Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Покажем, что они равны. Рассмотрим сумму х + х + х . Пользуясь аксиомой 1 и тем, что элемент х противоположен элементу х, получаем: х +х+х =х +(х+х )=х +9=х, Аналогично убеждаемся в том, что х +х+х =(х +х)+х =9+х =х .ь Нетрудно убедится также в справедливости следуюших свойств: 3, Для любого элемента х выполняется равенство Ох = 9. 4. Длялюбого элемента х выполняется равенство — х = (-1)х. $. Длялюбого числа а выполняется равенство аб = 9.
6. Из того, что ах = 9, следует, что либо а = О, либо х = 9. 9 2. Линейные подпространства Непустое подмножество Иг линейного пространства У называется линейным подпростропством пространства (г, если для любых элементов х и у из Иг и любого числа а выполняются следующие условия: Иногда говорят: «множество Иг замкнуто относителзноуказанлых операцийь. Примеры линейных подлространств. Ь Множество векторов на плоскости тгз явлются линейным подпространствсм линейного пространства тгз. й Совокупность решений однородной системы т линейных уравнений с и неизвестными (:.::) (:.)=(:) образует линейное подпространство линейного пространства Р,„ы ° В самом деле, сумма решений однородной системы (*) является решением зтсй же системы и произведение решены системы («) на число также является вв решением, Ю 3. Совокупность всех веществе»нови»ьи функций, непрерывных на интервале (-!, !) и обращающихся в нуль при ! = О, образует линейное подпрострзнство линейного пространства С(-!.
!). и сумма /(!) е р(!) функций /(!) и р(!), обращающихся в нуль при ! = О, /(О) = р(0) = О, и произведение и/(!) функции /(!), обращающейся в нуль при ! = О, /(0) = О, на число и Равны нулю при!=в. Ы 124 Глава ж Лпппапип и пппппяппы прпетрппстпп 2.1. Свойства линейного подпространства 1. Если хм..., хт — элементы линейного надпространства $Г, то любая их линейная комбинация а~к~ +...
+ а х также лежите И'. 2. Линейное подпространство тУ само является линейным пространством. и Достаточно убедиться лишь в том, что нулевой элемент 8 и элемент, противоположный произвольному элементу из Ит, лежат в Иг. Указанные векторы получаются умножением произвольного элемента х Е $У на О и на — 1: 6 = Ох, — х = ( — 1)х. > 2.2. Сумма и пересечение линейных подпрострвнств Пусть У вЂ” линейное пространство, тУ, и тУт— его линейные подпространства. Суммой Иг, + $Ут линейных надпространств Иг~ и 1Ут называется совокупность всевозможных элементов х пространства У, которые можно представить в следуюшем виде х=х~+хт, (1) где х~ лежит в И ы а х, — в И т. Коротко это можно записать так: И' ( + Итт = (х = х~ + хт ~ х ~ б 1Ун хт б И'т).
Сумма линейных надпространств тГ~ и тУт на- Рнс, 3 зывается прямой, если для каждого элемента х этой суммы разложение (1) единственно (рис. 3). Обозначение: тУ~ Ю тУт. Пересечечием тУ~ гт 1Ут линейных надпространств Ит~ и 1Ут линейного пространства У называется совокупность элементов, которые принадлежат одновременно илинейному подпространству Игн и линейному надпространству Итт. 2.3. Свойства пересечения и суммы линейных подпространств 1. Сумма И'~ + И'т является линейным подпространством пространства У. и Возьмем в тУ~ + И'т два произвольных элемента х и у.
По определению суммы подпространств найдутся элементы хм у, из 1У, и хь ут, из 1Ут такие, что х=х~+хт, у=у~+уз. Это позволяет записать сумму х + у в следуюшем виде х+ У = (х~ + хт) + (У~ + Ут) = (х~ + У~) + (хт+ Ут) Так как х ~ + У~ б ЪУ~ и хт + У, б Игт, то сУмма х + У лежит в тУ~ + И'т. Аналогично доказывается включение ах б Ит, + Игь м 2.
