Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Обозначение: (б) с аээ аы ац ~ агэ О22 огэ / озэ аз2 азз аэ~ ап ац агэ агг агз азэ азг азз Формулу (2) легче запомнить, если воспользоваться двумя правилами для построения слагаемых определителя, символически описанными на рисунке 4. На левом рисунке показано, как выбирать сомножители первых трех слагаемых опрелелителя, а на правом — трех ав ац ...
Ом агз агг ... аги а„, а„г ... аии сг„Сг„ч42 тэ Глава й). Матрицы. Олреяелнтелзь Лннеанме онотамм Формула (4) называется разложением определителя по первому столбцу. Нетрудно проверить непосредственно, что при п = 2 и и = 3 эта формула дает те же числа, что и формулы (1) и (2) соответственно. Например, при и = 3 имеем Р = йзз(й22йзз — йз2й23) — й2з(йз2йзз — й32йзз) + йзз(йз2й23 — й22йзз). (7) Формула (4) допускает со крашен пузо запись (о) Пример. вычислим определитель трвугольнол матрицы азз азз азз ... аз» 0 азз азз .. аз» А= 0 О ггзз ..
аз» 0 О 0 ... а»» < Имеем азз гт23 ° ьз2» 0 а ... а азз . аз» ~л~ыац ''' =аззазз ........,..... =... =аз,ап...а„». зз з» 0 0 . а»» О ... а»» Таким образом, о»реда»имел» юреуюльиал лза арицы (мам рицы ю~угм ьного аида) ра»ен нроиюиению ее заеме нюо», глю»- юик но гла»нод диагонаю. ю Обратимся к общей ситуации. Пусть теперы и 7' — произвольные числа из набора 1, 2, ..., и — 1, н.
Определитель матрицы порядка н — 1, которая получается из матрицы А вычеркиванием элементов 3-й строки и 7'-го столбца, называется дополнительным минором элемента й,з и обозначается через Мз. (рис. 5). Таким образом, Мн — дополнительный минор элемента й,з. рис. 5 По аналогии с формулой (8) введем числа Рз: (9) Покажем, что все числа Р = Р, Рз,..., Р» равны между собой. $2. Оарвлвяятеля < Ддя простоты ограничимся рассмотрением случая и = 3.
Тогда из формул (9) при 3' = 2 получаем Рг = анМп+ а22М22 — аз2М22. ()б) Каждый минор Мп (т = 1, 2, 3) является определителем второго порядка— ан агз~ М !!аг аз1 М 1агг агз аз~ азз ~ 22 1аз~ аэз ~ Зг ~ан агз Вычислим определители (11) в соответствии с правилом (1) и, подставляя результаты Мм = аназз — аэгагз Мы = аиазз — азгагз. Мзг = анагз — агзагэ в формулу (1О), получим, что Рг = — сггг(сгнсгзз — аэгагз) + агг(ансгзэ — аз!а!2) — сгм(стнслгз — аггсгы) (12) Сравнивая правые части соотношений (7) и (12), убеждаемся в том, что Р = Рг.
Подобным же образом проверяется равенство .Р = Рэ. (в ЗвмачвннВ. Равенетва Ю = Ю~ = ... = Ю„в общем случае также докааышютея путем сведения к вычислению олределителей меньшего порядка ((н — 1)-го и (н — 2) -го). Таким образом, доказана формула (13) коротко называеыая разложением определителя по 3'-му столбцу.
Придадим полученному результату несколько иной вид. Число А;г — — ( — 1)с+э МВ (14) называется олтброическим дополнением элемента а; в определителе !А!. Заметим, что алгебраическое дополнение А;э элемента аб завйсит только от его позиции (т, Я в матрице А. При замене элемента а;; матрицы на любое другое число алгебраическое дополнение А;. не изменяется.
С учетом обозначения (!4) формулу (13) можно записать в следующем виде: (15) Тем самым, показано, что определитель кводр отпой матрицы ровен сумме попо рныд произведений элементов произволыгоео столбца но их олгеброические дополнения. Глава р). Матрицы, Опреяельпвлн, Лннайные снотамы По аналогии с формулами (9) вводятся числа (16) также равные между собой. Чтобы убедиться в этом, достаточно, поменяв ролями строки и столбцы, дословно повторить предыдущие рассуждения. Имеет место следующий замечательный факт. Теорема З.,ь(ля любого т = 1,..., и Р = ~( — 1)!+за;зМьзч Иными словами, справедливо роагозкение определителя по т-й строке.
