Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ь Глав и1. Кровов и ясайьхпсстя атсрсгс псряяга 94. Гипербола Гиперболой называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной системе координат Оху имеет вид хз 02 — — — =1 а Ь 2 где а > О, Ь > О. Система координат Охр, в которой уравнение гиперболы имеет вид (1), называется канонической (для данной гиперболы); само уравнение (1) называется каноническим у1вовненоем гиперболы. Свойства гиперболы 1. Гипербола (1) лежит вне полосы (а( < а, ~ Это вытекает из того, что если точка М(х, р) лежит на гиперболе, то 2 2 — =1+ — >1 а2 Ь2 и, значит, 1х~ > а (рис.
15). М Точки (ха, О) называются вершинимигиперболы. 2. Гипербола (1) лежите вертикальных углах, образованных прямыми у = ~-,х и содержапьих точки ь оси Ох (рис.16). Рпс. Г5 ° а Из неравенства х' у' — >— аз Ь2 вытекает, что если точка М(х, у) лежит на гиперболе (1), то Ь Ь3 < -!х) ~ а Таким образом, гипербола состоит из двух частей — ветвей гиперболы, левоо и прпвоо. Прямые х ф х ф — + — =0 и — — — =0 а Ь а Ь называются всимптотами гиперболы. Рпс,!б 3.
На гиперболе лежат точки, сколь угодно далекие от начала координат О(0, О). < Пусть, например, точка М(х, у) лежит на гиперболе (1) и 1у! = п, где и — произ- вольное положительное число (рис. 17). Тогда $4. Гипербола ба у2 о а 1х( = а~/1+ — > — (у( = — и Ь2 Ь Ь у) Х/х2+у' > (х( + 1у! а + Ь > и —.
в 2 2Ь Возьмем в первой четверти две точки: точку гиперболы ( 1) и точкуееасимптоты —,* — Ь = 0 с одинаковой абсписсой х>а— Рис. 17 соответственно — и вычислим расстояние между ними. Имеем 21(М 117) (х З/х2 а2 ) а умножив и разделив полученное выражение на сумму х + 1Г'Х2 — а' И ПерЕйдя затем к прсделу при х — +со, получим аЬ ф(М,Х) = — О. х+ т/хт — а2 Тем самым, установлен следующий факт. 4. Если текущая точка асимптоты неограниченно удаляется от начала координат, т.е. (х( - +со, то на гиперболе можно указать соответствующую ей точку так, чтобы расстояние между ними стремилось к нулю (рис.
18). Рис, 18 Верно и обратное. Б. Если текущая точка М(х, у) гиперболы неограниченно удаляется от точки О(0, 0), т. е. х'+ у' — со, тоеерасстояниедо одной изпрямых (- а у х у — + — =О, — — — =0 в Ь ' а Ь стремится к нулю. 6. Оси канонической координатной систе- (-х мы являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее нентром симметрии(рис.19). уо) 2. Гипербола есть м ножество точек, абсолютная величина разности расстояний от которыхдо двухданныхточек (фокусов гиперболы) постоянна (равна заданному числу). Координатные оси канонической сисРис.
19 темы — единственные оси симметрии гиперболы. Положим с = ь/а2+ Ь2. Ясно, что с > О. Точки (-с,О) и (с,О) называются фокусами гиперболой 2с — фокусное рассн2ояние. Ю Ф Ф Гопко Ш. Крнпмо и попоркности второго порядка м 22оказательство этого свойства проводится так же, как и доказательство свойства 4 эллипса. Покажем, например, что каждая точка гиперболы обладает указанным свой- ством. Если М(х, у) — точка гиперболы (1), то расстояния от нее до фокусов соответ- ственноравны (рис. 20).
Так как > 1, то если х > а, если х < -а Отсюда нетрудно вычислить, что 2а, -2а, если х > а, если х < -а, и, значит, Число называется эксцеялгрисиягетом гиперболы (1). Ясно, что е > 1. Прямые называются директрисами гиперболы (рис. 21). У каждой гиперболы две директрисы†левая и правая. Рис. 20 Рис. 2Г Практически так же, к а к и дл я эллипса, доказывается следующий факт. с а+ — х, а с -а — — х, а П с - х, если х > а, а с — х, если х < -а.
а $ В. Парабола 8, Гипербола есть множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки (фокуса гиперболы) и до данной прямой (одноименной с фокусом директрисы) постоянно (равно зкспентриситету гиперболы) (рис. 22). Гипербола (2) — — — = -1 аз Ьз называется сопряженной гиперболе (1). Взаимное расположение гипербол (1) и (2) указано на рис. 23. Рис. 23 Рис. 22 95.
Парабола Параболой называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Оку имеетвид у = 2ра, где р > 0 (рис.24). Система координат Оку, в которой уравнение параболы имеет вид (1), называется каноныческон (для данной параболы); уравнение (1) называется каноническимуравненнем параболы. Свойства параболы 1.
