Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем нпнравленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок ВА. Направленные отрезки часто называют связанными или закрепленными векторами. На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис, 1). Рис.! Рис. 3 Рнк 3 В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым. Определение. Будем говорить, что связанные векторы АВ и СВ равны, если середины отрезков АВ и ВС совпадают (рис. 2). Обозначение: АВ = СР. Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и В не лежат на одной прямой, зто равносильно тому, что четырехугольник АВС — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины.
Пример. Рассмотрим квадрат и амбарам векторы, как указано на рис.З. Векторы АЛ и кЗС равны, а векторы ПС и РА на равны и Укажем некоторые свойства равных связанных векторов: 1. Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ. й Если АВ = С22, то и С22 = АВ. $2. Линейные енерецни нел нентсреии 3. Если А В = СЮ и СЮ = ЕЕ,тоАВ = ЕЕ(рис.4). Пусть А — заданный связанный вектор и С вЂ” произвольная точка.
Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку Р так, чтобы СВ = АВ. Тем самым, от каждой точки можно отлолгить связанный вектор, равный исходному (рис. 5). Мы будем рассматривать свободкые векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Ясно, что свободный вектор АВ однозначно определяется заданием связанного вектора АВ. Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным(ненулевым) связаннымвектором,то мы приходим кпонятию скользящего вектора (рис. 6).
,В А ' -- """;;к А Рнс. 6 Рнс. 5 Рис. 4 Связанные и скользящие векторы широко используются в теоретической механике. Для обозначения свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — и, Ь, с,...; нулевой вектор обозначается через О. Пусть заданы вектор и и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой В и АлГ = и А (рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, лля кото- Р„с т рого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора и от точки А. Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания, равны между собой и, значит, имеют одинаковуюдлину.
Это позволяет ввести длину свабодкого вектора и, которую мы будем обозначать символом )и ~. Длина нулевого вектора равна нулю. Если и = Ь, то )и( = !Ь!; обратное неверно. 92. Линейные операции над векторами 2.1. Сложение векторов Пусть заданы два вектора и и Ь. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектора: ОА = и. Отполученнойточки А отложим вектор Ь: АВ = Ь.
Полученный 18 глава 1. Экамвиам ввтвртм автбри в результате вектор ОВ называется суммой векторов и и Ь и обозначается через ц + Ь (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника. вру, * и с ь тативно, т. е. лля любых векторов ц и Ь справедливо равенство и ц+Ь=Ь+ц (рис. 9). Если отложить векторы ц и Ьотобшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то векРис.
8 тор ОВ, идуший и з обшего начала О в противоположную вершину параллелограмма, булет их суммой ц + Ь (нли Ь+ ц) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма. В В О „А О О . ц Рис. 9 Рис, 1О Рис. 11 Пусть заданы три вектора, например, ц, Ь и е. Отложим от произвольной точки О вектор ц: ОА = ц; от полученной точки А отложи м вектор Ь: АВ = Ь; от точки В— вектор е: ВС = е (рнс. 11). По определению суммы ОВ = ц+ Ь и ОС = (и+ Ь) + и (рис. 12). С другой стороны, АС = Ь + е и, значит, ОС = ц + (Ь + е) (рнс. 13). Тем самым, лля любых векторов и, Ь н е выполняется равенство т. е.
сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так: ц+Ь+е, О О Ри .1г Рис. 13 Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов.
Па рис.14 показано, как построить сумму семи векторов: ц = ц1 +цг+ аз +цс+ Й5+ аь+ 07. $2. Линеаные оаерачни ная векторами 1т Пример. Найти сумму векторов, идущих ив центра правилыюго цюстиугольиика в его вершины. ю По правилу замыкающего ломаную получаем и~ +нт 4вт а их + ттт+ вс = В !рис.!5), ы а1 аз а4 н5 не а4 Рис. 14 2.2. Умножение вектора на число Рис.
15 Определение. Свободные векторы и и Ь называются коллипеарпыми, сели определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на со- впадающих прямых (рис. 16). Обозначение: и !! Ь. Замачанна. из опрслслсиил слслуст, что соти хатибы олин и г векторов и и ь иумво1г, то они коллинса рвы. Рис. 16 Если отложить крллинеарнрте векторы и и Ь от обшей точки О, ОА = и, ОВ = Ь, то точки О, А и В будут лежать на одной прямой.