Пересечение Иг~ Гт И; является линейным подпространством пространства 1'. 3. Если нулевой элемент является единственным обшим вектором надпространств Иг~ и тУт линейного пространства У, то их сумма является прямой — И"~ Ю И'т. 2.4. Линейная оболочка Линейной оболочкой Е(Х) подмножества Х линейного пространства У называется совокупность всевозможных линейных комбинапий элементов из Х, $3, Линвйнвв звансимость Ь(Х)хк(ухи~ азхз ~х) ЕХ, а)бй, д»х1,2,...). 1 Последнее читается так: «линейная оболочка Ь(Х) состоит нз всевозможных элементов у, представимых в виде линейных комбннацнй элементов множества Х».
2.5, Основные свойства линейной оболочки 1. Линейная оболочка Ь(Х) содержит само множество Х. 2. 4.(Х) — линейное подпространство пространства )г. м Сумма линейных комбинаций элементов множества Х н произведение линейной комбннацнн элементов на любое число снова являются линейными комбннацнямн элементов множества Х, (ь 3. 4.(Х) — наименьшеелинейноеполлространство, содержащее множество Х, Это свойство следует понимать так: если линейное надпространство )у' содержит множество Х,то (х содержитнеголннейнуюоболочку Х(Х).
м Пусть Иг — лннейное надпространство, содержашее заданное множество Х. Тогда пРонзвольнаЯ линейнаЯ комбннацна а1х~ +... + аехе элементов множества Х— элемент линейной оболочки Ь(Х) — содержится н в подпространстве )у . ь Пример 1. Рассмотрим в линейном пространстве К' две тройки з Е = (1, 1,0) и т( = (1,О, 1) (рис.41. Множество решений уравнения х' — хт — хз = О (2) является линейной оболочкой Е(Е, т)) троек Е и Ч. < Действительно, тройки (1, 1, 0) и (1, О, 1) образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (2), и значит, любое решение етого уравнения является их линейной комбинацией. > Пример 2. Рассмотрим в линейном пространстве С(-оо, оо) аещественнозначнмх функций, непрермвнмх на всей числовой оси, на- 1 бор Х одночленов 1, х,..., х"; х Х = (1,х,..., х"). Рис.
4 линвйнвя оболочке е(х) предстввляет собой совокупность многочленов с вещественнмми козффициентами, степени которых не превосходят и. Г» Обозначаннв1 ВГ„= Е(1, х,..., х ). 93, Линейная зависимость Определение. Система элементов х1,, хз линейного пространства )г называется линейно зависимой, если найдутся ч ясла а „..., аз, не все равные нулю н такие, что Если равенство (1) выполняетсятолькопрн а, =... = а = О,то система элементов х1,..., х называетсялииейно независимой. ба. Иазис. Размерность 94.
Базис. Размерность Упорядоченная система элементов е!,..., е„линейного пространства Тт называется базисом этого линейного пространства, если элементы ен..., е„линейно независимы и каждый элемент из Тг можно представить в виде их линейной комбинации. Упорядоченность означает здесь, что каждому элементу приписан определенный (порядковый) номер. Из одной системы н элементов можно построить зй! упорядоченных систем.
Пример. Пусть и, Ь, е — тройка некоылланарных зектораа из т! !рис.бк Тогда утюркдо енине тройки а, Ь, е; Ь, е,а; а е,л,Ь; Ь,л,е; и,е,Ь и е,Ь,а — различные базисы !ть Ь Рис б Пусть с = (е! ... е„) — базис пространства $'. Тогда для любого элемента х из тт найдется набор чисел С !,..., С" такой, что В силу теоремы 2 числа с ',..., с" — координаты злеменлта х в базисе е — определены однозначно. Посмотрим, что происходите координатами элементов при простейших действиях с ними.
