Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Например, при и =1, Ь = >. г => имеем ([1, >[, Я = [к,й = -1, [1, (1, Я[ = [1 0[ = в. 57. Смешанное произведение векторов Пусть имеем три вектора и, 1> и с. Перемножим векторы и и Ь векторно. В результате получим вектор [и, 1>[. Ум ножны его скалярно на вектор с: ([и, Ь[, с). Число ([а, Ь[, с) называется смешанным произведением векторов н, Ь, с и обозначается символом (и, Ь, с).
7.1. Геометрический смысл смешанного проиэведение Отложим векторы и, Ь и с отобшей точки О (рис. 37). Если все четыре точки О, А, В, С лежат в одной плоскости (векторы и, Ь и с называются в этом случае колгппапарпами), то смешанное произведение ([и, Ь[, с) = О. Это следует из того, что вектор [и, Ь[ перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и и Ь, а значит, и вектору с. ЕслижеточкиО, А, В,Снележатводнойплоскости (векторы н, Ь и с некомпланарны), построим на ребрах ОА, ОВ и ОС параллелепипед (рис.
38 а). По определению векторного произведения имеем [н,Ь[= Я с, рис. зт где Я вЂ” площадь параллелограмма ОАОВ, а с — единичный вектор, перпендикулярный векторам и и1> и такой, что тройка и, Ь, с — правая, т.е. векторы а, Ь и с расположены соответственно как большой, указательный и средний пальпы правой Глввв 1. Элемента векторной амеб»м руки (рис. 33 б). Умножая обе части последнего равенства справа скалярно на вектор с, получаем, что Число рг«с равно высоте Ь построенного параллелепипеда, взятого со знаком «+», если угол у между векторами с и с острый (тройка а, Ь, с — правая), и со знаком «-», если угол 1> — тупой (тройка а, 1>, с — левая), так что О а Тем самым, смешанное произведение векторов а, Ь и с равно объему $~ параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, если тройка и, Ь, с — правая, и — и, если тройка а, 1>, с — левая.
Ь ес',, " Исходя из геометрического смысла сме- >с ., " ~у рфн«' шанного произведения, можно заключить, е е . -:Ф>«и ' что, перемножая те же векторы а, 1> и с в любом другом порядке, мы всегда будем О получать либо +тт, либо — У. Знак произ- Рис. 38 ведения будет зависеть лишь от того, какую тройку образуют перемножаемые векторы — правую или левую. Если векторы а, 1>, с образуют правую тройку, то правыми будут такжетройки Ь, с, а и с, а, Ь.
В тоже время всетри тройки Ь, и, с; а, с, Ьи с, Ь, и — левые. Тем самым, (а,Ь,с) =(Ь,с, а) =(с,п,Ь) = -(1>,а,с) = — (а,с,Ь) = -(с,Ь,п). Еше раз подчеркнем, что смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы а, Ь, с компланарны: 7.2. Смешанное произведение в координатах Пусть векторы а, 1>, с заданы своими координатами в базисе 1, ), 1>: а = (ям ума~), Ь= (хмуг,лг) с =(*з,уз,лз). Найдем выражение для их смешанного произведения (а, 1>, с). Имеем ) й [а, Ь[ = а> у> л~ = 1(у~лг — Угл>) +з(хгл> — хтлг) + $>(х>уг — агу>). Уг Откуда аз Уз лз $7. Смеханнее евонных»даем аекщреа Итак, — смешанное произведение векторов, заданных с вон ми координатами в базисе 1, ), !1, равно определителю третьего порядка, строки которого составлены соответственно из координат первого, второго и третьего из перемножаемых векторов.
необходимое и достаточное условие компланарности векторов а = (х1, У1, л»), Ь = (хз, уь л!), с = (хз уз лз) запишетсявследующем виде х! у! л, х! уз лз = О. хз Уз лз Прямей. Проверить, кемлланарны лн векторы а=(7,4,6). Ь=(2,1,!), е=(!9, !1,17). ч Рассматриваемые векторы будут комлланернм нлн некемлланарны а зависимости от таге, будет равен нулю нян нет определитель 7 4 6) Г»=, 2 1 !1.
(19 !1 17 Разлагая его ло зламентам первой етракн, получим Г» = 7 6 — 4 ! 5 + 6 ° 3 = О ~ лекторы а, Ь, е комлланарны. М 7.3. Двойное векторное произведение Двойное векторное произведение (а, (Ь, с1) представляет собой вектор, перпендикулярныйй к векторам а и [Ь, с) . Поэтому он лежит в плоскости векторов Ь и с и может быть разложен по этим векторам.
Можно показать, что справедлива формула Упражнения 1. Три вектора АВ кк е, ВС = а и СА = Ь служат сторонами треугольника. Выразить через а, Ь и е векторы, совпадающие с медианами АМ, В!»Г, СР треугольника. 2. Каким условием должны быть связаны векторы р и г), чтобы вектор р+ к! делил угол между ними пополам? Предполагается, что все три вектора отнесены к общему началу. 3. Вычислите длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а = 5р+ 2»! и Ь = р — 3»1, если известно, что )р) = 2»Г2, )»!) = 3 и (!»,»1) = 4. 4. Обозначив через а и Ь стороны ромба, выходящие из общей вершины, докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
6. Вычислите скалярное произведение векторов а = 4! + 73 + ЗЬ и Ь = 31 — 53 + 1». 6. Найдите единичный вектор ае, параллельный вектору а = (6, 7, -6). 7. Найдите проекцию вектора а = !+3 — й навекторЬ = 2! — З вЂ” Зк. 6. НайдитекосинусугламеждувекторамиАВиАС,еслиА(-4,0,4),В( — 1,6,7),С(1,!0,9). 9. Найдите единичный вектор ре, одновременно перпендикулярный вектору а = (3, 6, 8) и оси Ох. 1О. Вычислите синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а = 2!+) — К, Ь = ! — 33+ 1» как на сторонах.
