Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Рассмотрим в матрице А произвольный минор М, порядка в и выберем в матрице А минор М, того же порядка в по следующему правилу, Элементы минора М, расположены в матрице А в тех же строках и в столбцах с теми же номерами, что и элементы минора М, в матрице А. Так как преобразование 1-го типа, переставляя строки матрицы, не изменяет их, то строки миноров М, и М, могут различаться только порядком расположения в минорах.
Отсюда вытекает, что либо М, = +М„либо Щ = -М,, По определению ранга все миноры матрицы А, порядок которых больше г, равны нулю. Поэтому из полученных равенств вытекает, что любой минор матрицы А порядка в > г равен нулю: М, = О, Это означает, что ранг матрицы А не может быть больше ранга матрицы А: г < г. Похожими рассуждениями можно убедиться в справедливости неравенства ~~Я г и для случая, когда матрица А получена из матрицы А элементарными преобразованиями строк 2-го и 3-го типов. Для столбцов доказательство проводится аналогично. ° Теорема 7. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.
Глава йь Матрицы. Огределмтели. Линейные системы м Достаточно вспомнить, что если матрица А получена из матрицы А элементарным преобразованием, то и матрицу А можно получить из матрицы А элементарным преобразованием (причем того же типа). С учетом доказанного выше утвержления из этого факта можно заключить, что и т < г. Сопоставляя неравенства р ( т и т < т, получаем требуемое (т = г~» Замечание, число ненулевых строк ступенчатой матрицы равно ее рангу. м В самом деле, минор порядка г ступен атой матрицы, элементы которогорасположены вес первых г сгрохали в столбцах с номерами й !, Ьз,, Ьг, отличен от нуля, а! ! !ь, 10 ГН =аи, ...а,» иО, а любой минор порядка в > г содержит нулевуюстроку и, значит, равен нулю.
Ь Тем самым, элементарные преобразования матрицы предоставляют простой н эффективный способ отыскания ранга произвольной матрицы, Пример. Найти ранг матрицы /2 -1 3 -2 41 Аги~4 -2 5 ! 7 2 — ! 1 З 2 Г-й маг. Вычитая иэ втчзой и тРетьей стРок пвРвую стРоку, умноженную соответственно на 2 и т, получим, что Г2 — 13-241 гамЗА= гана О О ! 1 5 ! 0 0~-2 !О -2 З.й юаг. Вычитаем из третьей отроки вторую строку, умноженную на 2. тогда 2 -1 3 — 2 4 гапЗА=гапв 0 0 -! 5 -1 =2, Ы 0 0 0 0 0 96.
Система линейных уравнений 6.1. Основные понятия Пусть лана матрица первые и столбцов которой ненулевые. Совокупность соотношений (2) 5 6. Свезена линейных тршнеей звт АХ = Ь, (3) где а=(................), ь=(:), х=(;). (4) Матрица А называется матрицей системы (2), Ь вЂ” столбцом свооодных членов, Х— сншлоцом неизвестных.
Исходная матрица А = (А1Ь) называется расширенной матрицей системы (2). Решением матричной системы (3) является столбец Г, элементы которого суть 7н..., 7„: г=(:). Теорема 8 (Кронееера-Капелле). Ззинейнал система совместна в том и только в том случае, если ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы равны. ш Пустьлинейная система(2) совместна. Зтоозначает, что некоторыйупорядоченный набор чисел ун уъ..., 7ь обрашает каждое из уравнений этой системы в тождество: ап71 + а,з7з+...
+ он7ь = Д, пня 71 + и а7з + + атьчп = Аи. Полученные соотношения можно понимать так: столбец свободных членов расширенной матрицы А = (А ) Ь) является линейной комбинацией ее первых и столбцов, т. е. столбцов матрицы А. Прибавим к последнему столбцу матрицы А первый столбец, умноженный на -7м затем второй столбец, умноженный на — 7з,..., и, наконец, и-й столбец, умноженный на — 7„.
В результате получим матрицу А= (А!О). где числа ан..., х„рассматриваются как величины, подлежащие определению (неизвестные), называется системой пз линейных уравнений с и неизвестными, или, коротко, — линейной системой. Числа пг (з = 1,..., зп; у = 1,..., и) называются коэффициентами линейной системы (2), а числа Д (з = 1,..., пз) — ее свободными членами. Решением линейной системы (2) называется упорядоченная совокупность чисел 7н..., 7„которая при подстановке в калоше уравнение системы (2) вместо совокупности неизвестных ан ., ен обрашает его втождество. Линейнаясистеманазывается совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений нет.
Решения Ун..., Т„и 7н..., У„' системы (2) называютсЯ Различными, есди наРУшено хотЯ бы одно из равенств / 7! =7~ 7з =7з ~ 7и =7е. Совместная система называется олределенной, если она имеетровно одно решение, и неопределенной, если она имеет не менее двух различных решений. Линейная система (2) допускает более компактную (матричную) запись: юв Глава йа Мвтрпты. Сярваелнтеяв Линейные оветвиы Ранг матрицы А совпадает с рангом матрицы А, так как проведенные элементарные преобразования столбцов 3-го типа не изменяют ранга матрицы (теорема 7). С другой стороны, ясно, что ранги матриц А = (А ! 0) и А также равны. Тем самым, гапй А = гане А = галю А.
