х) называется возрастающей в точке х = хо, если сушествует такая окрестность (хо — б, хо +6) точки х,, в которой лля всех х < хс Рнс. 2 имеем /(х) < /(хо),а для всех х > хо верно /(х) > /(хс) (рис.2). Функция/(х) называетсяубывающейвточкех = хс,есливнекоторойокрестности точки ходлявсехх < хо имеем/(х) > /(хо),адля всех х > хо имеем /(х) < /(хо), Следуюшая теорема выражает достаточные условия возрастания и убывания функции в точке.
Теорема 3. Пусть функция /(х) в точке х = хс имеет производную /'(хо), Если /'(хо) > О, то функция /(х) в точке хо возрастает; если /'(хс) < О, то /(х) в точке хо убывает. Глава Хй Иослвдвынив функций одной пврвмвииой м Пусть / (хо) > О. Это означает, что /(хо + Ьх) — /(хо) )нп > О. ая о Ьх = /(х) Но тогда существует такое б > О, что для всех Ьх, удовлетворяющих условию О < (Ьх) < б, верно нера- венство /(хо + Ьх) — /(хо) > О. Отсюда следует, что при О < )Ьх) < б величины Ьх и /(хо+ Ьх) — /(хо) имеютодин и тот же знак: если Ьх < О, то и /(хо + Ьх) — /(хо) < О, т. е.
/(хо + Ьх) < /(хо); если же Ьх > О, то и /(хо + Ьх) — /(хо) > О, т. е. /(хо + Ьх) > /(хо). Согласно определению, зто означает, что функция /(х) в точке хо возрастает. Подобными рассуждениями можно доказать, что если /'(хо) < О, то Функция /(х) в точке хо убывает. ы Эвмвчвиив. Теорема лает десмаякгчныеусвыия возрастания и убывания функпи и в точке. Так, функ н и я, график которой прелста влек на рис 3, возрастает в точке а = О, но в этой точке произволная функпии не сушествует.
Функния /(л) = а' (рис. 4) возрастает в точке л = О, но ее произволиая /'(а) = 3а вточкея = Ообрашаетсяв нуль. О Рис 3 5 2. Экстремум функции Пусть функция /(х) определена в некоторой окрестности точки хо, включая и саму точку хо .. Рис. 4 Определение. Точка хо называется точкой лакальнага максимума функции /(х), если сушествуеттакое б > О, что для всех х из интервала (хо — б, хо + б) верно неравенство Ь/ = /(х) — /(хо) < О (рис.5). Если существует б > О такое, что для всех х из интервала (хо — б, хо+ б) верно неравенство Ь/ = /(х) — /(*,) > О, Рнс, 5 то точка хо называется точкой лакальнагаминимума Функции /(х) (рис.
6), Значение функции /(х) в точке максимума называется локальным максимумам, значение функции в точке минимума — локальным минимумам данной Функции. Максим ум и м ин им ум Функции называются ее локальными зкснгремумами. Эти определения означают, что /(хо) есть локальный максимум функции /(х), если существует такой и нтервал (хо — б, хо+ б), в котором /(хо) является наибольшим 287 $2. Экстрамум фуиканн Рис. 7 Рис. 6 значением функции у(х), и у(хо) есть локальный минимум функции у(х), если сушествует и итервал (хо — б, хо + б), в котором у(хо) является наименьшим значением функции у(х) иа этом интервале, Термин локальный (относительный) экстремум обусловлен тем, что введенное понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области оп редел еи и я функции, а ие со всей этой областью.
Так, для функции у = у(х), график которой представлеи иа рис. 7, точка хо есть точка локального максимума, а точка х ~ — локальиого мимимума, ио б(хо) < /(х1). В дальнейшем слово мокальиый» будем для краткости опускать. Мы будем рассматривать лишь точки строгого максимума и минимума. Определение.
Точка хо называется точкой строгого максимума (минимума) функции у(х), если сушествует б > О такое, чтодля всех х, удовлетворявших условию О<)х — хо! <б вериострогое неравенство У(х) — /(хз) < О (соответственно у(х) — у(хо) > О). В приведенном определении локального экстремума мы ие предполагаем иепрерывиости функции у(х) в точке хо. Пример, Тзк, фикция 7(х) ( х', хФ.О, 1, с=о, рззрыянз я точке * = О, но имеет я етой точке максимум. В самом деле, сущестяует б > О (например, б = 1] такое, что для ясек х и 0 из интерязлз (-1, 1) верно неравенство (рис 01 У(х) — у(О) = у(х) — 1 < О.
М Задача 1. Исходя из определения максимума и минимума, доказать, что функция 1 7(х)= с Р, хио, О, х=о имеет я тачке х = 0 минимум, з функция 1 р(,) =11 хз *', хиа, О, х=о не имеет я токе х =0 экстремума. Рис. Н 2ВВ Глаза Х1. Исследоазние функций одной пзремезюа Задача 2. Исследовать на экстремум з точке хс функцию З(х) = (х-хс)"р(х), считай что произзодная гс'(х) не сущестаует, но функция р(х) непрермана з точке хс и р(хз) р О, и — натуральное число. 2.1. Необходимое условие экстремуме Теорема 4, Функция Г(х) молгет иметь экстремум только в тех точках, в которых ее производная З'(х) либо равна нулю, либо не существует. м Пусть в точке хр функция /(х) имеет производную гу гг = г(.т) и з (хо) Ф О.
