Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 2
Текст из файла (страница 2)
! !). По теореме Пифагора !М М !2 !М М(2 + Р~М !2 Введение в аеавитичесл)ю щометрлю Так как расстояние И между точками М( и М) равно ллинс отрезка М М), а )М1 М) = (к) — ж1(,!ММ)( = (у) — у((, то отсюда получаем, что т( = )ж) *1( +!У) У1) ' Замечая, что )В) — з()' = (я) — к()' и )у) — у1)' = (у) — у()', и извлекая из обсихчастсй равснства квадратный корень, приходим к требуемой Формуле. ь Замечание. Расстонние межлу тачками м~(ко умз~) и мт(кт,умгт) в пространстве вычисляется по следующей формуле (покажите это).
Рис. 13 Рис. 12 Рис. 11 Задача!. Написать уравнение окружности рвдиуса г с центром в точке Р(а, 6). Ч Пусть М(к, у) — точка окружности (рис.12). Это означает, что )МР) = г. Заменим (МР) его выражением ~ н-~й 7 ь:и и возведем обе части полученного равенства в кввзсзат: (к — а) +(у — Ь) =.г . Это есть каноническое уравнение окружности радиуса г с центром в точке Р(а, Ь), и Задача 2. Пусть Р,(-с,о) и Р„(с, О) — фиксированные токи вюскости, а — заданное число (а > с ) О). Найти условие, которому удовлетворпот координаты к и у точки М, обладающей следующим свойством; сумма расстояний от точки М до Р) и до Р„равна 2а. а Вмчислим расстояния между точками М и Рт и между точками М и Р„. Имеем > и=уь ° Гпл > м=~~ — со ' (рис.
13). Отсюда ть чт и ~~*-:.~ ° и= ° Перенесем второй корень в правую часть ,(2 7+7= -Гь-7+7. Возводя обе части в квадрат, после простых преобразований получим У( — чт ° '-Р- ' С целью дальнейших упрощений вновь возводим обе части в квадрат. В резущтате Приходим к равенству (а — с')кт+ а'ут = а'(а — с ).
51. йрямоутолише декартовы аюрдинаты Полагая Ьг = а — с' и деля обе части последнего соотношения на а Ьг, получаем ураанение эллипса о х! — + — =1 кг Ьг !см. главу И!!. ь Б. Деление отрезка а данном отношении Пусть МЭ(хг, у!) и Мг(хг, уг) — различные точки плоскости. Пусть, далее, точка М(х, у) лежит на отрезке М!Мг и долит сто в отношении Л! . Лг, т с.
)мм) л ~ммг) л1 Трсбустся выразить координаты х и у этой точки через координаты коннов отрсзка МЭМ, и числа Л, и Л,. м Предположим сначала, что отрезок М!Мг нс параллелен оси ординат Оу (рис.!4). Тогда !МЭМ) !МЭ,М,( !ММг! !М,М„)' Так как )МгяМз! = !х! — х! и )Мямгх) =)х — хг), то из последних двух соотношений получаем,что !к л 2х )х! — х) Л! )х-хг! = Л,' Рис. 14 Точка М лежит между точками М! и Мг, поэтомулибо х! < х < хг, либо х! > х > хг. В любом из этих случасв разности х! — х и х — хг имеют одинаковыс знаки. Это позволяет псрсписать последнее равенство в следующей форме х,— х Л! х — х, Лг Отсюда Лгх, + Л!хг Х тх (е) л,+л В случас, когда отрсзок М, Мг параллслсн оси О)г, х, = хг — — х. Заметим, что тот жс рсзультатдаст формула (е), соли положить в нсй х! —— хг.
Справедливость формулы л,у, + л,у, Л, +Л доказывается аналогичным рассуждением. м Задача 3. найти координаты центра тяжести М треугольника с вершинами а точках ЖЭ(хэ,у!), Мг(хг, рг) и МЗ(хг,рт). и Воспользуемся тем, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Точка М делит кикдую медиану а отнопении 2: 1, считая от аершины !рис.та). Тем самым, ее координаты х и р можно найти по Формулам 1 хз+2.х' 1 аз+2 У 2+1 ' 2+1 Введение в аналитическую гыдютрию !в где я' и у — координаты второго конца М' медианы Мзм'. Так как М' — середина отрезка М~ Мт, то 1 У!+ !'Ут 1-1-! 1+! Полученные соотношению позволяют выразить координаты и и у центра тямести М треугольника гзМ! МтМз через координаты его вершин; я~ + ат в *3 уг ь уз+ уз к = 3 ' 3 У= .ь замечание.
