Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Угол между двумя плоскостями Пусть П, и Пз — две плоскости, заданные уравнениями А)а+В~у+С)а+Рь =О, А|+В~~+С~~ > О, Азх+Взу+Сзх+Вз=О, Аз+Вг+Сз > 0 соответственно. Углом между двумя плоскостями буде м пазы вать любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями (рис.15) (в случае параллельности плоскостей угол между ними равен или О, или я). Один их этих двугранных углов равен углу 1я между нормальными векторами п~ — — (АнВн С1) и пз = (Ап Вп Сз) этих плоскостей. Отсюда вытекает, что Рвс. 15 Глава П.
Правая и плоскость 2.5. Условие перпендикулярности двух плоскостей В случае перпендикулярности плоскостей П! и Пг их нормальные векторы также перпендикулярны, т. е справедливо равенство (пг, пг) = О, или А!Аг+ В!Вг+ С!Сг — — Π— условие перпендикулярности плоскостей. 2.6. Условие параллельности двух плоскостей В случае параллельности плоскостей П! и Пг их нормальные векторы коллинеарны, т.е. справедливо равенство и! = Лпг Переходя к координатам этих векторов, получаем, что А! — — ЛАг, В! —— ЛВг, С! = ЛСг или А! В! С! Аг Вг Сг — условие параллельности плоскостеи 9 3, Прямая линия в пространстве 3.1.
Уравнения прямой линии Положение прямой линии в пространстве будет вполне определено, если задать точку Мо на прямой (при помоши радиус-вектора го) и ненулевой вектор я, которому прямая параллельна. Вектор я называют направляющим вектором прямой. Переменной точке М прямой соответствует ее радиус- вектор Ойг = г. Из рис.16 получаем ОМ = ОМо+ МоМ. Вектор МоМ параллелен вектору ь, так что МоМ = я1 Рис.!б (числовой множитель 1 (параметр) может принимать любые значения в зависимости от положения точки М на прямой). Следовательно, равенство (1) можно записать так (2) Уравнение (2) называется векпю рным уравнением прямой. Введем в пространстве прямоугольные декартовы координаты, поместив начало координат в точку О.
Обозначим декартовы координаты точки Мо (координаты вектора го) через хо, уо и ло, текушие координаты точки М (координаты вектора г) через х, у и л, а координаты направляющего вектора я через 1, т и и. Тогда, записав векторное уравнение (2) в координатах, получим х = хо+11 У =Уо+тг л = во+ п1 41 $3. Прямая линия и прсстранотее Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой. Числа (, т, и называют направляющими коэффициентами этой прямой.
Исключим из уравнений (3) параметр К Имеем *о У Уо л — ло — ссх, — ш(, — ш(, т и откуда (4) Уравненил (4) называют каноническими уравнениями прямой. В них хо, уо и ло— координаты точки Мо, лежащей на прямой, а (, т и и — координаты направляющего вектора прямой ((~+ т + пг ) О). Система уравнений (4) определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей, описываемых, например, уравнениями х-ха У-Уо У-Уо х — ло тп т и 3.2. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки Пусть требуется найти уравнения прямой, проходящей через точки М»(х»,у»,л!) и Мг(хг, уг, лг). Будем искать эти уравнения в канонической форме. Длл решения задачи надо знать координаты одной из точек, лежащих на прямой, и направляющий вектор. За точку на првмой можно взять любую из двух данных, например, М»(х», у,, щ ). За направляющий вектор прямой примем вектор М»М» = ьх» — х! Уг Ун лг — л!).
Уравнения искомой прямой— х — х! у — у! л — я! (5) хг — х! Уг — У! кг — к! замечание. если точки м! и м» лежат в плоскости Олу т е. щ = х» = 0 тоурлвнения проховяшей через них прямой илтеют слелуюший внл У У» х =О. У» — У! Уанемер, найти уравнания прямой проходящей через точки м!(», О, -!) н м»(з, », !). и пользуясь формулой (В), сразу получаем искомью уравнения л — ! у х+! — =-= —.Ь г ! г З.З. Общие уравнения прямой. Переход к каноническим уравнениям Всякие две не параллельные между собой и несовпадающие плоскости определяют прямую как линию их пересечения.
Пусть уравнения этих плоскостей суть А »х + В! у + С»я + Р, = О, Агх + В»у + Сгл + Р» — — О. Рассматриваемые совместно, (6) эти уравнения называются общими уравнениями прямой. Глава П. Прямее п плоскость 42 От общих уравнений прямой (6) можно перейти к ее каноническим уравнениям. Для этого надо знать какую-нибудь точку прямой и ее направляющий вектор.
Координаты точки прямой найдем из системы (6), выбирая одну из координат произвольно и решая полученную после этого систему относительно оставшихся двух координат. Для отыскания направляющего вектора а прямой заметим, что этот вектор, направленный по линии пересечения данных плоскостей, должен быть перпендикулярен нормальным векторам п! — — (А1, В1, С!) и пт = (Ат, Вт, Ст) этих плоскостей.
