Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Гласе Ш. Метриипс Определители. Линейные систеыы Основной процесс Опишем метод, который позволяет при помаши элементарных преобразований строк приводить произвольную матрицу к матрице более простого вида. Пусть А = (ату) Е В и — ненулевая матрица, 1-й шаг. То, что матрица А — ненулевая, означает, что в ней есть хотя бы олин элемент, не равный нулю. Так как он расположен в какой-то строке, то в матрице А есть ненулевые строки. Выберем ту из них, в которой первый отличный от нуля элемент расположен в столбце с наименьшим номером )ч > 1.
Применив к матрице А преобразование 1-го типа, переставим эту строку на место первой строки. В результате этого преобразования матрица А переходит в матрицу О ... О а~и (О О ... О аз„ а( !л~ ам, (12) 0 ... О апа, а где анч ~ О. (О Покажем теперь, как добиться того, чтобы все элементы йт-го столбца матрицы (12), кроме первого его элемента а,л, оказались равными нулю. (О !л1 Если к т-й строке матрицы (12) (т = 2,..., пт) прибавить первую строку, умноженную на аа, (О аш, (это преобразование 3-го типа), то в результате получим матрицу, у которой элемент в позиции (т, й,) будет равен нулю.
Проведя эту операцию с каждой из строк, содер- жаших ненулевые элементы в )3-м столбце, приходим к матрице вида О) (О О ... О а,л ... атл О ... О О ... а",„' (13) О ... О О ... а (1) Конец 1.го шага. В дальнейших преобразованиях первая строка не участвует. Возможны два случая: 1. Все строки матрицы (13), кроме первой, нулевые. Вэтом случае считаем процесс преобразований завершенным. 2.
У матриць< (13) есть ненулевые строки, кроме первой. 2-й шег. Выберем ту из них, в которой первый ненулевой элемент располагается в столбце с наименьшим номером, например, йт (вследствие специального выбора строки иа первом шаге и выполненных выше преобразований й| ( йт). Применив к матрице (13) преобразование первого типа, переставим эту строку на место второй строки. Имеем О ... О а,л, ... ... ...
... аги (О (т) О . О О ... О азл ... аьт [т) О) О ... О О ... О а„, ... а„ "" ((1 """""О) (14) $1. Мэтрмгм где а „~ О. Прибавляя к т-й строке (т = 3,..., Пг) матрицы (!4) вторую строку, гаг умноженную на а ! тег !21 ' кэыг далеедействуем патой же схеме, Гон при первом шаге. Конец 2-го вага. В общем случае может вози (кнуть необходимость 3-го и последуюших шагов. Однако суммарное число шагов'не превосходит гп!п(тп,п). Поэтому обязательно наступит момент, когда процесс преобразований завершится, и мы получим матрицу следуюшего ступенчатого вида†0 ...
0 0 ... 0 О ... О О ... О О ... О ... а',",' 0 ... 0 0 ... О 0 ... 0 0 ... 0 0 ... О 0 ... 0 ... 0 ... 0 где йг < йг « ... й„ и ага, Ф О, р> анч ~0, !1! а,а ~0. !г! Матрица вида (! 5) называется ступенчатой. Тем самым, доказано следуюшее утверж- дение. Теорема 1. ггюбуюматрииумогкно привести к ступенчатой матрице при помощи конеч- ного числа элементарных преобразований строк ( 1-го и 3 го типов). Пример 1. Привести матрицу 0 0 0 0 0 0 к матрице ступенчатого вида.
Ч Поменяем местами 1-ю и 4-ю стракИ матрИЦЫ А: (01 11 11~ 0 0 -2 3 -4 5 Аюдг=~О О О О О О~ 0 0 0 0 0 1 Поменяем местами 3-ю и 4-ю строки матрицы Аг о 01-2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 3 -4 5 О О(1 ~' 0 0 0 МатРиЦа Аг — сттмкннатаЯ. В Глаза бй Матрицы. Определители. Лииейиыа системы Пример 2, Привести матрицу ! -3 -5 0 -7 к ступенчатой. М Поменяем местами первую и третью строки (г1 -3 -5 0 -7~ 5 — 3 2 3 4 (3 — 1 3 2 5)' 7 -5 1 4 1 1-й июг.