если точка м(к,у,з) лепит отрезок с концами М!(а!,у!,л,) и Мт(кнут,лт) в отноиинии Л,; Лт, то ее координаты вычисляются по формулам Лтл! + Л~к! Лгу! + Л~уз я= У= Л, + Л, ' Л, + Л, М1 Лзл! + Л! лт л, + л, Рис. !5 92. Полярные координаты Предположим, что задана точка О, ось Ь, содержашая точку О, и масштабный отрезок (эталон длин ы) (рис. )6). Пусть М вЂ” произвольная точка плоскости, отличная от точки О (рис.)7).
Ее положение на плоскости однозначно определяется двумя числами: расстоянием и между точками О и М и отсчитываемым против часовой стрелки углом уз между положительнымлучом оси Ь и лучом ОМ сначаломвточкеО. Пару(г,(о) называют полярными коорд алямами точки М; г — гюлярный радиус точки М, ет — полярный угол. Точка О называется полюсом, Ь вЂ” полярной осью. Ясно, что и > О, О < уз < 2я.
Если точка М совладаете полюсом, то считаем и = О; полярны й угол гр в этом случае не определен. Таким образом, на плоскости можно задать еше одну координатную систему— полярную. Прямоугольную декартову систему координат Оху будем называть согласованной с заданной полярной, если начало координат О(О, О) — полюс, ось Ох — полярная ось, а ось Оу составляет с осью Ох угол, равный +у. Тогда О Рис. 16' Рис. 18 Рис. 17 $ Э. Определители 2.го и Э го порядков (рис.!8). Всвоюочередь Пример.
Пусть Л > Π— заданное число. Множество точек плоскости, полярные координаты (г, Р) которых удовютворяют равенству г=Л, являвтСя ОкРужнОСтьЮ Радиуеа П с центром в полюсе (рис. 19). и Рис. 19 Пусть имеем четыре числа а|1, ац, аз|, ац (читается — «а-один-один», < а-один-два», «а-два-один», «а-два-два»). Определителем второго порядка называется число С::: —:3 а||ам ацаз!. Обозиачеиие: ! а! ! а|2 — а|1|222 а|2а2|. |22! а22 У. | а пара ац, аз| — побочную диогонала.
Рнс. 20 Тем самым, для вычисления определителя второго порядка нужно из произведения а||оп элементов главной диагонали вычесть произведение а|за!| элементов его побочной диагонали (рис. 20). Пример. Вычислить опредвлитель ! '! ° По правилу (1) имеем — 4) -4«б= 2. ь С определителями второго порядка мы встречаемся уже при отыскании решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными а|!х+ ацу = Ь1, аз|х + ацгу = Ьз. Решая эту систему методом исключения неизвестных при условии, что а| | а|2 аз! а22 находим а|! Ь! Ьза|1 — Ь|а21 аз! Ь2 и у— она!2 — ацаз, Ь1 ац Ьз ац Ь! а22 — Ьза|2 х а! !а22 а|2а21 а„ац аз| а!2 ап а!2 аз! ац 93.
Определители 2-го и 3-го порядков Числа ан, ац, аи, ац называются элементами определителя; пары элементов а|1, ац и а2|, ац образуют строки определителя, а пары элементов + а|1, аз! и ац, ац — его столбиь|; пара элементов а|1, ац, образует главную диагональ определителя, Х Введение е еимзтпхескую геометрия Пусть тенер ьланы лсвять чисел а, . (з = 1, 2, 3; 3 = 1, 2, 3).
Опрег)елитслсм третьею порндкп называется число, обозначаемое символом а11 а и а1» Ь а21 а22 а2» а»1 азг азз и вычисляемое по слслуюшему правилу: Ь = а11апазз + 1»1гагзгз»1+ 1»21азга1з — а1»аыаз1 — ацамаз» вЂ” а11агзазг. (2) Первый инлекс г элемента а; указывает номер строки, в которой он расположен, а второй ннлекс) — номерстолбца. Элементы а11, агг, ац образуют главную диагональ определителя Ь, элементы а,з, агг, а,з — побочную диагональ. Чтобы разобраться с раси релелени ем знаков в правой части формулы (2), обратим внимание на слелуюшее: произвеление элементов аззаггац главной лиагонали вхолит в формулу со своим знаком, также как и произвсление ацагзаз, и агзазга1з элементов, расположенных в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной лиагонали (рис.