При этом возможны два случая: точки А и В располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы и и Ь называются одинаково направленными, а во втором — противоположно паправлеппымщ Если векторы имеют равные длины и одинаково Пустыт — вектор, Л вЂ” вешественноечисло. о х в А О Рис, 17 направлены. то они равны. Определение.
Произведением векгпора а па число Л называется вектор 1т такой, что 1) !Ь! = !Л!. !а1; 2) векторы в и Ь одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если Л > 0 (соответственно, Л < О). Обозначение: Ь = Лп. Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную, Глав 1.
Зламантм аантернса алгебры !8 При Л = 0 положим Лп ва О. Таким образом, векторы а и Ь = Лп коллинеарны по определению, Верно и обратное: если векторы а (л ~ 0) и Ь коллинеарны, то можно найти число Л такое, что 1л= Лп. Укажем основные свойства этой операции умножения вектора на число: (здесь Л и 1с — любые действительные числа, и и Ь вЂ” произвольные векторы). Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором„ или ортом, и обозначается пс (читается: и с нуликом), 1аа! = ! . Если а ~ О,то вектор Рис. 1В есть единичный вектор (орт) направления вектора и (рис. 18).
93. Координаты и компоненты вектора Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через 1, 1, и единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ох, Оу, Оа (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор и, начало которого лежит в начале координат О, а конец — в точке А. Провелем через точку А плоскости, перпендикулярные .осям Оа, Оу и Ол.
Эги плоскости пересекут координатные оси в точках Р, т) и Л соответственно. Из рис. 20 видно. что и = ОЯ+ О~>+ ОН. Векторы О1', ОД и ОН коллпнеарны соответственно единичным векторам 1, ), 1с, Рис. 20 Рис.!9 $3. Координаты и комнононтм нектара поэтому найдутся числа х, у, к такие, что 02з = х1, 09 = у), и, следовательно, ОЛ = а!с а = х1+ у3+ в!с. (г) Формула (2) называется розлозкением вектора а по векпюрам 1, 3, 1с. Указатсным способом всякий вектор может быть разложен по векторам 1, 3, 1с. Векторы 1,1, 1с попарно ортопзнальньь и их длины равны единице. Тройку!,3, и называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом) .
Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису!, 3, 1с единственно, т.е. коэффициенты х, у, я в разложении вектора и по векторам 1, 2, Ь определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, в точки А — конца вектора и. Мы пишем в этом случае а = ( , у, ). Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задается упорядоченной тройкой своих координат.
Векторы х1, у3, кй, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора и. Рнк зс Из вышеизложенного следует, чтодва вектора и = (хи ум я~) и Ь = (хз,уз, гз) равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. е. Радиус-вектором точки М(х, у, я) называется вектор г = х1+ у) + я!с, идуший из начала координат О в точку М (рис. 21). Линейные операции над векторами в координатах ПУсть имсемдва вектоРа а = (хц Уц вс) и Ь = (хз, Уз, вт),так что а = х~1+ Ус)+ всат, Ь = хз! + уь) + х21с. На основани и правила сложения векторов имеем а + Ь = (хс с + ус2 + хс!с) + (хз! + уь! + в21с) = (х~ + хз)1+ (у|+ уз)3+ (кс + хз)1с, или, чтотоже, — при сложении векторов их координаты попарно складываются. Аналогично получаем Далее, Ла = Лх!1+ Лу|1+ Ле!!с, или, что то же, — при умножении вектора на число все его координаты умножаются но зто число, Глава 1.
Зламалтм векторной алгебры Пусть а = (жг, уг, з!), Ь = (жг, уг, лг) — коллинеарные векторы, причем Ь ~ О. Тогда а = угЬ,т.е. !о! )гкг Р! )гуг Л! ггаг или а! у! л! иг Уг (3) Обратно, если выполняются соотношения (3), то а = гвЬ, т. е. векторы а и Ь коллинеарны. Таким образом, векторы а и Ь коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Пример. Найти координаты вектора М! Мг, начало которого находится в точка Мг(*г, Уг, х!). а конец -в тачке Мг(*г* Уг зг). ° Из рис 22 видно, что М!Мг = ю — г!, где г!, гг — радиус- векторы точек М! и Мг соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
