Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Покажем, чтодругих общих решений у этих матричных уравнений нет. < Предположим, что для некоторой матрицы С выполняются равенства АС =1 и СА= 1. Умножим обе части каждого из равенств на матрицу А '. левого — слева, правого— справа. Получим А (АС) =А '1, (СА)А =!А '. (4) Пользуясь свойствами операции умножения матриц, преобразуем правые части равенств (4): 4.1. Метод Жордеие Укажем простой и эффективный способ вычисления обратной матрицы при помоши элементарных преобразований.
Начнем с обоснования метода. А '(АС) =(А 'А)С, (СА)А ' =С(АА '). В соответствии с формулой (3) и формулами (10) Е 1 каждое из равенств (4) дает требуемое соотношение: С = А ', ь Глава бл Меэрнцн. Осредеянтемь Лннеанне снстеавэ Теорема 4. Произвольную невыроясденную матрицу алементорнмми преобразованиями строк молино привести к единичной мотрице. ~ Согласно теореме 1 любую матрицу при помощи элементарных преобразований строк (1-го и 3-го типов) можно привести к матрице ступенчатоговида.
Если исходная матрица является квадратной и невырожденной, то она преобразуется к матрице, имеющей треугольный вид а ) а( ) а( ) а( ) 11 12 12 ''' Гн (2) (2) (2) 0 агг аы ... аг„ аэз стэн (з) (з) (5) 0 О 0 ... ан,) ГДЕа11 фО,агг фО,аээ фО« ° 1асн ФО. (1) (г) (З) (н) Покажем это, Элементарные преобразования строк матрицы равносильны умножению этой матрицы слева на соответствующие матрицы элементарных преобразований (теорема 2). Как показано выше, матрицы элементарных преобразований невырождены.
В силу свойства 4 определителя при умножении квадратных матриц их определители перем- Рнс, б ножаются. Поэтому при умножении невырожденной матрицы на любую из матриц элементарных преобразований вновь получаем невырожденную матрицу. Если ширина хотя бы одной «ступенькиь у получившейся в результате ступенчатой матрицы была бы больше одного элемента (см.
рис. 6), то ее определитель равнялся бы нулю. Это противоречит предыдущему рассуждению. Тем самым, матрица (5) оказывается невырожленной, т.е. а„ФО, агг 40, азз ~0 ..., а„„~О. ( О (2) (з) („) Элементарными преобразованиями строк 2-го типа полученная матрица (5) приводится к следующему виду 1 аы ап ... а1« 0 1 агз . агн 0 0 ! ... аз„ (6) 0 0 0 Единичная матрица получается из матрицы (6) элементарными преобразованиями третьего типа: последовательно прибавляя к первым и — ! строкам последнюю, умноженную соответственно на -аэ„, -аг„,..., -а„з„, приводим ее к матрице, $4. Обратная матраца у которой все элементы и-го столбца, кроме последнего, равны нулю: 101 а~м ~ етзм-! озм-! 1 аы аы О 1 ою О О 1 О О О О О О 1 О О ! Аналогичным образом, прибавляя к первым г — 2 строкам полученной матрицы (н — ! )-ю строку, умноженную соответственно на -а, „н..., — а„з „~ „придем к матрице, у которой все элементы последних двух столбцов, кроме расположенных наглавнойдиагонали,равнынулю,ит.д.
Наконец,прибавляякпервойстрокевторую, умноженную на — аы, придем к единичной матрице Теорема $. Дл еленой невырак денной матрицы А можно указать матрацы элементарных нреоброзованнй Он..., Оа такие, что Оа... 01А = 1. (7) Умножим обе части равенства (7) на матрицу А ' справа. Получаем, что Оа...СьтА '. 4.2. Способ построения обратной матрицы Пусть А — невырожденная матрица порядка и.
Составим расширенную матрицу (А! 1) (8) размера а х (2п). Если подвергнуть строки этой матрицы элементарным преобразованиям, соответствуюшим матрицам О1,..., Оа, то на месте матрицы А получится единичная матрица 1, а на месте единичной матрицы ! — матрица А ', обратная А. Иными словами, элементарными преобразованиями строк матрица (8) преобразуется в матрицу (! ~ А-'). Таким образом, чтобы построить матрицу, обратную заданной квадратной невы- рожденной матрице А = (а;;), следует поступать так: 1. Составить расширенную матрицу 01... О) а11 ттн ... ат ан ом . «таа аез аат ... аа„ 2, Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы (А ~ 1) привести матрицу А к треугольному виду Доказанное утверждение позволяет переформулировать теорему 4 в матричной форме: Гааза йг. Матрицы.
Определители. Линейные системы !212 ° ° м 1п я~й) О 1 „. огп О О (ем. описание основного процесса, положенного в основу доказательства теоремы 1). 3. Элементарными преобразованиями строк матрицы (А ! В) привести матрицу А к единичной 711 7ц ° ° ° 7 1п 7и 7ы ° ° 72п 7пг 7п2 7пп (см.
описание сведения матрицы (6) к единичной в теореме 4). 4. Полученная матрица С является обратной к матрице А: С=А М Составим расширенную матрицу о о от~ 1 1 -1 -1 0 1 0 0 О О!О) о о о ! ) т-й швг. Вычитаем пцзвую строку из всех лоалвдуккцих строю о о о В !О10 2 -2 11О О О ! -2 О -2 -1 О 1 О 0 -2 -2 О -1 О 0 1 2.й шаг. Элемент огг = О. Менпем местами вторую и третью строки, затем вычитаем из четвертой строки полученную вторую; 1 1 1 1 0 0 -2 — 2 0 0 -2 2 -1 О 3-й шаг.