21); с лругой стороны. прои»веление амаыаз1 элементов побочной лиагонали, а также произвеле- ниЯ а»1аназз и а11агзазг — с пРотивоположным знаком (Рис.22). Такой поахал к вычислению опрелелителя третьего порядка называется прпвилом треугольники. Пример. Вьчислнзь определитель Рнс. 21 Рнс. 22 о с»= 2 4 3). (3 — 1 6 ч Применил прееило треугольника, находим а = 1 .
4 6 , (- 1) 2 (- 1) ь О 3 . 3 — (- 1) 3 4 — О . 2 6 — 1 (- 1) . 3 = = 24 ь 2 ь О е зг — о ь З = 41. м Свойство 2. При перестановке любых лвух строк (или любых двух столбцов) определителя он изменяет свой знак на противоположный. Свойство 3. Обший множитель всех элементоволной строки (или олного столбца) опрелелителя можно вынести за знак опрелелителя )са,1 йа12 йа1з 1 а11 йац а13 ( ) а11 а12 азз а21 1222 а2» = ~ а»1 йа22 а2» ~ = й ~ а21 1222 а2» 12»1 12»2 азз 1»31 йа»2 1»»3 а»1 а»2 о»3 Слелуюшие три свойства определителя вытекают нз свойств 1-3. Впрочем, в их справелливости можно убелиться и непосрелственно, пользуясь формулами (1) и (2).
Установим некоторые свойства опрелелителей 3-го порялка, легко проверяемые при помов(и разложений (1) и (2). Свойство 1, Величина опрелелителя не изменится, если псе его строки заменить его столбцами с теми же номерами ан а12 а,з ) ан аг1 а»1 агг аг» = ~ ац аы аз1 азг азз а1» агз $ Э. Опаеделтели 2.го и Зно порядкоа Свойство 4. Если определитель имеет две равные строки (или два равных столбца), то он равен нулю. Смзйство6. Если все элементы некоторой строки(или некоторогостолбца) равны нуляз, то и сам определитель равен нулю.
Свойство 6. Если соответствуюшие элементы двух строк (или двух столбцов) пропорциональныы, то определитель равен нулю. Укажем еше один способ вычисления олределители 3-го лорядка аэ~ ац ац Ь = ан аы ам 1аээ аэг азз Минором М, элемента аб определителя Ь называется определитель, лолучаемый из данного путем вычеркивания элементов т-й строки и 3 -го столбца, на пересечении которыхнаходитсяэтотзлемент. Например,минороизлементаацбудетопределитель Алгебраическом дополнением Аб элемента аб называется м инар М э этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма т + у номеров строки и столбца, на лересечении которых расположен элемент а, есть число четное, и с противоположным знаком, если эточисло нечетное: А, =(-1)'+зМз.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его столбца) но их алгебраические дополнения, ток что имеют место следующие равенство Ь = анАн + атгАзг+ ацАлн т = 1, 2, 3; (3) (4) Ь = аэзАэз+агзА2 +аэуАз,, У = 1,2,3. м Покажем, например, что Ь = амАээ + апА~2+ ацАц, Пользуясь формулой (2), получаем, что Ь = ац(аыаэз — азгагз) + аэг(агэаэ~ — оназэ) + аэз(он азг — аз~ам) = агг а23 а23 агэ а2$ а22 = аэ~ а~г + а~з азг азз ~ азэ азз аээ азг1 = аээМэ~ — ацМц+ ацМэз = аээАээ + аэгА~г+ аэзА~з.
т Правило (3) называется разложением определителя по элементом з-й строки, а пра- вило (4) — разложением определителя по элементам у'-го столбца. Пример. Вычислить определитель а= 2 4 3 и Раскладывая определитель пс элементам т-ся строки, получим 41 о'(3 в| ''(3 = 124+31+о+1г4 эг) =43, ь Глава l ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 91. Понятия связанного и свободного векторов Рассмотрим две точки А и В. По соединяюшему их отрезку можно перемешаться в любом из двух противоположных направлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