Зля определенности пусть з (хз) > О. Тогда функция у(х) в точке хо будет возрастающей. Поэтому найдется такое б > О, что для всех х из интервала (хо — б,хо) верно неравенство З(х) ( У(хз) а для всех х из интервала (хо, хо + б) верно неравенство з(хо) < у(х) (рис.9). Из этого следует, что не существует окрестности точки хо, в которой величина Г(хо) была бы наибольшим или наименьшим "з хо ~о+ б значением функции )'(х), и поэтому точка хс не будет н и точкой максимума, ни точкой мннимумафунк- Рис. 9 ции Г(х). Аналогичными рассуждениями придем к тому же выводу при Г'(хз) < О, Итак, если в точке хс существует производная у'(хс) ~ О, то в точке хо не может быть ни максимума, ни минимума функции /(х).
Следовательно, экстремум функции Г(х) может быть только в такой точке, в которой производная З'(х) либо равна нулю, либо не существует. м Геометрическую иллюстрацию теоремы дает рис.! О. Функция у =,Г(х), график которой представлен на этом рисунке, имеет экстремум ы в точках хг, хз, хз, х4, при этом в точках хг и х4 производная Г (х) не существует, а в точках хг и хз она равна нулю. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для функции Г(х), называются критическими точками этой функции.
Они определяются как корни уравнения У'(х) = О Рнс. 1О и как точки, где /'(х) не существует (в частности, где у'(х) — бесконечно большая функция). Корни уравнения З (х) = О называют стационарными точками функции З(х): скорость изменения Г(х) в такой точке равна нулю.
Теорема выражает лишь необходимое условие экстремума, и не в каждой своей критической точке функция /(х) обязательно имеет максимум или минимум. Пример. так, например, для функции з(х) = хт имеем з'(0) = О. Поэтому точка х = О яалттся критической для данной функции. но функция з(х) = х' з точке * = 0 экстремума не мкзет, т.к. г (О) = О, г (х) < 0 для х < О и з (х) > 0 для х > О, так что з точке * = 0 данная функция возрастает, в $2.
Экстремум функции 289 2.2. Достаточные условия максимума и минимума Теореьеа $. Пусть х = хс есть критическая точка дляфункции /(х), т е. либо / (хс) = О, либо /'(хс) не существует, но сама функция /(х) непрерывна в точке хс. Пусть существует такое б > О, что для всех х из интервала (хс — б, хс) производная / (х) > О, а для всехх изинтервала(хс, хс+б) имеем/ (х) < 0 т е.
припереходе х через точку хс производная /'(х) меняет знак с плкка но минус. Тогда в точке хс функция /(х) имеет максимум. м Так как по условию / (х) > 0 а и нтераале (хс — б, хс), то на отрезке (ха — 6, хс) функция /(х) возрастает; так как /'(х) < 0 а интервале (хс, хо+ б), то на отрезке (хс, хс + б( функция /(х) убывает. Следовательно, /(хс) есть наибольшее значение функции /(х) а окрестности (хс — 6, хс + б) точки хс (рис. 11), а зто означает, что /(хс) есть локальный максимум функции /(х) . м Аналогично доказывается Теорема В. Пусть х = хс есть критическая точка для функции /(х), т.е.
либо /'(хс) = О, либо /'(хь) несу- ществует, но сама /(х) в точке хс непрерывна. Пусть существует такое 6 > О, что длявсеххизинтерволо(хс-б,хс) имеем/'(х) < О,идлявсехх изинтервала(хс,хс+б) /'(х) > О, т. е. производная /'(х) при переходе х через точку хс меняет знак с минуса на плюс. Тогда точка хс есть точка минимума функции /(х), Если а некоторой окрестности (хс — б, хо+6) критической точки хр и слева и справа от точки хс знак производной /'(х) один и тот же, то а точке хс нет экстремума функции/(х).
Так,если /'(х) > 0 какдля х Е (хс — б,хо),так и для х б (ха хе+ 6), то /(х) будет аозрастаюшей как слева, так и справа от точки хс. Поэтому каким бы малым интервал (хс — б, хс+б) ни был, /(хс) не будет ни наибольшим, ни наименьшим значением /(х) а этом интераале, т.е. а точке хс не будет ни максимума, ни минимума функции /(х). Условие непрерывности функции /(х) а самой точке хс является сушестаенным. Рассмотрим функцию — х, х<0, (х+1, х>0 (рис.! 2). В точке х = 0 произаодная /'(х) не сушестаует. 1 При переходе х через эту точку производная /'(х) меняет знак, но а точке х = 0 функция /(х) экстремума не имеет: 0 не сушестаует окрестности точки х = О, а которой /(0) = 1 было бы наибольшим или наименьшим значением функ- ции /(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
