Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 6
Текст из файла (страница 6)
$1. Примы ии ииисискзи Отметим два интересных частных случая. а) Если В ~ О, то, положив А С я= — —, ь=- —, В В получим уравнение прямой с угловым коэффициентом у сках+6 (рис.4). б) Если АВС эе О, то, положив С А' С Ь= — —, В' получим уравнениепрямой в отрезках х — + — =! а Ь (рис. 5). Рис. 4 Рис. 5 заданную точку перпендикулярно вектору и = (А,В), проведем радиус-вектор г = (х, у) в произвольную точку М этой прямой. Вектор М4Я = г — гс Рис. 6 и (рис.б).
Поэтому их ска- лежит на прямой В и, значит, перпендикулярен вектору лярное произведение равно нулю (8) (г — гс,п) =О. 'г Зик. 750 1.2. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через перпендикулярно заданному направлению Для того, чтобы найти уравнение прямой м, проходящей через точку Мс, заданную радиус-вектором го = (хо уо), зв Гвввв И. Првмввд вввввость Равенство (8) справедливо для всех точек М прямой Ь и нарушается, если точка М не принадлежит этой прямой. Тем самым, уравнение (8) является векторным уравнением искомой прямой.
Выражая скалярноепроизведение векторов г — гв и и через их координаты, получим уравнение этой же прямой Х в координатной форме 1.3. Расстояние от точки до прямой на плоскости Расстояннем от точки М' до прямой Ь называется длина отрезка М"зт' перпендикуляра Х~, опушенного из точки М' на эту прямую (рис. 7). Пусть М'(х', у*) — заданная точка и х со5 Р + у 5Ь 5о — р = Π— нормальное уравнение прямой Ь. Тогда расстояние от точки М' до прямой Ь можно вычислить по формуле Рис.
3 Рис. 7 и Пусть г — радиус-вектор произвольной точки М прямой Ь (рис, 8). Тогда выпол- нено равенство (г,п)=р. Обозначимчерезве радиус-векторточки М'. Разность (г",и ) — р равна проекции вектора г' — г на ось Ь~, определяемую вектором и: (г', и ) — р = (г', п ) — (г, п ) = (в" — г, п ) = ргс~(г' — г). Взяв разность (г*, пс) — р по абсолютной величине, получим, что )(г*, и') — р) = д(М*, Т,), или, в координатах, а(М, .ь) = )х со5 55+ у 5ш Р р). И Если прямая Х задана обшим уравнением Ах+ Ву+ С = О, то расстояние от точки М* до этой прямой вычисляется по формуле $2, Пяоекьазь <1О) 1.4.
Угол между двумя прямыми Пусть 1 ~ и Ьз — две прямые, заданные уравнениями А~х+ В~у+ С, = О, А~~+ В, > О, Азя+Взу+Сз = О, Ат+Вз > О соответственно. Угол р между прямыми Х1 и Вз равен углу между нормальными векторами пз = (Ан В~) и па = (Аъ Вз) этих прямых (рис.9). Отсюда вытекает,что Рис 9 1.5.
Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости В случае перпендикулярности прямых хч и Вз их нормальные векторы также перпендикулярны, т.е. справедливо равенство — условие перпендикулярности прямых. 1.6. Условие параллельности двух прямых на плоскости В случае параллельности прямых Е1 и Ез их нормальные векторы коллинеарны, т. е. справедливо равенство п~ = Лпа.
Переходя к координатам этих векторов, получаем, что А~ =ЛАн В, =ЛВн или — условие параллельности прямых. 5 2. Плоскость К рассмотрению свойств плоскости можно подойти совершено аналогично. 2.1. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости Зафиксируем в пространстве некоторую точку О. Положение плоскости П в пространстве будет вполне определено, если задать следуюшие величины: расстояние до нее от начальной точки О, т.е. длину р отрезка ОТ перпендикуляра, опушенного из точки О на плоскость П, н единичный вектор п, ~п~! = 1, перпендикулярный плоскости П и направленный из начальной точки О к этой плоскости (рис.! О).
Гяааа В. Приааа а аяооеоось Когда текущая точка М движется по плоскости П, ее радиус-вектор г меняется так, что ргяс ОЯ = р. (1) Соотношение (!) выполняется для каждой точки плоскости П и нарушается, если точка М лежит вне этой плоскости, Тем самым, равенство (!) выражает свойство, присушее всем точкам плоскости П и только им. Иными словами, (!) является уравнением этой плоскости. Замечая, что Рис. !О рг„с ОМ = (г, по), перепишем уравнение (1) в следуюшем виде (г, и ) — р = О. (2) Уравнение (2) называется нормальным (нормированным) уравнением плоскости в векторной форме.