Обратно, всякий вектор, перпендикулярный векторам п! и пт, будет параллелен обеим плоскостям, т.е. параллелен их линии пересечения. Так как векторное произведение [п1, пт] перпендикулярно каждому из векторов п! и пз, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор а = ]п1, пз]. Пример. Привести к канани юскому виду уравнения прямой ( х-у+ к †3=, х+ у — 2к+1 = О. (7) 1) На~одим какую-нибудь точку, принадлежмцую прямой [7). Полагая например, к = О, приходим к системе двух уравнений с двумя неиавестными х-у= з, х+у=-1, откуда х = 1, у = -2, Итак Мс(1, -2, 0) — точка данной прямой.
2) нормальный вектор первой плоскости п! = (1. — 1, 1), второй пмюкости — пт = (1, 1, -2), 3) в качестве направляющего вектора прямой берем вектор ! ) ь в =(пипт) = 1 — 1 1 =1+ 3)+ 2ь. 1 1 -21 4) Канонические уравнения прямой 17) имеют вид х — 1 у+2 к 1 3 2 3.4. Угол между прямой и плоскостью Пусть даны прямая х — *а у ус х — хо пт и (8) и плоскость Ах+ Ву+ Сх+ Р = О. (9) Углом гр между прямой и плоскостью называют наименьший из углов, образованных прямой с ее проекцией на плоскость (рис. 17). Обозначим через а угол между прямой (8) и перпендикуляром к плоскости (9) (рис. 18). Для сова получаем выражение Рис. 17 (п, в) совку = ]п] ]а] где п — нормальный вектор плоскости (9), а в — направляющий вектор прямой (8).
Замечая, что ] сов а] = к)п гр, находим (10) 33. Прямая ения в яроотраиотее 43 Рис. 1В Если прямая (8) параллельна плоскости (9), то направляющий вектор в прямой перпендикулярен нормальному вектору и плоскости, так что (п,а) = О, или Это условие параллельпасти прямой и плоскости. Если прямая (8) перпендикулярна плоскости (9), то в 11 и (векторы в и п параллельны), так что А В С 1 т и (12) Это условие перпендикулярности прямой к плоскости. 3.5. Пересечение прямой с плоскостью Координаты точки пересечения прямой х — хо. у — уо я — ло т и (13) с плоскостью (15) х = хо + И у = уо+ т1 я = во+ пй Подставляя зти выражения для х, у и я в уравнение (14), получим Ахо+ Вуо+ Сяо+ В+ 1(А(+ Втп+ Сп) = О, откуда 1' =— Ахо+ Вуо+ Сяо+ Р А1 + Вт + Сп ~ О.
А1 + Втп + Сп По найденному значению 1* из формул (15) получаем координаты искомой точки. Если (16) А1+ Вт -1- Сп = О, Ахо + Вуо + Сзо + Р Ф О, Ах + Ву+ Ся+ Р = О ( 14) должны одновременно удовлетворять уравнениям (13) и (14), и, чтобы найти зти координаты, надо решить зти уравнения совместно, считая х, у и я неизвестными. Перейдем от канонических уравнений прямой (13) к параметрическим уравнениям: Глава П. П(ммаа и плоскость Пример.
Найти тачку пересечения прямой х — 7 у — 3 >+1 з (!7) и плоскости зх + у Е >к — З = О. и Пм>екодим от канонических уравнений (17) к параметрическим *=7+э(, у=э+(, х=->-ж. Подставляем найденные выражения для х, у и х е формулу (<а! 6( -<- 14 + ! + 3 — 14! — 7 — 3 = О (!9) или -7(+7=0, откуда ! = 1. Теперь иэ (19) находим х = 10, у = 4, х = -3 — координаты точки пересечения прямой и плоскости. и ЗаяаЧа НайтИ Раеетаамна От та ИИ М,(Х Н У<, П ) Да ПРЯМОЙ вЂ”,' = ыж = — „-Х. Упражнения 1. Написать уравнение плоскости: а) параллельной плоскости Охх и прохоляшейчерезточку (2, -5, 3); б) проходящей через ось Оэ и через точку ( — 3, 1, -2).
2. Даны лве точки А(1,3,-2) и В(7, -4 4), ЧерезточкуВ провести плоскость, перпендикулярную отрезку АВ. 3. Составить уравнение плоскости: а) проходящей через точку (-2, 7, 3) параллельно плоскости х — 4у+ 5х — 1 = О; б) проходящей через начало координат и перпенликулярной лвум плоскостям 2х — у-<- 5х+ 3 = О и х+ Зу — э — 7 = О. 4. Найти плоскость, зная, что точка Р(3, -б, 2) служит основанием перпенликуляра, опушенного из начала координат на зту плоскость. 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки А(3, -2, 1) и В(1,4, О). 6. Составить уравнение прямой, проходящей через начало коорлинат и точку (а, Ь, с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
