Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 29
Текст из файла (страница 29)
При других /с х(А)=0. 1В9 12.25. Представляем заданную функцию Б(х) в виде ряда по отрицательным степеням ж Б(х)=г =а ч 2' ( — 0,8г ')", ~(-'+о,8)) ! о откуда (с учетом задержки на четыре шага) ( — 0,8)" ~ при )г>4, 0 при !!<4. Однако эту же функцию Б(г) можно разложить в ряд по положительным степеням ж В( )='— ,„Х вЂ”,— ', ° 11,25( — 1,25) " при 1 < 3, откуда х(/с)=~ при !г>3.
Таким образом, если функция Б(г) задана алгебраическим выражением, то ее обратное г-преобразование в общем случае не чвляется единственным. Вид последовательности х(х) зависит от области сходимости ряда. В первом из полученных в данном примере разложений ряд сходится при ~г[>0,8, а во втором — при )г)<0,8 (я~О). Последо- вательность х(Й), соответствующая второму разложению Б(г), в практических задачах не встречается. Поэтому в дальнейших примерах область сходимости определяется как внешняя область круга (г1=го, содержащего все полюсы функции Я(х) (обычно !о<1) 12.26, Представим заданную функцию В(х) в виде В(х)=2,х+3 Используя табличное х-преобразование (см.
п. 2 табл. 12.1) с учетом опережения на один шаг дискретизации первого слагаемого, получаем . (~) =2(а+1) 1(~+1)+3~.1(К) =(2(С +1)+ЗАД 1(~) =(2+5) ) 1(~). Замена здесь функции 1 (!!+ 1) на 1 (1г) объясняется тем, что 2(!с+1)1„, =О. 12.27. Основываясь на формуле обращения 11, 8 12.63, находим х(х)= —, Я(х):" !!!х=— и)= ! 1!1=1 Вычисление вычета в двукратном полюсе а„=1 подынтегральной функции дает 190 Г2" +3 "1 з(/с)=Вез~, ~= — (2г"'+Зг") =2(/с+1)+3/с=2+5/с, р=! /с=0, 1, 2, ..., при /с<0 х(/с)=0. 12.28.
Представляем заданную дробно-рациональную функцию Й (г) в виде суммы двух простых дробей, соответствующих корням г,д знаменателя Й(х)=с,/(з — г,)+с2/(х — 22), з, 2=09+ р 081 — 08=0910,1. КшфФ~р ~ р~ ж~ д~ помощью с;=Б(г)(г — т;)), чье! — — 6, сх= — 5. Таким образом, Я(з)= — — =6 — г ' — 5 х .— 1 г — 08 р — 1 с — 0,8 (множитель з " соответствует задержке на один шаг дискретизации). Используя табличные преобразования (см. пп. 1 и 4 табл. 12.1), получаем (с учетом задержки на один шаг) з(/с)=(6 — 5 (0,8)х ') 1(/с — 1). 12.29, Представляя заданные дробно-рациональные функции в виде суммы простых дробей, находим 0,2г с, ср ср 4 1 4 а) Я(х)-,— ' + ',+ — '= + —,—— (э — 0,8)(я — 1) е — 0,8 (г — 1) х — 1 х — 0,8 (7 в 1) е — ! (коэффициенты разложения с; найдены путем приведения дробей к общему знаменателю и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях г в числителях разложения), откуда (см.
пп. 1, 2, 4 табл. 12.1) с учетом задержки на один шаг з(/с)=(4 (08)х '+(/с — 1) — 43 1(/с — 1)=(3,2 (08)' з+/с — 53х х 1 (/с — 2). Замена 1(к — 1) на 1(/с — 2) объясняется тем, что я(/с)(, !=О! (с-1) т-1 (г — !) г-! откуда (см. пп. 1 и 2 табл. 12.1) з(/с)=(5/с+2) 1(/с); с,г срг 2- 1,5г г — ! г — 0,25 .— 1 г — 0,25 откуда (см. пп.
1 и 4 табл. 12.1) л(/с)=(2 — 1,5(0,25)'] 1(/с). 12.30. Знаменатель В(г) = г — 1,26г+ 0,81 заданной функции 8(2) имеет комплексно-сопряженные корни и соответствует знаменателю табличных г-преобразований (см, пп. 8 и 9 табл. 12.1). Сопоставляя коэффициенты в знаменателях: 2/рсоза=1,26 и /р~=0,81, получаем 6=0,9; сова=0,7; а=0,7954.
191 Выделим в числителе функции Я (2) члены, соответствующие числителям табличных г-преобразований. После выделения А,г(г — Ьсоза)=5г(г — 0,9 0,7)=52' — 3,!А (см. п. 9 табл. 12.1) в числителе остается 1,82+2,25. После выделения АзЬгяпа=1,82 (см. п. 8 табл. 12.1) в числителе остается свободный член 2,25 (при А =1,8/Ьяпа=2,8). Свободный член (с учетом задержки на один шаг) приводим к виду (Аз Ьзз(па) з ' =2,25, откуда Аз = =2,25/Ьяпа=3,5. Таким образом, Я(г)=5я(з — О 9созО 7954)/В(г)+2,8(0 9 тяп О 7954)/В(г)+3,5 х х ((0,9 г яп 0,7954)/В(кЦ г откуда з(/с)=(5 (0,9)'соз(0,7954/с)+2,8.(0,9) з(п(0,7954АЦ.1(й)+3,5 х х (0,9)" ' яп [0,7954(/г — 1Ц 1(/с — 1) = (5,73 (0,9)'сов(0,7954/г— — 0,5105Ц 1(/с)+3,5 (0,9)" ' яп(0,7954(/с — 1Ц 1(/с — 1).
