Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Конические поверхности Пусть 7 — произвольная кривая и Π— точка вне се. Через каждую точку кривой т и точку О проведем прямую 1. Множество точек, лежаших на построенных таким образом прямых, называется конической поверхностью (рис. 43); кривая 7 — направллюи(ая конической поверх ности, 1 — ее ойразующал, точка Π— вершина, Рассмотрим функпию Е'(х, у, г) переменных х, у и г. Функпия е'(х, у, г) называется однородной функяией степени о, если для любого 1 > 0 выполняется равенство Гиввв В). Кр»вме и веоуеиости в»ермо м»ря)аи »тто(-то уо ео) О(0, О, 0) Рис. 43 Рис.
44 Рис. 45 П окажем, что есл и Р(х, у, з) — однородная функция, то (яя»к т, *) к к я вдается уравнением конической ловерхносл»и. ~ Всамомделе,пусть е(хо, Уо хо) = О. т. е. точка Мо(хо, Уо, ло) лежит на этой повеРхности. БУдем считать, что хг»+Ус+хо > О, Проведем через эту точку и точку О(0,0, 0) (считая, что Р'(0,0, 0) = 0) прямую ( (рис. 44). Ее параметрические уравнения имеют вид х =(хо, у =(уо х =(во.
П одставляя полученные выражения для х, у и х в фу ц с (,, ), х в ункцию (х, у, в), видим, что .е (х, у» а) = Р((хо, (уо, (хо) = ('Е (хо, уо, хо) = О. Это означает, что вся прямая ( лежит на поверхности, определяемой уравнением .е(х,у,х) =О, которое, следовательно, и описывает коническую поверхность.
М пример. Функция Р(в,р,т) = — + а» является однородной функцией второй степени: г (тв)' (гу)' Ок)' а» 65 с» г 6» с» (-" ---")=' хг рг г ч 2 2> г Г(е'р'х) Значит, 2 㻠— + — — — =о а» 6» с» — уравнение конической поверхности (конусв второго порвдкв) (рис. 46). ° Воспользуемся тепе ьп р слученными выше результатами для исследования геометрической формы поверхностей второго порядка. $! Е. Эллипсоид. Гиперболоиды, Параболоияы.
Цилиндры и конус а»орал порядка бв 9 10. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка 10.1. Эллипсоид ; тяяилсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Охра имеет вид 2 2 2 — + — + — =1 аг Ьг сг где а > б > с > О. Для того„чтобы выяснить, как выглядит эллипсоил, поступим следуюшим образом.
Возьмем на плоскости Оха эллипс г г — + — =1 аг с» и будем врашать его вокруг оси Оа (рис. 4б). Рис. 46 Полученная поверхность х2 ! 122 яг + — =1 а' сг — эллипсоид вращения — уже дает представление о том, как устроен эллипсоид общего вида. Чтобы получитьегоуравнение,достаточноравномерносжатьэллипсоидврашения вдоль оси Оу с коэффиииентом ь < 1, т.е.
заменить в его уравнении у на б~р~~. 10.2. Гиперболоиды Врашая гиперболу х2 а2 — — — =! а2 Сг вокруг оси Оа (рис. 47), получим поверхность, называемую однололостным гилерболоидолтвращеиия. Его уравнение имеетвид х'+ у г а' с' получается тем же способом, что и в случае эллипсоида врашения. я Эааипсоил врашеиия (т! можно получить равнолтериым ежа»вел» сФеры а»+ у»+ а» = а влоаь осн Оа с котффипиеитом „- !. Глава ьа. Крвамь а аоььрхнеетв ьтореге аерааьв Рис 47 Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с козффипиемтом ь — < 1 получим однополостный гиперболоид общего вида. Его уравнение 8 2 рз 2 — + — — — =! а' 82 7 получается тем же способом, что и в разобранном выше случае зллипсоида. Путем врашеиия вокруг оси Ол сопряженной гиперболы х2 хз — — — = -1 а2 сз получим двуполостны й гиперболоид вращения (рис. 48).
Его уравнение Р1н. 4В Путем равномерного сжатия этой поверхности влоль оси Оу с коэффициентом ь —, < 1 приходим к двуполостному гиперболоиду общего вида. Заменой у иа;р получаем ь его уравнение тт б бу. эллипсоид. гипарболоиды. параболоилы. Цимвдры и конус а тороса порядка 10.3. Эллиптический параболоид Врашая параболу х = 2рс 2 вокруг оси Ол (рис. 49), получаем пароболоид вратиепит Его уравнение имеет вид х +у = 2рл. 2 Рнс. 50 Рнс. 49 Путем сжатия параболоида врашенив вдоль оси Оу с коэффициентом . т б < ! получаем эллиптический параболоид.
Его уравнение х' + — = 2л р ч получается из уравнения параболоида вращения х +у = 2е р путем замены у иа /б у. Если р < О, то получаем параболоид вида, указанного иа рис. 50. 10.4. Гиперболический параболоид Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольнойдекартовой системе координат Охра имеет вид ,2 2 — — — = 2а, (а) р ч где р > О, 9 > О. Вид этой поверхности определим, применив так мазываемый метод сечений, который заключается в следуюшем: параллельно координатным плоскостям проводятся плоскости, пересекаюшие исследуемую поверхность, и по изменению конфигурации вози икаюш их в результате плоских кривых делается вывод о структуре самой поверхности. Начнем с сечений плоскостями г = Л = соим, параллельными координатной плоскости Оху.