и и Пусть х = 2', Суе! и у = 2; туге!. Тогда т=! т=! и лля любого числа а Таким образом, при сложении элементов их соответствующие координаты складываются, а при умножении элемента на число всеего координаты умножаются на это число. Координаты элементачасто удобно записывать в виде столбца. Например, (,') и — координатный стлолбец элемента х = 2 Суе! в базисе е. у=! Разложим произвольную систему элементов х !,..., хс по базису е, и и т т х, кк ~ рте„...,х кк ~ Сееу, т=! Гнааа у.
Лннааныа н аынмдааы пространства и рассмотрим координатные столбцы элементов х1 „..., хе в этом базисе: (,'Н,':) м Пусть Ф Л|х1 + ... + Леха = ~~) Льхь = 6, ь=! причем хотя бы один из коэффициентов Ль отличен от нуля. Запишем это подробнее ~~ (ь.аь) =ь,(г,ьа)ь=ь. Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису вытекает, что Е Ль(ь = О, ..., ЕЛь ь = О, или, что то же, л, + ... + л, (2) Таким образом, линейная комбинация координатных столбцов элементов хм..., ха равна нулевому столбцу (с теми же коэффициентами Ли..., Ла), Это и означает, что система координатных столбцов линейно зависима. Если же выполняется равенство (2), то, проводя рассуждения в обратном порядке, получаем формулу(1).
Тем самым, обращение в нуль некоторой нетривиальной (хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля) линейной комбинации элементов линейного пространства равносильно тому, что нетривиальная линейная комбинация их координатных столбцов (с теми же коэффициентами) равна нулевому столбцу. > Теорема 5.
Пусть базис е линейного пространства Тг состоит из и элементов. Тогда всякая система из гп элементов, где пь ) и, линейно зависима. м В силу теоремы 3 достаточно рассмотреть случай пь = и + 1, Пусть хм..., х„+, — произвольные элементы пространства $'. Разложим каждый элемент по базису е = (е,,..., е„): х~ = с,е, +... +с, е„, 1 1 н х„, =(н,те~ +... +С„,е„, Теорема 4, Система элементов хи..., ха линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их координатных столбцов в каком-нибудь базисе.
и запишем координаты элементов х 1,..., х„+! в виде матрицы, отводя у-й столбец координатам элемента х, 5 = 1,...,и+1. Получим матрицу из и строк и и+! столбцов— я+! с! " св+1 Ввиду того, что ранг матрицы К не превосходит числа и ес строк, столбцы матрицы К (их и + 1) линейно зависимы. Атак как это координатные столбцы элементов х„..., х„+1, то согласно теореме 4 система элементов х1,..., х„+, также линейно зависима. м Следствие.
Всебазисылияейяогояросвгранства 'тг госвюяят из одинакового числа элемен- лтов. Ф Пусть базис е состоит из и элементов, а базис е' из а' элементов. В силу только и о доказанной теоремы из линейной независимости системы е1,..., е'„заклхучаем, что и' < и. Меняя базисы е и е' местами, в силу этой же теоремы получаем, что и ( и'. Тем самым, я = и. Ь Разлкряостью линейного пространства )г называется число элементов базиса этого пространства. Пример ь Базис координатного пространства и" образуют элементы е,=(1,О,...,О,О), е,=(О,1,...О,О), ..., е.=(О,О,...,О,ПХ ю Система элементов е!, ет,..., е„линейно неетвисима: из равенства а!е!+... +а„е„=о получаем, что о,(1, О, ..., О, О) + ... + о„(О, О, ..., О, 1) = (о,, ..., о„) = (О, ..., О) и значит,а, = ...
= а„ = О. КРОМВ тСГО, ЛЮбсй ЭЛЕМЕНТ д = ((!,...,Сч) Иэ Жч МОЖНО ЗаВИСатЬ В Вндв ЛниайНОй КОМбИНацИИ элементов е!,...,е,: д = ('(1, о,..., о, о) + ... + ("(о, о,..., о, О = ((',.... Е") тем самым, размерность пространства П" равна и. и Пример 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