(17) м Достаточно убедиться в том, что (18) г),! = Р. Вновь ограничимся случаем и = 3. Согласно правилу (16), имеем дьь = а„Мь, — аыМы+аьзМьз я Ргх ~~ абАь; = апАп+... +ат„Аьт т =1,...,и, з=! — определитель квадратной мотрииы ровен сумме попорных произведений элементов проимольной строки но их олгеброические дополнения, Лршмр. Вычислим определители матриц элементарных преобразований. Ч Раскладььвая определитель матрицы Рц 1 ь 1рьз1 = и далее ь) ь = аьь(аыазз — аззазз) — аи(азьсгзз — аз!аз!)+ ан(амаз! — азьаз!). Сравнивая полученный результат с формулой (7), убеждаемся в справедливости требуемого равенства (18).
м замечание. в общем случае равенство Ьь = Р тньжс доказывается путем сведения к вычислению определителей меньшего порядка([я — ь)-го и (п — 2)-го). С учетом обозначения (14) полученный результат можно записать следующим образом: $2. Определители по г-й строке и затем повторил зту операцию достаточное чксло раз (п — гг, придем е результате к следующей формуле так как матрица ог злементарнык преобразований 2-го типа имеет диагональный аид, то !о | =д Ллл матрицы Ьв трегьего тым получаем Щ = !.
° 2.1. Сеойстее определителя 1. Линейность Пусть в определителе Р т-я строка является линейной комбинацией двух и-строк: а!! а! Лб! + И7! Лгзп + Л7п ! а„! !гоп Тогда Р = ЛР'+ ЛРп где определители а!! ... а!„ а!! ... а!л А !!т 7! 7» .0 = г Р !г оп .. а!„ а,! ... а!„ отличаются от определителя Р только т-ми строками.
Р = ~~! (Л!3 +у!72)Агг Р'= ~ДАггч Р = у,тгАгг. г=! г=! г=! Отсюда следует, что Р = ЛР'+ ЛР". м 2. Антисимззатричность Если определитель Р получен из определителя Р перестановкой двух строк, то м Предположим, что определитель Р получен из определителя Р перестановкой первых двух строк: а!! гг!г ° ° сз!и ам гтп ... агл ап аы . аь а!! а!г . а!„ а! аг а« а„! а„г ... алп м Чтобы убедиться в справедливости этого свойства, достаточно разложить определи- тели Р, Р' и Рл по т'-й строке. Так как алгебраическиедополнения А; элементов з-й строки у всех трех определителей одинаковы, то согласно формуле (19) имеем Глана йг.
Матрицм. Опреаепитеиь Лвигньи енетеии Разложим определитель Р по второй строке, а определитель Р— по первой строке. Согласно формуле (17) получим соответственно Р = — амМн + аггМгг + ° + (-1) +"аъМг Р = аггМгг — аыМы+... +( — 1)' "аг„Мг,. Нетрудно видеть, что Р = — Р. При перестановке любых двух строк определителя Р доказательство проводится аналогично. ~ 3. Транспонироаание определителе При транспонировании матрицы определитель не изменяется Это свойство непосредственно вытекает из доказанной выше теоремы: разложение определителя )А! попервой строке совладаете разложением определителя !А~!по первому столбцу. Заметим, чтосвойства1 и 2 справедливы и для столбцов (это следует из свойства 3). 4.
Определитель произведение игадратнмх матриц Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е. если А и  — квадратные матрицы одного порядка, то Яв~=!ь м~ Сформулируем свойства определителя, удобные при практических вычислениях.
1. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю. м Всамомделе, при перестановкедвухлюбых строк, согласносвойству 2, определитель должен изменить знак на противоположный; с другой стороны, при перестановке двух одинаковых строк определитель не меняется. Значит, Р = -Р, откуда вытекает, что Р = О. гь 2. Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого опре- делителя на это число.