Всеточкипараболылежатвправой полуплоскости: е > О Р„, 24 (рис. 25). Точка 0(0, О) лежит на параболе и называется ее вершиной. 2. Напараболележатточки,скольугоднодалекорасположенныеотначалакоординат 0(0, О). 3. Ось абсписс канонической координатной системы является (единственной) осью симметрии параболы (рис. 26). Ось симметрии параболы называется осью параболы. Число р называется фокальныы параметроы параболы; точка Я, 0) — фокус параболы; прямая а = -у— днрекшриса параболы. $ В. Оюояежоо ооойотоо оряоих отроге порохов Пусть Мо(хо, Уо) — точка эллипса Предположимдляопределенности,чтоточка Мо лежитв первойчетверти,т.е.
хо > О, уо > О. Тогда часть эллипса, лежашую в первой четверти, можно описать уравнением Пользуясь формулой (1), получаем уравнение касательной к эллипсу в точке Мо хоЬ у — уо = — (х — хо), а так как точка (хо, уо) лежит на эллипсе, то и, значит, хоЬ У вЂ” Уо = — —, (х — хо). а Уо Полученное соотношение после несложных преобразований можно записать так: ххо Ууо хо Уо / 2 — + — -~ — + — ~=О.
а2 Ьз ~а2 Ь2~ Отсюда с учетом тождества приходим к уравнению ххо Ууо — + — =1 а2 Ь2 Рис 28 (рис. 28). Полученное соотношение является уравпепыем касательной к эллипсу, проходящей через его точку (хо, уо), и в обшем случае ее произвольного расположения, т.е. прилюбыхзнакаххо и уо. . Уравнение касательной к гиперболе выводится аналогично и имеет следуюший вид ххо Ууо — — — = 1. а2 Ь2 Подчеркнем, что точка (хо, уо) лежит на гиперболе. хо Уо 2 2 — + — =! а2 Ь2 2 2 — + — = 1.
а2 Ь2 2 У=ЬУ1 — —, а2 хо 2 Уо = Ь~/ ! а2 ' Глава П!. Кривив и пнархноонг отроге пфщка 6.2. Касательные к параболе Если кривая задана уравнением ' = У(у) то уравнение касательной к ней, прокодягдей через точку (хо, уо), гле хо = у(уо), можно записать в следующем виде х — хо — — у'(уо) (У вЂ” уо) (1) Пусть Мо(хо, уо) — точка параболы.
Пользуясь формулой (!), 2!оду чаем уравнение когошельноб к параболе х — хо = — (у- уо) Уо р или Ууо — Уо+Рхо — Рх = 0 2 Отсюда в силу равенства уо — — 2рхо приходим к уравнению касательной вида 2 Ууо = Р(х+ хо). Замвчаиив. Сопоставляя канонические уравнения зллипса, гиперболы и параболы с уравнениями касательных катим кривым, нетрудно заметитычтодля получения последних не требуется специальных вычислений. В самом деле, заменяя р на ррв, а х на ххс (в слуыс параболы 2х нужно заменить 2 2 на х + хв). приходим к уравнению соответствуюшей касательной.
Вше раз отметим, что сказанное справедливо лишь в том случае, когда точка (ха, ре) лежит на кривой. 6.3. Оптическое свойство эллипса Пусть Мо — произвольная точка эллипса .2 2 — + — = !. а2 д2 Как уже отмечалось, расстояния от нее до фокусов Гл и Ä— фокальные радиусы— рави ы соответстве н но рл = (ехо+ а), рп сл )ехо — а!.
Проведем через точку Мо касательную к эллипсу, эхо ууо — + — =1 аз дз и вычислим, на каком расстоянии от этой касательной лежат фокусы Рл( — с,о) и Г„(с, О) (напомним, что для этого следует воспользоваться формулой (10) из $11.!). Имеем соответственно где )Е ас угч г ч — нормирующий м ножитель (рис. 29) Нетрудна проверить, что 'ьа гзп Р. Ря 56. ситес«сов свойство вривив второго вор«я«в В самом деле, гс, Ф ~ «а+ 1! р (ехо+а( р А„Ф~ «Р 1~,и р«1ехо + а( а (ехо + а( а ' р„)ехо — а) а Обратившись к рис.29, заметим, что вычисленные отношения равны синусам углов, образованных касательной и факельными радиусами точки касания. Из того, что синусы этих углов равны, вытекает равенство и самих углов.
Тем самым доказано оптическое свойство эллипса: касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами точки касания. Это свойство называется оптическим по следуюшей причине: если поместить в один из фокусов эллипса с зеркальной «поверхностью» точечный источник Рис, 29 света, то все лучи после отражения от «поверхности» эллипса сойдутся в другом его фокусе (рис. 30).
Рис. 31 Рис. 32 Рис. ЗО 6.4. Оптическое свойство гиперболы Устанавливается аналогичными выкладками и заключается в следующем. Если поместитьводинизфокусовгиперболы точечный источниксвета,то каждый луч после отражения от зеркальной «поверхности» гиперболы видится исходяшим из другого фокуса (рис. 31). б.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