Вычитаем из атсрой, третьей и четаертсй строк первую строку, умноженную соотаетстаен- но на числа 5, 3 и 7. Тогда ~1 -3 — 5 О -71 0 12 27 3 39 ~0 8 18 2 гб/' 0 16 Зб 4 50 2-й шаг. Дпя простоты последующих вычислений воспользуемся зламантарным преобразованием строк 2-го типа (хотя они и не использоаались а описанном выше процессе, но их применение часто 1 ! упрощает аычисления1: умножим вторую строку на -, третью — на -, четвертую — на —,. Тсгла 1 -3 -5 0 -7 А Юдт — 0 4 9 1 13 7~ 4 9 ! 13 О В 1В г Вычитаем из третьей и четвертой строк вторую строку, умноженную на 1 и 2 соотаетстаанно.
Тогда О 4 9 1 13 3-и шаг. Замечая, что третья строка нулевая, переставим ее с чатаартой. Тогда Полученная матрица Аз яаляется ступен атой. > Ступенчатую матрицу при помощи элементарных преобразований ее столбцов можно привести к матрице, имеюшей еше более простой вид (!6) (все элементы матрицы. кроме единиц, стоян!их в позициях (1, 1), (2, 2), ..., (и, г) равны нулю). Путем перестановки в матрице (15) столбцов с номерами Л!, Ггз, ..., Гс„нв места первого, второго, ..., г-го столбцов соответственно (это преобразования 1-го типа) получаем трапециевидную матрицу | он ............ ......
агл аи " ........ аг, а,„... атп где а! ! ,-е О, агг ~ О, ..., а„, ~ О. пример 2 (прадолнанне). например, парестанлнп 3-Я и Б-й столбцы матрицы Ам получаем, что | ! -3 -7 0 — 5 0 4 $3 1 9 0 0 — ! 0 О 0 0 0 0 0 Прибавляя к 7'-му столбцу матрицы (17) первый столбец, умноженный на ац — 2 = 2,...,и а!! (преобразования 3-го типа), получим в результате все хтаких преобразований матрицу, первая строка которой содержит только один ненулевой элемент — ан.
ан 0.. 0 аы.. агп 0 0 ... а„„ атл 0 0 0 0 0 0 Упрошая аналогично 2-ю, З-ю, ..., т'-ю строки, в итоге получим а!! агг О (!8) а„, О К виду ( 16) матрица ( 18) приводится элементарными преобразованиями 2-го типа. Пример 2 (нродояненпе1. Подвергал матрицу да таким преобрааонвиипм, приходим к матрице о ооо~ д 0 4 0 0 О я!=~о о -! о о~ го о о о о~ и, далее, оооог (о!ооо~( ~!=~о о ! о о~. ~о о о о о~ 1.8. Матрицы элементарных преобразований С элементарными преобразованиямитесно связаны квадратные матрицы — матрицы элементарных преобраэовапий. Так называются матрицы следуюших трех типов.
Глава ПГ. Митричи. Олреяелнтели. Линейные систеии 1-й тип Матрицы, получающиеся из единичной матрицы перестановкой любых двух строк. Например, матрица ! 1 1 ! О ...,... ! 1 1 ! ....... О 1 получена из единичной матрицы О О перестановкой т-й и у-й строк (в матрице РО все элементы вне главной диагонали кроме тех, которые располагаются в позициях (т, у) и О, т), равны нулю). 2.й тип. Матрицы, получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на произвольное не равное нулю число. Например, матрица 1 1 01 = отличается от единичной матрицы лишь элементом ф ~ О в позиции (у, т) (в матрице 0 все элементы вне главнойдиагонали равны нулю).
2-й тип Матрицы, отличающиеся от единичной матрицы лишь одним внедиагональным элементом. Например, матрица 5!. Матрицы т 1 7 отличается от единичной лишь элементом 7 в позиции (т, у), а матрица 7 отличается от единичной тоже элементом 7, но в позиции Ц, т) (все другие внедиагональныеэлементыматриц1.; и тт;з, кромеуказанных, равны нулю). Сформулируем основное свойство матриц элементарных преобразований. Теорема2.