м Этовытекаетизсвойства 1 при гг = О, гь 3, Определительс нулевой строкой равен нулю. М Достаточно разложить определитель по нулевой строке. ~ 4. Определитель,однаизстроккоторогоравнапроизведениюдругойегострокиначи- сло, равен нулю. ~ В силу свойства 2 множитель можно вынести за знак определителя, после чего остается определитель с двумя равными строками. ь 5. Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на любое число, то патученный определитель будет равен исходному. м Полученный определитель согласно свойству 1 равен сумме двух определителейв исходного н определителя, одна из строк которого равна произведению другой его строки на число. ~ $ 3. Вычисление определителя Нтаг! определитель не изменится, если к любой его строке прибавить линейную комбинацию других строк определителя.
То же самое справедливо и для столбцов определителя. Задача. Доказать, что сумма произведений элвмвнтоа строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой ст1юки огрвдвлитвля равна нулю. ч Заменим а определителе а!! ... а!„ ап ." ам (!Фа) ам " ах» а»! " а»» лемвнты а-й строки тствующими элементами т-й строки. Получим определит впь ап ... а!» ал ... ам ап ." ам а„! ... «»» с двумя одинаковыми строками — т -й и й-й. Согласно свойству 1, 22 = О.
Раскладывая определитель Ю по а-й строке, полтчим требуемое равенство ат!Аы+... +ать»„=О (1тьа) (напомним, что изменение элементов строки определителя не изменяат алгебраических дополнений этих элементов!. в 9 3. Вычисление определителя Прежде чем обратиться к описанию вычисления оп редели тепаи ри помаши элементарных преобразований, отметим, что при преобразованиях первого типа определитель изменяет знак (свойство 1), при преобразованиях второго типа определитель умножается на то же число (свойство 2), а при преобразованиях третьего типа определитель не изменяется.
Пример. Вычислить определитель матрицы 4= 4 -1О 8 3 < элемент а х Р О. не все элементы первого столбца дэпася на а и нацело. чтобы избежать деления элементов мата»цы, умножим 2-ю строку на -2, 3-ю на — 1 и четвертую на 2. Получим 2 — 5 4 3 -4 10 -8 -3 -б 4 — 1О 6 1-я юаг. Прибавляем ко второй, третьей и четвертой строкам первую строку, умноженную соответственно на 3, 2 и 3. тогда 2 -5 4 3 О -7 -2 1 4!а!= О О О 3 Π— 11 2 15 4 Злк. 750 Главе йб Матрицы. О!редаяпепв Лиивйнью састемы 2-й шаг.
Чтобы набежать деления, умнажим последнюю строку на -7. Тогда 2 -5 4 3 0 -7 -2 1 (-7) 4)д)= о о о 3 0 77 -14 — 105 Прибавляя к четвертой строке вторую строку, умноженную на 11, получим 2 -5 4 3 О О О 3 О 0 -36 -94 3-я шаг. Переставляем третью и четвертую строкж 2 -5 4 3 0 -7 -2 1 ) 0 0 -36 -94' 0 0 0 3 Вычисляя определитель полученной треугольной матрицы, имеем -23)А( = ( — 2) ( — 7) ° (-36) ° 3. Отсюда окончательно получаем, что )д)=54, о 94. Обратная матрица Квадратная матрица называется невырождепной, если опрелелитель этой матрицы не равен нулю. Пусть А = (ац) — невырожденная матрица порядка и. Построим новую квадратную матрицу В порядка и по следующему правилу: в т -ю строку и 3-й столбец матрицы  — в позицию (т, 3) — помещается число, равное алгебраическому дополнению А)! элемента а)! матрицы А: Матрица В обладает следующим важным свойством: Докажем, например, равенство АВ= !А) 1.
м Элемент произведения АВ, находящийся в позиции (т, 2), вычисляется по формуле 7У = ~; а!в АУ». «=! 94. Обратнва матраца При 1 = т' получаем разложение определителя матрицы А по 1-й строке: в 'уп = ~~1 ааАм = 1А(. а ! При 1 ~ 3 согласно разобранной вьиде (в $2) задаче тб = О. ~и Равенство ВА=(А( 1 обосновываетсяаналогнчно. Матрица Ац (А( (А( А = — В= 1 )А( (2) !А! !А! называется офатной к матрице А. Из формулы ( 1) вытекают равенства (3) Этоозначает,чтоматрицуА 'можнорассматриватькакрешениесразудвухматричных уравнений где — неизвестная матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