Радиус-вектор г произвольной точки плоскости называется ее текущим радиус-вектором. Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат, поместив ее начало в точку О. Тогда векторы п и г можно записать так и =(созга,соз,б,со57), г=(х У ху. П р и этом уравнение (2) примет следуюший вид (3) Это нормальное уравнение плоскости в координатной форме. Особенности нормального уравнения плоскости (3): ! ) сумма квадратов коэффициентов при текуших координатах равна 1, со5 гг+ со5 )5+со5 7 = 1; 2 2 2 2) свободный член (-р) неположителен, Относительно переменных х, у и х уравнение (3) является уравнением первой степени, так что в прямоугольной декартовой системе координат всякая плоскость определяется уравнением первой степени относительно текуших координат х, у и а. Верно и обратное утверждение: всякое уравнение первой степени относительно переменных х, у и х определяет плоскость, м В самом деле, возьмем уравнение первой степени обшего вида относительно переменных х, у и х (4) Умножим каждый член уравнения (4) на один и тот же постоянный множитель р, гьАх + рВу+ рСх + рВ = О, (5) 52.
Плссхсси зт и подберем е го так, чтобы уравнение (5) оказалось нормальным уравнением. Для этого достаточно положить (6) рА =сова, рВ = совр", рС = соа7, рР = -р. Из формул (6) находим ,в (А + В + С ) = 1, откуда ! р=ж сА .,'.В ус (7) Из условия рР=-р<0 вытекает, что в формуле (7) надо брать знак, противоположный знаку свободного члена Р. Подставив полученное значение и в равенство (6), найдем соз а, соз Д, сов 7 и р и, тем самым, преобразуем уравнение (4) к нормальному виду. Так как нормальное уравнение определяет плоскость, то и уравнение (4) также определяет плоскость.
и п = (А,В,С) будет нормальным вектором прямой, заданной уравнением (4). Таким образом, коэффициенты А, В и С при текуших координатах а, у и х в обшем уравнении плоскости (4) имеют простой геометрический смысл: они являются координатами нормального вектора и = (А, В, С) этой плоскости (рис.
11). Все другие нормальные векторы плоскости можно получить, умножая вектор и на произвольное не равное нулю число. -0 Рис, 12 Отметим интересный частныйслучай. Множитель р, выбираемый по указанному правилу, называют нормирующим мнолсинселем для данного уравнения плоскости. Уравнение (4) называется общим уровнением нлоскости. Итак, всякое уравнение первой степени относительно переменных а, у и л определяет плоскость как множество точек М пространства, декартовы координаты а, у и л которых удовлетворяют этому уравнению. Условимся называть всякий ненулевой (не обязательно единичный) вектор, перпендикулярный плоскости П, нормольнммвекнсором этой плоскости.
Из приведенных выше рассуждений следует, что вектор Гвиа В. Прюнаю и аюююююють Если АВСР ~ О, то, положив В О= —— А получим уравнение нласкасти в отрезках Ю Ь= — —, В' Ю с= --, С' ж р 3 †+ †+! а Ь с (рис. !2). 2.2. Уравнение плоскости„проходвщей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению Для того, чтобы найти уравнение плоскости П, проходящей через точку Мю, заданную радиус-вектором гю = (вю вю хю), перпендикулярно вектору и = (А,В,С), проведем радиус-вектор г = (к, у, в) в произвольнуюточку М этой плоскости. Век- тор Майю = г — гю лежит в плоскости П и, значит, перпендикулярен вектору и (рис.
!3). Поэтому их скалярное произведение равно нулю (г — гю, и) = О. (8) Рис.! 3 Рнс.!4 Равенство (8) справедливо лля всех точек М плоскости П и нарушается, если точка М этой плоскости не принадлежит. Тем самым, уравнение (8) яштется векторным уравнением искомой плоскости. Выражая скалярное произведение векторов г-гю и и через их координаты, получим уравнение этой же плоскости П в координатной форме А(в — хю)+В(р — рю)+ С(х — хю) =О (9) $2, паоаиеть зв 2.3.
Расстояние от точки до плоскости Расстоянием от точки М до плоскости П называется длина отрезка М Х перпендикуляра Х~, опушенного из точки М' на эту плоскость (рис. 14). Пусть М'(х*, у', х') — заданная точка и асака+усоз15+ хсо$7 — р = 0 — нормальное уравнение плоскости П. Тогда расстояние от точки М* до плоскости П можно вычислить по формуле Н =Н(М',П) =1а" сова+у'соз)5+а' сову — р~. и Пусть г — радиус-вектор произвольной точки М плоскости П.
Тогда выполнено равенство (г, па) = р. Обозначим через г' радиус-вектор точки М*. Разность (г',и ) — р равна проекции вектора г' — г на ось Вь, определяемую вектором па. (г', п ) — р = (г*, и ) — (г, п ) = (г' — г, па) = ргхь(г' — г). Взяв разность (г', и ) — р по абсолютной величине, получим, что 1(г,п ) — р~ = п(М',П) или, в координатах, в(М, П) = 1и соз а + у сов)5+ х соз 7 — р). Ь Если плоскость П задана обшим уравнением Ах + Ву+ Сх+ Р = О, то расстояние от точки М' до этой плоскости вычисляется по формуле (10) 2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