12.4. ПРИНЦИП ДИСКРЕТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 12.31. Алгоритм работы заданного дискретного фильтра описывается разностным уравнением з,„,(/гТ)=з /гТ) — з Ц/г — 1) Т~. Схема фильтра представлена на рис. 12.16. Нанти импульсную характеристику фильтра 8,(/гТ). Примечание. В данной главе под 8,(АТ) подразумевается отклик дискретного фильтра на воздействие в виде единичного отсчета (11Т) ! ! лри /г=О (О при 1ФО. Не смешивать 6,(/сТ) с дельта-функцией 6(1)! -2г-7 Ю г 2т Р с. 12.1т Ряс.
12.16 12.32. На вход дискретного фильтра с импульсной характеристикой из предыдущего примера поступают отсчеты периодического треугольного колебания, представленные на рис. 12.17. Найти сигнал на выходе фильтра. 12.33. Дискретный сигнал, состоящий из трех отсчетов (М=З): з(11Т)=0,56,(lсТ) — 6, ((/с — 1) Т3'+26, '(()1 — 2) Т~, поступает на вход фильтра, импульсная характеристика которого 8,(/гТ)=26,ЯТ)+ 192 + 6, [(1е — 1) Т)+0,5 8, [(/г — 2) Т~)+0,256, [(/е — 3) Т3' содержит четыре отсчета (Н=4). Найти сигнал на выходе фильтра. 12.34.
Найти сигнал на выходе дискретного фильтра в виде свертки входного сигнала з(1еТ)=1(ФТ) — 1 [(1е — 4) Т) (рис. 12.18, а2 и импульсной характеристики фильтра я, ЯТ)=1(1гТ) — 1 [(1г — 7) Т3 (рис. 12.18, б). Яь„12 ГГ 4 в Ф г 1 ест) ат йфт) 1 дт г»т 47 7Т 6 Р . 22ЛВ 12.35. Составить разностное уравнение, определяющее алгоритм работы фильтра, импульсная характеристика которого задана в примере 12.33. Построить структурную схему фильтра.
12.36. Найти импульсную характеристику рекурсивного фильтра заданного разностным уравнением з,„ДсТ)=за)+Ь,з,„„х х [(1г — 1) Т), ~Ь, ~<1. Построить структурйую схему фильтра. 12.37. Йа вход рекурсивного фильтра первого порядка с параметрами, обозначенными на рис. 12.19,а поступает сигнал (ат)= (1Т)-1[(1 — 5)т]= 0" "~-0 ' „>5 Найти сигнал 1,„„(/сТ) в два фиксированных момент» времени: 2Т и 5Т. 4®'7 ду1т1 еГат1-~Глт) Г г е „„д772 г 1 Ю5 г д вл-пт ег Ряе. 12,20 193 7-637 .) от т ат зги дт Ф1 (Ц 47 Ряс. 1249 12.38. На фильтр из предыдущего примера поступает сигнал х(1еТ)=26,(1еТ)+6, [(й — 1) Т3 — Ьд [(й — 2) Т3.
Найти сигнал з,„„(УсТ) для всех Й, 12.39. На вход трансверсального фильтра поступает сигнал х ЯТ), совпадающий с импульсной характеристикой фильтра 8,(/с~)=1(lгТ) — 1 [(lс — 4) Т~=1~ЯТ) (рис. 12 20, а). Найти сигнал на выходе фильтра. 12АО. На вход рекурсивного фильтра, рассмотренного в примере 12.36, поступает сигнал ЯсТ)=!э", 6=0,5, !г=0, 1, 2, ..., 6,=0,8. Найти сигнал на выходе фильтра.
12.41. На вход рекурсивного фильтра нз предыдущего примера поступает периодическая последовательность единичных отсчетов з(йТ) = 2 Ь, Ц1с+!Ж) Т). Найти отсчеты сигнала на выходе фильтра в интервале одного периода (0<1(А!). Полученный результат сравнить с импульсной характеристикой фильтра (%=8, Ь, =0,8). МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 12.31. Подставив в заданный алгоритм Ь,(!гТ) вместо 4(УсТ), получим 8,(! Т)=8,(! Т)-8, [(! -1) Т1, Очевидно, я,(0)=!, 8,(Т)= — 1, 8,(/гТ)=0 при !г>2. Ряс. И.И 12.32.