Элементарныепреобразованияпроизвольнойматрицыравносильныумножению этой матрицы на матрицы элементарных преобразований: А. Элементарные преобразованиястрокматрицы А— 1, Умножение матрицы А на матрицу Р; слева переставляет строки с номерами т и у. 2, Умножение матрицы А на матрицу Ог слева равносильно умнозкению у'-й строки матрицы А начисло)3.
3. Прибавление к у-й строке матрицы А ее т-й строки, умноженной на число 7, равносильно умножению матрицы А на матрииу 4 слева. Б, Элементарные преобразования слюлбцовматрицы А— 1. Умножение матрицы А на матрицу Рб справа переставляет столбцы с номерами т и у'. 2. Умножение матрицы А на матрицу 0 справа равносильно умнозкению у'-го слюлбца матрицы А на число )т. 3. Прибавление к у'-му столбцуматрицы А ее т-го пполбца, умнозкенногона число у, равносильно умножению матрицы А на матрицу Ри справа. м Для простоты ограничимся случаем пт = и = 3. Пусть А — квадратная матрица третьего порядка г'ан аы аи ~ А= ~ан аы агг~ аз~ агг ам Глене В!.
Матрицы. Олрелелителн. Лннеанне лнлтрин !. В и. 1,4 (тУмножение матрице) было показано (ем. пример 2), что при умножении матрицы А на матрицу Ри — — О 0 1 слева получается матрица /ап а!з а!з т В= ~аз1 аэз азз / ап аи азз а при умножении А на Рзэ справа — матрица / аэ| ац а1з '! С= ~аи азз аи/ . аз~ азз азз Нетрудно заметить, что матрица В отличается от матрицы А порядком строк, а матрица С вЂ” порядком столбцов. Аналогично проверяется справедливость свойства! для матриц Ри и Ри. 2. Умножим матрицу А на Вэ= О)1 О Имеем: а) приумножениислева /! 0 0~ /ап а~з а|э~ / ан аи ац '1 0зА = ~ 0 !3 О ) ~ ам аи азз ) = ~ !зал 1зазз !зазз ); О О 1 аэ! аэз азэ йз3 азз азз б) приумножениисправа /ан аи йцт! /! 0 0~ /ап !уаэз а~э'1 АОз = ~аи сти азз) ~0 )у О) = ~ азэ !зазз азз! .
аз! аэз йзз 0 О 1 аз1 !еаэз йэз Аналогично проверяется справедливость свойства 2 для матриц О, и Рэ. Подобным же образом можно убедиться в справедливости свойства 3. М 9 2. Определители Свяжем с каждой квадратной матрицей число — определитель мотрицы — по следующему правилу. Будем считать, что определитель мотрццы (ап) первого порядка равен числу ам. Определителем мотрицы второго порядке аз~ аи называетсячисло,равное апаи — алаи $2. Оярежэмпеяи вг Обозначение: (аээ аа 1 ) аээ ац бе! э = аэ~агг — ацагы ээ агэ агг уз ~ ап агг Определителем матрацы третьего порядка называется число, равное ап агэ ~ аа а~з + О~г ОЭЗ ац О2э + азэ азг азз ~ ам азз аы агэ С учетом формулы (1) получаем: = аиаггазэ+агэазга~з+аээаэгогз апазгогэ агэаэгозз азэаггоэз (2) гт:-.0 =:зэ 0' О 'Гэ последних.
Риа. 4 Предположим теперь, что определители матриц, порядок которых меньше и, уже введены. Определителем матрацы и-го порядка (3) называется число, равное (4) Здесь Мп (э = 1,..., и) — определитель матрицы порядка и — 1; аэг О22 аэи аг. (5) аг- э,г апьнг оэ-э,и аз-ьэ,и аиг аии Матрица(5) полученаизматрицыАпутемвычеркиванияпервогостолбцаи з-йстроки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
