Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 27
Текст из файла (страница 27)
« = — сс в,т«г)/зт® У Ът «И «~т 2И =«Ф т,тг т График Ят (в) представлен 1 на рис. 12.4. В данном примере а, /2 = я/7' превышает максимальную частоту спектра Я(в) и отдельные спектры, соответствующие различным значениям и, не йз перекрываются. В полосе частот от — а,/2 до а,/2 спектр Ят(а) практически точно воспроизводит спектр 5(в) (с коэффициентом то/Т при (4=1).
2«о «, 12.2. Спектральная плотность 5(а) исходного сигнала 5(т) в полосе частот от — а„ до а„ Рис. 12.4 изображена на рис. 12.2,б. Пре- небрегая энергией, содержащейся вне этой полосы, находим энергию дискретнзованного сигнала в центральном лепестке спектра Бт(а) (и=О): г г Э = — 5~~(в)Ив-(~~~ — ' — ~ Я~(в)Иа=(Я вЂ” ' Э„ где Э, †полн энергия континуального сигнала г(г). В рассматриваемом примере Э,= (е ")гй=— о и, следовательно, при Уо — — ! В Эо (то/т)г, !/2п 1О-«/!О«!О-в Вг с. 12.3. Основываясь на выражении для Ят (а) )1, з 2.17) и применяя равенство Парсеваля, энергию в и-м лепестке спектра 17б можно привести к виду Э„=Эояпс (пято/Т). Тогда суммарная энергия спектра Яг(оз) дискретизованного сигнала Э =Эо 1 +2 х х ~, 5!пс'(пято/Т)), л=! С помощью выражений 113) ! ! — соя 2х 51пс (х)=- 2 х' ! л~ сол лх л~ лх х~ лл 6 „ л~ 6 2 4 выражение для суммарной энергии спектра приводится к простому результату Э~ — -(то/Т) Э,.
Определим теперь энергию того же дискретизованного сигнала зг (!), представленного не в спектральной, а во временной области. Энергия /с-го отсчета х(/сТ) при длительности то равна тоххЯТ) [изменением х(!) в интервале то пренебрегаем). Тогда Э = ',~ тох'(/сТ)= х=о с — нх' Прн о!Т~1 Э, = то/2п Т=(то/ Т) Э. где Э,=1/2с! — полная энергия сигнала х(!) (см. пример 12.2), Как и следовало ожидать, энергия полного спектра Э совпадае~ с энергией дискретизованного сигнала хт(!). В пределе, при скважности (Т/то) -+ 1, Э вЂ” Э, н эффект дискретизации пропадает !отсчетные импульсы вписываются в сигнал х(т) без пропусков).
6 ® т-~~ 4т Кт+т,л б~+ д2 Рлс. !2.5 12.4. Структурная схема устройства выборки и хранения отсчетов представлена на рис. 12.5,а. Внутреннее сопротивление !77 источника сигнала г; в сумме с прямым сопротивлением замкнутого электронного ключа (ЭК) составляет десятки ом, например /ч+ «,„= = 20 Ом.
Обратное сопротивление разомкнутых ключей Я,ар и входное сопротивление операционного усилителя (ОУ) Тх,. составляют от сотен килоом до единиц мегаом. Диаграмма напряжения сигнала х (/) и напряжения на конденсаторе ис(/) представлены на рис. 12.5,б. При замкнутом ЭК1 (ЭКх разомкнут) постоянная времени цепи заряда конденсатора тз-— (г;+г,р) С должна отвечать условию 1 — е '~'>099, откуда т,/то<1/1п100ж02. Отсюда С<02те/(г;+ +г„)ж1 нФ (изменением х(/) на интервале то пренебрегаем).
1)ри размыкании ЭК1 (ЭКх также разомкнут) постоянная времени цепи разряда конденсатора т„=(Я.,„~~ Я„,„~~ Я„) С=Я,С -т и должна отвечать условию е " '~ 0,95, откуда Т /т, х 0,05. Следовательно, Я должно отвечать неравенству Я, > т,/С = = Т,р/0,05Сх1б0 ком. Время срабатывания ЭК, при включении и выключении не учитывалось. При замкнутом ЭКх напряжение ис(/) обнуляется. 12.5. Применяя преобразование Фурье 11, З 2.б1 к заданному дискретизованному сигналу и учитывая, что спектральная плотность функции Ь(/ †/сТ) равна е '""г, находим я М м Вг(а)= [(/.