Пусть теперь ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Так как А = (А ! Ь), то у матриц А и А есть общий базисный минор. Предположим для определенности, что порядок базисного минора равен г, и он расположен аленом верхнем углу обеих матриц.
Этого всегда можно добиться путем перестановки уравнений и (в случае необходимости) перенумерацни неизвестных. Согласно теореме б любой столбец матрицы А можно представить в виде линейной комбинации базисных столбцов. В частности, для столбца свободных членов (это последний столбец матрицы А) имеем или ап7~+ап7з+ +аы7 =)т1 ака7~ + ака7т + + аон7т = Ав Нетрудно видеть, что упорядоченный набор и чисел 7~ 7г °,7т~ О ° О обращает каждое из уравнений исходной линейной системы втождество. Это означает, что система (2) совместна.
м 6,2. Эквивалентные линейные системы Совокупность всех решений линейной системы будем называть мнохсеством решений системы. Две линейные системы с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений (возможно, пустые) совпадают. Другими словами, всякое решение одной системы является решением другой и, обратно, всякое решение второй системы является решением первой, либо обе системы не имеют решений.
Ясно, что линейная система однозначно задается своей расширенной матрицей. Возьмемдве матрицы А и А' одного размера та х (и+ 1) н рассмотрим соответствующие им линейные системы анх1+... + аых„= бп анх~ +... + аых„= Д, (*) "" "" """"""" " (в') Ф г т аопх~ + + аычхн = Дд1 а,„~ х~ +... + а,„„х„= /тки Будем говорить, что система (в') получена из системы(*) при помощи элементарных преобразований, если расширенная матрица А' системы (в') получается из расширенной матрицы А системы (в) элементарными преобразованиями строк. Теорема 9. Если линейная система (в') получена из линейной системы (в) элементарными преобразованиями, то системы (в) и (в') эквивалентны. а 6.
системе еммаееа урееееиеа м Предположим сначала, что система (е) совместна. Пусть 7 „..., 7„— ее решение. Покажем, что этот набор прн подстановке в каждое из уравнений системы (*') вместо набора неизвестных х,,..., х„обращает его в тождество. Достаточно рассмотреть только те уравнения, которые подверглись преобразованиям. Пусть система (е') получена из системы (е) элементармым преобразованием: 1) первого типа — изменение порядка уравнений в системе не лишает набор у,,..., у„возможности обратить каждое из них в тождество; 2) второго типа — после умножения й-го тождества аыу, +...
+ ах„у„=А на Л ~ 0 получаем соотношение (Лам)7~ +... + (Лаев) у„= ЛА, озмачающее, что набор ун ..,, у„обращает уравнение (Лат ) х, +... + (Лаге)х„= ЛА в тождество; 3) третьего тило — выпишем преобразовамное уравнение (ам + рае~)х1+... +(ам+ рае„)х„=Д+ рА и тождества, полученные нз й-го и 1-го уравмений системы (*): аыЪ + + аее7 = А. ап71+ +а~ 7е =А (5) 6.3. Метод Гаусса Решить линейную систему — это значит: 1) выяснить, является ли система совместной или несовместной; 2) если система совместна, то найти множество ее решений. Укажем способ решения линейной системы, состоящий в следующем: элементарными преобразованиями заданная система приводится к системе простого вида, для которой ответить на поставленные вопросы уже нетрудно.
Умножим первое из этих тождеств на и и, прибавив ко второму, получим тождество (Ф1+ Рае1)7~ + + (аы + Фаге)7» = А + ВА. Подстановка набора ум..., у„в уравнение (5) приводит к тому же результату. Таким образом, в каждом из трех случаев система (*) оказывается совместной, и набор Ъ,..., 7„является ее решением — всякое решение системы (*) является решением системы (е'). Так как система (е) также может быть получена и з системы(*') путем элементарных преобразований (ем. Замечамие и. У 6 1), то, повторяя приведенные выше рассуждения для систем (*') и (*), убеждаемся в том, что всякое реепение системы (е') является решением системы (е).
В том случае, когда система (*) несовместна, несовместна также и система (*'). Вэтомлегкоубедиться,рассуждаяотпротнвного: совместностьсистемы(е'),согласно доказанному выше, нензбежмо влечет совместность системы (х), которая по условию не имеет решений. Ясно, чтоеслисистема(*') получена из системы(е) при помощи конечного числа элементарных преобразований, то эти системы эквивалентны. 1ь Иа Ганна а). Мнтрицн.
Оирнанаяняг. Лина(Мин.снстемн Так как элементарные преобразования системы напрямую связаны с элементарными преобразованиями строк ее расширенной матрицы, будет удобно рассматривать иходновременно: стих~+... +амхн ин)ун (н) А '= 'т.'ан( ° .. а „)у Как доказано в теореме 1 $1.7, элементарными преобразованиями строк матрицу А можно привести к ступенчатой а( ) а( ) ац а,т (т) стзз А = 0 Соответственно преобразуется и система (*), Если свободный член )У, „отличен от нуля, то полученная (а значит, и исходная) (г) система будет несовместна. В самом деле, (и + 1)-е уравнение имеет следуюший вид: О . х( +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