Основываясь на принципе суперпозицин, просуммируем отклики фильтра на каждый отсчет входного сигнала. На рис. 12.21 а, б, в показаны отклики на отсчеты ..., з( — 2Т), з( — Т), х(0), х(Т; з(2Т), ..., Каждый из этих откликов является импульсной характеристикой фильтра 8„(!г Т), смещенной на соответствующее число тактов и умноженной на значение з(!гТ). Результирующая последовательность з,„„'Рг Т) показана на рис. 12.21,г. Сопоставление огибающих последовательностей от- 194 Это же выражение заменой переменных можно преобразовать к виду И-1 и,„ДсТ)= 2„' к[(lс — т) Т3'и, (тТ), /с=О, 1, ..., Н+М вЂ” 2. 12.34. Основываясь на выражении И вЂ” 1 з,„ЯТ)= ~~ и[(/с — т)Т~у1(тТ), /с=О, 1, ..., Н+Х вЂ” 2, полу- чаем 1 1=1+7с при 0<!с<Я вЂ” 1=3, 1 1=4 при Ф вЂ” 1=3<й<Н-1=6, ю,„„(/сТ) = И-1 1 = 10 — lс при Н вЂ” 1 = 6 < 1с < Н+ М вЂ” 2 = 9. Результирующий сигнал представлен на рис.
12.18,и, 12.35. Подставляя в выражение И-1 л,„„(1сТ)= ~ фК вЂ” т) Т~~1(тТ) отсчеты заданной импульсной характеристики, получаем л,„„(3сТ) = 2к ЯТ)+ ю ЦЭс — 1) Т) + 0,5к [(Ус — 2) Т)+ 0 25и [(lс — 3) Т! . !95 счетов на рис. 12.17 и 12.21,г показывает, что рассматриваемый фильтр осуществляет дифференцирование входного сигнала. 12.33. Как и в предыдущем примере, находим отклики на каждый отсчет входного сигнала: к(0)=0,5 дает на выходе 0,5и1 ЯТ) и(Т)= — 1 дает на выходе — и1[(/с — 1) Т*1 к(2Т)=1 дает на выходе 2и1 [(к — 2)Т1.
Сумму откликов в данном примере можно записать в виде з,„„(ЙТ)= ~ з(тТ)К1 [(!с — т)Т~, /с=О, 1, ..., 5. т=О Сигнал на выходе представлен на рис. 12.22. Обобщая полученное выражение на Н отсчетов импульсной характеристики и Ж отсчетов входного сигнала, приходим к алгоритму дискретной свертки И вЂ” 1 з,„„(/сТ) = ~ з(тТ)д1 [(1с — т) Т~, /с =О, 1, ..., Х+Н вЂ” 2. Структурная схема трансверсального фильтра, реализующего этот алгоритм, представлена на рис. 12.23. Рис. 12.23 г зГ~у,йТ1 4 5 15 гТ З зтзт 1,1 $1417 ' ~ в'4 !'Цв с зМ а-Т7 5 ТХТ514Т Г У ТЯТТТ475Т С 1 У~У2 "1с77! 12 ф5-К)Т! 2 12 1 уз 4 ЗУ иТ Звсс, ОгТ1 1-2-4 В 1.2 з тзт 1 5т 5тт з) 51 зГгт)фя-г)Т) Рис.
!2.24 Рвс. 12.25 з,„„(5Т) = з (0)д (5Т)+ з (Т) а, (4Т)+ з(2 Т) д, (ЗТ)+ з (Зт) у, (2Т)+ +з (4Т) ЫДТ) = 0,96875. !96 12.36. Подставим в заданное разностное уравнение вместо з(/ст) единичный отсчет бакст) ~, (7 т)=6,(кт)+ь~, ((и- 1) Т1. Задавая /с=0, 1, ... и учитывая, что 6,( — Т)=0, получаем ~,(0)=1, ~,(т)=ь„~,(2т)=ь'„..., ~,((т)=ь'„ т.
е. а1(1ст)=Ь", 1(lст). Структурная схема н импульсная характеристика фильтра представлены соответственно на рнс. 12.19, а и б. 12.37. Используя полученную в задаче 12.36 импульсную характеристику я,(1ст)=Ь', ! (Йт~, сигнал на выходе фильтра находим с помощью дискретнои свертки: з,„„((ст)= ~ з(тт)д((1с — т)т~. е=О Для нахождения з,„„(2Т) умножаем з(тТ) на «,((2 — т)Т~ и суммируем по всем т (рис. 12,24,а): з,„„(2Т)=з(0)д(2Т)+з(Т)к, (Т)+з(2Т)к, (0)= 1 (0,5) +1 0,5+ + 1 ! = 1,75. Аналогично (рис. 12.24, б) 12.38.
Основываясь, как и в предыдущем примере, на выражении з,,(lст)= х ~з(ит)д, ((Й вЂ” и) т, в=О получаем (рис. 12.25) з(0)у,(О)=2 при /с=О, з(0)уз(т)+з(т)д,(0)=2 при /с=1, з(0) у1 (2Т)+з(Т)д (Т)+з(2Т) д, (О) =О при /с=2, 0 при /с>3. Как видно из рис. 12.25, отклик на каждый отсчет входного сигнала представляет собой за счет рекурсии последовательность затухающих отсчетов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