При Л > О получаем гиперболы хз у2 =1, ( 22С2рЛ) ( /29та) 72 Гпаея тв. Кране и поеерхиости второго порядка при Гт < 0 — сопряженные гиперболы .2 2 2 1, (ХГà — 2РГт) (;/-Ъ~ф) а при Ь = 0 — пару пересекающихся прямых хт ут (,Р)' (,Л)' Заметим, что эти прямые являются асимптотами для всех гипербол (т. е. при любом Гт Ф О). Спроектируем получаемые кривые на плоскость Оху. Получим следуюшую картину (рис. 51). Уже это рассмотрение позволяет сделать заключение о седлообразном строении рассматриваемой поверхности (рис.
52). 6=-2 Рис. 52 Рис. 5! Рассмотрим теперь сечения плоскостями у =й. Заменяя в уравнении поверхности у на 1т, получаем уравнения парабол х =2р а+в (рис. 53). Аналогичная картина возникает при рассечении заданной поверхности плоскостями х = Гт. В этом случае также получаются параболы уз= — 2д х —— ветви которых направлены вниз (а не вверх, как для сечения плоскостями у = Ь) (рис. 54).
Используя последние два типа сечений, приходим к заключению, что гипетттболический параболоид можно получить путем параллельного переноса параболы х = 2рх вдоль параболы у' = -2тГх, или наоборот (рис. 55). б 10. эллипсоигь гипарболоиды. параболоиды. Ципищры и конус вторшо порядка уб Рис. 54 Рис. 53 Рис. 55 Замолвила. Методом сечений можно разобраться в строении и всех ранее рассмотренных поверхностей второго порядка. Однако путем врашения кривых второго порядка и послсдуюшего равномерного сжатия к пониманию их структуры можно прийти проще и значительно быстрее. Оставшиеся поверхности второго порядка посушеству уже рассмотрен ы ранее.
Это цилипфы: (рис. 56), эллиптический гиперболический Рис. 5б представление о котором можно получить либо путем вращения пары пересекаю шихся прямых х' д' — — — =О йз сэ вокруг оси Од и последующего сжатия, либо методом сечений. Конечно, в обоих случаях получим, что исследуемая поверхность имеет вид, укаэанный на рис. 59. Рис. 57 Рис. 5а Рис. 59 и параболический и конус второго порядка (рис. 57) (рис. 58) а э э — + — — — =О, аз Ьэ сэ Глава Нй армане и веаеравоств второго порядка 74 Упражнения ,1 1. Дана гипербола ' — „— ~и = 1.
Задание; а) вычислите координаты фокусов; б) вычислите эксцентриситет; в) напишите уравнения асимптот и директрис; г) напишите уравнение сопряиенной гиперболы и вычислите ее эксцентриситет. 2. Составьте каноническое уравнение параболы, есяи расстояние от фокуса до вершины равно 3. 3. Напишите уравнение касательной к эллипсу —, + !~а = 1 в его точке М(4, 3). 4.
Определите види располоиение кривой, задаймой уравнением: а) х'+ 2у+ 4х — 4у = 0; б) бху+ 8у' — 12х — 26у+ 11 = 0; в) х — 4ху+ 4у + 4х — Зу — 7 = 0; г) ау + х+ у = 0; д) х — 5ху+ 4у + х+ 2у — 2 = 0; е) 4х~ — 12ху + Эу~ — 2х+ Зу — 2 = 0 Ответы 1. а) г'„(-5, 0), Р,(5, 0); б) е = —,; в) У = х1х, х = х-,; г) *- — г!ь = — 1, е =;, 2. У = 12х. 3. Зх+ 4у — 24 = О. 4.
а) эллипс л + — ', = 1, центр 0'( — 2, 1), большая ось 0'Х параалельна л~ оси Ох; б) гипербола л — — ' = 1, центр 0'(-1,2), угловой коэффициент вешественной оси 0'Х равен 3; в) парабола У' = .~)ЗХ, вершина 0'(3, 2), вектор оси 0'Х, направленный в сторону вогнутости параболы, равен (-2, — 1); г) гипербола с центром 0'(-1, 1), асимптоты параллельны осям координат; д) пара нересекаюшихся прямых х — у — 1 = О, х — 4у + 2 = 0; е) пара параллельных прямых 2х — Зу+ 1 = О, 2х — Зу — 2 = О.
Глава Ф МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 51. Матрицы 1.1. Терминология и обозначения лготрицей А размера гп х и называется набор гл и чисел — элементов матрицы аг (1= 1,...,гл;,у =1,...,н), записанных в виде прямоугольной таблицы или а~~ ан ... аы аз~ агг . аъ а«н атз ° ° а « Символ а; читается так: «альфа-и-жис« Набор син сны..., аы (1 = 1,..., гл) называется 1-й строкой матрицы А: а набор ацп азр, .., а„,з (у = 1,..., и) называется .1-м столбцом матрицы А: Таким образом, данная матрица А имеет гп строк и и столбцов, а элемент а; расположен в 1-й строке и в у-м столбце матрицы А — в позиции (з, у) (рис.
1). Числа 1 и у Глене йй Матрмвь Онреденнтеян. Линейные снстенм 76 определяютрасположение элемента ат в матрице А и являются как бы координатами этого элемента в прямоугольной таблице А, Если размер матрицы известен, то часто пишут кратко А=(а;). Матрица размера 1 х и называется просто строкой, а матрица размера пт х 1 — спюлйцом. В случае ш = и матрица т а~~ ац ... ат» А т" 21 а22 ° ° ат» а»! а»2 .
° а»» называется квадратной матрицей порядка и. В частности, квалрат ной магри ней первого порядка является однозлементная матрица А = (а„). Набор элементов Рнс. ! (2) называется единичной. Пбдчеркнем, что для каждого размера тп х и сушествует своя нулевая матрица, а для каждого числа и — своя единичная матрица порядка и. Множество всех матриц размера пт х и часто обозначают через И,„„„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