Глава б Элементы вмгторноб алгебры 11. Вычислите высоту Ь параллелепипеда, построенного на векторах а = 31 + 23 — 5Ь, Ь = 1-2+ 42« и с = $ — 3)+ Ь, если за основание взят параллелограмм, построетнтый на векторах а и Ь. Ответы 1. А.."«Г = с + -' или АЯ = "=ь; Вт«' = а + '-' или ВУ = "=', Сгт = Ь+ «2 или «'У = — "'. 2. ~14 = )41(, т. к. диагональ параллелограмма делит его угол пополам липть в случае, когда параллелограмм является ромбом. Э Га+Ь( = 35, (а — Ы = т/593.
$, -20. 6 а = (Д, т,, —,В ) или а = (- —,',, В, В— г 2. 7. ргь а = т-. В. соз р = 1, 43 = О. 9. р = а т О, --,, Ц. 10, вгп ут = В Г 4 3 7НВ 2243 44 т;г 22 ' 1 !' Ь «4323 ' Глава П ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ 51. Прямая на плоскости ргьс Ой! = (г, и ), перепишем уравнение (1) в следующем виде [л ~-р=Оз (2) Уравнение (2) называется нормальным (нормированнын) уравнением прямой в векторной форме. Радиус-вектор г произвольной точки прямой называется текуи!ил! радиусом-вектором прямой. Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат, поместив ее начало в точку О. Тогда векторы п и г можно записать так и = (сов !р,51П у!), !'= (х, у) (рис. 2), и уравнение (2) примет вид Рис.
2 (3) Зто нормальное уравнение прямой в координатной форме. 1.1. Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой Зафиксируем на плоскости некоторую точку О. По- М ложение произвольно взятой прямой 7, на плоскости будет вполне определено, если задать следующие ве- Т личины: расстояние до нее от начальной точки О, т. е. длину р отрезка ОТ перпендикуляра, опущенно- е го из точки О на эту прямую, и единичный вектор пь, 1п ( = 1, перпендикулярный прямой Т и направленный из начальной точки О к этой прямой (рис. 1).
О Когда текущая точка М движется по прямой Е, Рис. ! ее радиус-вектор г меняется так, чтобы Г:=Л рг„с ОМ = р. (1) Соотношение (1) выполняется для каждой точки прямой 7, и нарушается„есл иточка М лежит вне этой прямой. Тем самым, равенство (1) выражает свойство, присущее всем точкам прямой 7, и только им. Иными словами, оно является уравнением этой прямой. Замечая, что Глава 11.
Прямая и. мьеевсть Относительно переменных к и у уравнение (3) является уравнением первой степени. Тем самым, в прямоугольной декартовой системе координат всякая прямая на плоскости определяется уравнениеч первой степени относительно переменных к и у. Верно и обратное: всякое уравнение первой степени относительно переменных к и у определяет на плоскости прямую. щ В самом деле, возьмем уравнение первой степени общего вида относительно пере- менных к и у (4) Умножим каждый член уравнения (4) на один и тот же постоянный множитель р, рАк+ рВу+ рС = О, (5) и подберем множитель р так, чтобы уравнение (5) оказалось нормальным уравнением. Для этого достаточно положить рА =сох р, рВ =31п1ь, рС= — р.
(6) Из формул (6) находим р(А +В)=1, откуда ! , /Аз ч Вз' (7) Из условия рс=-р вытекает, что в формуле (7) надо брать знак, противоположный знаку свободного члена С. Подставив полученное значение р в равенства (6), найдем сох 1о, яп р и р и, тем самым, преобразуем уравнение (4) к нормальному виду. Так как нормальное уравнение определяет прямую, то и уравнение (4) определяет прямую. ь Множитель р, выбираемый по указанному правилу, называют нормируюн1им множителем для данного уравнения прямой. Уравнение (4) называется общим уравнением прямой на плоскости, Итак, всякое уравнение первой степени относительно переменных х и у определяет прямую как множество точек М плоскости, декартовы координаты х и у которых удовлетворяют этому уравнению.
Условичся называть нормальнылг вектором прямой В п=(А, В) всякий ненулевой(необязательноединичный) вектор,перпендикулярный этой прячой. Из приведенных выше рассуждений следует, что вектор г Лх+'Ву+С =О и = (А, В) будет нормальным вектором прямой, заданной уравнением (4). Рис 3 Таким образом, коэффипиенты А и В при текущих координатах х и у в общем уравнении прямой (4) имеют простой геометрический смысл: они являются координатами норчального вектора н = (А, В) этой прямой (рис. 3). Все другие нормальные векторы прямой можно получить, умножая вектор п на произвольное не равное нулю число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