Вычитаем из четвертой строки третью и делим все строки на ик диагональные элементы: о о о 0 — >Ь 0 г/г !/г /4 -'/г 0 0 -Чч 'А /4 кьй шаг. Вычитаем последнюю строку из л ер ых трах строк: 3/ч 3А !/4 !/ч Чч /4 /4 А г/ч /4 /4 /ч 1110 г/ч Чч /4 /4 О 0 0 1 1 О ... О (!1С) = О О ... ! Пример. Найти матрицу, обратную матрица д О 1 О Вю о о о о о /УН /У!2 " /2!в /221 /лг2 " гбгп /рп! /гпг Ап ав.
Ранг матрацы б-й швг. Вычитаем третью строку из первой строки: 'Ь '/г 1А 1/4 /4 Д вЂ” '/4 'А строки 1/4 /4 '/4 '/4 '/4 — Ч» 1/4 — Ч» 0 0 Ч4 ~/4 1 1 О 0 '/4 — 'А - 1/4 '/4 б-й швг. Вычитаем вторую строку из первой /4 /4 - Ч» — 1/4 '/4 — 'А /Я /4 Отсюда следует, что А = — А.Р 1 4 95. Ранг матрицы Выберем вматрице /с строк и В столбцов. Пусть 11 < зг « ... за — номера выбранных строк и 21 <гг« " гз — номера выбранных столбцов. Построим матрицу /с-го порядка с би1/г оч~гг - о»1/ь о»Ы, о»цг ... »з»1/Я Определитель М» этой матрицы г б б 7 Рз 1217 называется минором /4-го порядка матрицы А. Ясно, что у матрицы размера тп х и есть ми- 3 норы, порядок которых равен !, 2,..., гп(п(т, п). б Пример (см.
Рнс. 7). Выберем в ма. трице А размера ц и14 7стрски7 столбцов: 1,0,4,0,0,0, 10 — номера выбранных строк; 2, 5, б, 7, 10, 12, 13 — номера выбранных столбцов, Построим матрицу гклзядкэ 7 из элементов, раююлагакнцихса одновременно и в отобранных строках и в отобранных столбцах, сохранив их взаимное расположение. Получим матрицу, схематически изображенную на рис.т справа.
Определитель этой матрицы будет минором 7-го порядка исходной матрицы. Ю Гиене !у. Метрины. Оиреяеяитеяи. Лииеаиые системы Пусть матрица А ненулевая. Тогда найдется число и такое, что 1) некоторый минор и-го порядка матрицы А отличен от нуля; 2) любой минор порядка в (в > г) матрицы А (если таковой сушествует) равен нулю. Число г называется ранвом матрицы А.
Обозначение: гапй А. Ранг нулевой матрицы считаем равным нулю. Таким образом, лл я любой матрицы А размера пз х и Отличный от нуля минор М„порядок которого равен рангу матрицы А, называется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы матрицы А, которые содержат элементы базисного минора, называются базисными. Теорема 6. 1. базисныестроки матрицы А линейно независимы. 2. Каждая строка матрицы А может быть представлена в виде линейной комбинации базисных строк. Аналогичное утверждение справедливо и дня базисных столбцов. т Предположим для определенности, чтобазисный минорматрицы А имеет порядок г и расположен в ее левом верхнем углу: ап ...
аи а~к+! ... аы А= а,е!1 а„асв+,, а,„ а„~~ „а,+~„.~1 ... а„+ьи ам1 амг пыл~1 ами Тогда первые г строк ам..., а„будут базисными. 1. Покажем, чтостроки ан..., а, линейнонезависимы. Будем рассуждатьотпротивного. Пустьстроки а!,..., а, линейно зависимы. Тогда согласно утверждению п. 3 5 1 одна из строк является линейной комбинацией остальных. Пусть, например, а„= Л1а! +... + Л, 1а, н а„...
а„ Это означает, что в базисном миноре М, = ......... г-я строка является а~ ... а,„ линейной комбинацией остальных строк М,. Отсюда в силу свойства определителя вытекает равенство М„= О, которое противоречит определению базисного минора. Тем самым, наше предположение о линейной зависимости строк ан ., ., а, неверно. Значит, они линейно независимы. 2. Перейдем к доказательству второго утверждения теоремы. Покажем сначала, что для любых с и !' ( ! < с < т, 1 < ! < и) выполняется равенство $5. Рвяг мвюяцы !ов В самом деле, при ! < г у определителя гЛ две одинаковых строки, при 3 < г— два одинаковых столбца, а в остальных случаях (при ! > г и 3 > г) Ь является минором матрицы А порядка г + 1.
Тем самым, он оказывается равным нулю при всех обстоятельствах. Зафиксируем 1 (! < ! < гп) и разложим определителыЛ по последнему столбцу. Имеем ацЬ1 + аз,Ьз+... +а,'Ьу+ обМ„= О. (3) Полученное равенство (3) выполняется для любого 3 (1 < 3 < и); при этом числа Ьп..., Ь„от у независят. Полагая Ь! Ь, Ь, Л=- — Лз=- —, ... Л= — —, М„' ' М, ' " М„' перепишем равенство (3) в следующем виде ач = Л1а~у +... + Л„гз,у, 3 = 1,..., п, или, подробно, ап = Л!ггп +... + Л„а, и (4) аы = Л~от+... + Л,ггет На основании полученных соотношений (4) заключаем, что а; =Л~а!+...
+Л,а„. Тем самым, (-я строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк ан ..,, а,. Ввиду произвольности выборав(1 < 1 < гп) отсюда заключаем, что каждая строка матрицы является линейной комбинацией базисных. > Утверждение. Элементарные преобразования матрицы не увеличивают ее ранга. т Пусть матрица А ранга У получена из матрицы А ранга г элементарным преобразованием строк 1-го типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
