Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Оптическое свойство параболы Если в фокус параболы помешен точечный источник света, то все лучи, отраженные от зеркальной «поверхности» параболы, будут направлены параллельно оси параболы (рис. 32). Гпкпп Н|. Крппие и пеперккьетп птпрвгь порядка 97. Классификация кривых второго порядка 7.1. Ьйногочлены второй степени нв плоскости Теорема Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оху и пусть у(х,у) = ахз+2Ьху+су +24х+ 2еу+д (а +Ь +с > 0) (1) — многочлгн второй степени от переменных х и у.
Тогда на плоскости можно построить прямоугольную декартову систему координат О ХУ так, что после замены переменных х и у на переменные Х и У исходи ми многочлен з (х, у) приведетсл к многочлену Ь'(Х, У) одного из следующих трех водою 1. АХ +ВУ +С, А ° В~О; 11. ВУ~+2ЮХ, В .0 ~ О; Н!. ВУ +Е, В Ф О. ч 1-й швг.
Поворотом координатных осей на подходящим образом выбранный угол всегда можно добиться того, чтобы коэффиниент при произведении разноименных координат обратился в нуль. Пусть Ь ~ О (при Ь = О этот шаг не нужен). Повернем оси координат вокругточки О. Эта о не ранна описывается следующими формулами / х=х соыр — у ь1пр, (2) у = х 5!и|У+ у соььз. Рие ЗЗ При этом координатные оси исходной системы Оху поворачиваются на угол у (рис.
33). Заменим переменные х и у в формуле (1) их выражениями (2) через х' и у' и вычислим коэффиниент 2Ь' при произведении х'у . Он равен 2( — аь1пусоь1о+Ь(соьз~р — яп у)+сь1пусоь1р) = (с — а) яп 2|о+ 2Ьсоь2|о и обращается в нуль, если а — с с|я 2чт = —. 2Ь Так как получен нос уравнение разрешимо относительно р, то указанным преобразованием всегда можно добиться обращения в нуль нужного коэффициента. Приступая ко второму этапу преобразования, будем считать, что исходный много- член у(х, у) уже имеет вид у(х, у) = ах~ + су + 2дх + 2еу + д, где а + с > О. 2(ля определенности положим с Ф О (это не ограничиваетобщности наших рассуждений, так как заменой х и у в случае необходимости этого всегла можно добиться).
в 7. каассваюацю орвана вторив аорвлва В1 2.й шаг. Переносом начала координат можно достичь дал ьнейшего упрошения вида многочлена 7(х, у). Эта операция описывается следую- шими формулами: Х=х+а, У=у+!31 (3) координатные оси новой системы О'ХУ получаются из координатных осей исходной системы Оху параллельным переносом в точку (-42, -!3) (рис. 34). Укажем конкретные значения а и )3. Возможны три случая !.
а ~ О, с Ф О. Тогда, полагая Рис, За е Р=- с а=-, а получаем 42 е2 где А = а, В = с, С = д — — — —. а е' й, а = О, е! Ф О. Тогда, полагая а= — д —— е 23=-, с получаем,что где В = с, Р = е!. и1, а = «Г = О. Тогда, полагая е а=б, !3сс —, получаем, что где В = с, В = д — — ', . ш Рассмотрим каждый из трех полученных выше случаев 1, И, И отдельно. 1.АХ +ВУ2+С=О,А ВФО. Э, А В > О. Домножением обеих частей уравнения на — 1 и заменой Х на У, а У на Х (вслучае необходимости) всегда можнодобиться того, чтобы В > А > О. 7.2.
Канонические уравнения кривых второго порядка Если многочлен второй степени Р(Х, У) приравнять к нулю, то получим уравнение линии второго порядка Глава 01. Кривые и аоааркиостн аторыо порядка В2 1. С < О. Полагая С а =- —, А' г С Ь = — —, В' получим эллинов 2. С > О.
Полагая 2 С 2 С ахе —, Ь= —, А' В получим (мнимый эллиггс) ". На действительной плоскости нет ни одной точки (Х, у ), координаты которой обращали бы это уравнение в тождество. 3. С = О. Полагая 1 Ь = —, В' получим Точка (О, 0) является единственной точкой плоскости, координаты которой удовлетворяют этому уравнению; точку (О, 0) можно мыслить как действительную точку пересечения двухмнимых пересекающихся прямых ~. Г, А В < О.
Домножением обеих частей уравненияизп.1на — 1и заменой Х на 2', а У гга Х (в случае необходимости) всегда можно добиться того, чтобы А > О, В < О, С<0. 1. С < О. Полагая с с а=- —, Ь= —, А' В' получим гиперболу— 2. С = О. Полагая г 1 г аее —, Ь= — —, А' В получим Х' — — — =0 о2 Ь2 — пару пересекающихся прямых. 2 Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением эллипса. зз Название можно объяснить некоторым сходством этого ура ыгени я с уравнением пары пересекающихся прямых. ВЗ $7. ялвссифиввция вриияв второго порадел (!.ВУ'+гРХ=О,В Р~О.
Всегда можно добиться того, чтобы В Р < О (заменив, в случае необходимости, Х на — Х). Полагая Р р= — — > О, В получим параболу !П, ВУ' + Е = О, В ~ О. Можно считать, что В > О. 1. Е < О. Полагая Е с = — —, В' получим — пару параллельных прямых. 2. Е > О. Полагая Е с =-, В' получим На действительной плоскости нет ни одной точки, координаты которой обрашали бы это уравнение (пары мнггмыхпартиглельныхпрямых) т в тождество. 3.
В = О. Тогда х"~=Π— пара совпадаюи(ггх прямых. Чтобы определить тип кривой второго порядка, не обязательно проводить все указанные выше преобразования. Достаточно вычислить знаки некоторых выражений, составленных изкоэффиииентовуравнения. Пусть — уравнение линии второго порядка. Введем следуюшне обозначения а Ь т( Р=, Ь= Ь с е Ь с т( е д Числа Р и (л не зависят от выбора системы координат на плоскости и называются инварианпгами.
Из приводимой таблииы видно, какому сочетанию знаков определителей Р и тд соответствует та или иная линия второго порядка. Задача, Убедитесь в том, что Р и (э при рвссмотреннь|х преобразованиях системы координат действительно остяк(ток неизменньвки. т) Ивзввнис можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с урввненнси пары параллельных «пямых, Глава! И. Прнвна н повврвноотн второго порвана $9.
Некоторые массы поворместай 98. Поверхности второго порядка Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Охух. Множество точек пространства, координаты х, у и х которых удовлетворяют равенству Р(х,у,х) = О, называется поверхностью; равенство (*) пазы вается уравнением этой поверх ногти. Припер, с +р 4-4 -с =0 (е>0) — уравнение сферы радиуса о с центраи о точке (0,0, 0) <рио. За). Ь Рпс 35 Рассмотрим многочлен второй степени от трех переменных х, у и х Р(х,у, х) кв апх +2аыху+2аыхх+ атту'+ 2 +2аыус+аззс +2а24х+2а„у+азкх+а44 = О, 2 2 2 2 2 2 ап+ а,2+а„+ аж+ аз, +азу) О. Уравнение Р(х,у,х) =О будем называть уравнением поверхности второго порядка.
Исследование обшего уравнения поверхностей второго порядка оказывается значительно болеее сложным, чем исследование обшего уравнения кривых второго порядка, требуетразработкисоответствуюшегоматематическогоаппаратаи будетпроведено вконце главы Ч!. В оставшихся параграфах этой главы мы сначала остановимся на изучении геометрических свойств некоторых важных классов общих поверхностей; затем используем их для рассмотрения канонических уравнений основных поверхностей второго порядка и исследования структуры этих поверхностей.
99. Некоторые классы поверхностей 9.1. Поверхности вращения Рассмотрим на плоскости Охх кривую 7, заданную уравнением х = 2(х), х > О (рис.Зб). При врашении кривой 7 вокруг оси Ох она будет заметать некоторую поверхность, называемую поверхностью враи4еттия (рис. 37). Найдем уравнение этой поверхности, т. е. равенство, которому должны удовлетворять координаты точек построенной поверхности и только они.
т Зок. 750 Гяааа <В. Красна я яааартяастя второго варавва Рис. 36 Рис. 37 Пусть Мс(хш ас) — произвольная точка кривой 7. При врашении кривой у вокруг оси Ох точка Мь будет описывать окружность, радиус которой равен ее абсииссе хс (рис. 38), Уравнение этой окружности имеет вид х+у =хс. 3 2 Тем самым, координаты х, у и ас любой точки М этой окружности связаны следую шим равенством О, г„) Ряс.
38 В силу произвольности выбора точки Мс на кри- вой у искомое уравнение полученной поверхности врашения имеет вид 9.2. Цилиндрические поверхности Через кажлую точку некоторой заданной крн- 1с вой 7 проведем прямую 1 параллельно заданной прямой 1с. Множество точек, лежаших на так построенных прямых, назовем цилондроческойловерхносгяью (рис. 39); кривая 7 называется налравллюо<ей цилиндрической поверхности, а прямая 1 — ее образуюи<ей.
Найдем уравнение, описываюшее нилиндрическую поверхность. Возьмем произвольную точку О и проведем через нее плоскость П, перпендикулярную образуюшей 1. Построим в пространстве прямоугольную координатную систему Охуа, взяв за ось Оа прямую, перпендикулярную плоскости П. Тогда плоскость П будет координатной плоскостью Оху (рис. 40). Плоскость П пересекает пилиндрическую поверхность по направляюшей ус. Пусть Ряс.
39 Р(х,у) = 0 бт 3 9. Нмюторые классы лоаермюстей — уравнение этой направляюшей. Убедимся в том, что последнее соотношение можно считать уравнением искомой пилиндрической поверхности. м В самом деле, пусть (х, у, г) — точка пилиндрической поверхности (рис. 41). Тогда точка (х, у, 0) лежит на 7о и, значит, удовлетворяет уравнению е(х, у) = О.
Но координаты точки (х, у, г) также обращают это уравнение в тождество. Последнее обстоятельство и позволяет считать соотношение Е(х,у) =0 искомым уравнением. Ь ,г) , 0) Рис.4( Рнс. 40 Пример. Введем в пространстве прямоугольные декартовы координаты Олух. Соотношение ут — + — = ( ,тт ьт является уравнением цилиндрической поверхности (аллилти еского иихмшию) (рис. 42). м Замечание. Уравнение Р(у,х) = О описывает пилиндричсскуюловерхностьсобрвзуюгдей, параллельной координатной оси Оа, а уравнение Р(а,х) =Π— нилинлрическую поверхность с обратуюшсй, параллельной оси Оу. Рис. 42 9.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