Х Ь(г-/Т)1е-™//=и. ~ е-'"'= е= — и х=-и йп [я(2М+ 1) Т/21 яп (а Т!2) Графики Ят(в) прн г/=2М+ 1=9 и Я(еэ) при Т,=/х'Т представлены соответственно на рис. 12.6,а и б. Вид полученной Ят(гл) а) 2Ф 2 -юд -ю О м лЮ Р;к/ч -ша и юю;5,"ч 6 Рве. 12.7 Рис.
12.6 178 объясняется тем, что спектр дискретизованного сигнала равен сумме (с коэффициентом 17'7) смещенных спектров 8(о — п2к/7) исходного сигнала з(г) 11, формула (2.123)). 12.6. Спектральная плотность заданного дискретизованного сигнала определяется выражением (1, з 2.17) Б (е7)= ~ ~за)е акт 7=п и в данной задаче (с учетом формулы геометрической прогрессии 113)) Б (е!) — ~ Ь4е-!™г !де Ь вЂ” е-аг е-0,2 1 Ье-ьт' 4=0 Модуль этого выражения Я7(в)=1!! 1 — 2ЬсозвТ+Ь н модуль спектральной плотности исходного экспоненциального импульса р(~)=1!/рр р !1, р. 23! рр м~~ р .~рр [~ также обсуждение результата решения задачи 12.5) 12.2.
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 12.7. Дискретизованный сигнал, рассмотренный в предыдущей задаче, ограничен длительностью Т,=МТ: К-! зт(!)= 2 е ™гб(7-1тТ), 0</с<4!!' — 1, а=2 104 1~с, Т=10 мкс, к=в Т,=80 мкс, Найти спектральную плотность Бг(в) сигнала зг(!) и дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Я(й) последовательности отсче- т-! % †! тов х(й)= 2 е "г= 2 Ь', Ь=е 'г. Полученные результаты я=в я=я сравнить.
Как изменится Я(л) при уменьшении шага дискретизации Т исходного контннуального сигнала вдвое? 12.8. Показать, что при непериодическом сигнале з(!), заданном на конечном интервале Т, = ХТ, ОДПФ определяет отсчеты сигнала (к(1гТ)=з(14'1), ?с=0,1, ..., А!-1, периодически повторяющиеся с периодом Ж. 129. Найти ДПФ сигнала х(?г)=Аз!и — й, А='1, 0<1<!9'=8. 12.10. Вычислить ДПФ Б(п) последовательности отсчетов отрезка гармонического сигнала л(?с)=Аз1п(е7Т1г), О<?г<А!, %=8, А=1, вТ=(2 2я~Х=к~2; к; 5 2я~)!!=1,25я; 1,5; л~7у=х!8). 12.11. Найти ДПФ сигнала ю(/с) = 7+ 6 соя — й — 0,8 + 1,ч ' +2соа — 3/с+0,5, О</с<Ж=9.
179 9128 8 ао 9) а) 9128 8 914 Ю) ив 912о 91~~ г) 9п 9) 9128 9 Р . ие 180 -299 -199 9 199 г99 ~~Г, Рис. П.9 1 2.12. Найти ДПФ сигнала, рассмотренного в задаче 12.5. Число отсчетов сигнала А1=2М+1=9, нумерация отсчетов: Й=О, 1, 2, ..., Ж-1 (рис. 12.8,а). 12.13. Сигнал из предыдущей задачи дополнен Ф нулевыми отсчетами (рис. 12.8, б): о Ц, при О</с<8, 0 при 9<1<17. Найти ДПФ этого сигнала и сравнить его с результатом, полученным в предыдущей задаче. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ Г2.7.
ДПФ заданного сигнала г(/с) определяется выражением 11, 9 12.4) гл Б(п)= 2, г(/с)е У я=о и в данном примере (с учетом формулы геометрической прогрессии (13]) П- 1,2о 2о ~ Б(п)= х ~Ь "е л' =(1 — Ь ))'~! — бе ~' ). ~=о Сопоставим Я(п) со сплошным спектром Бг(о)) % — 1 Бт(а))= 2 Ь е '"""=(1 — 6 ге ™г))(1 — Ье -ыг) я=о На частотах о)„=п2я/Т, значения спектра 8 (о)„) тождественно совпадают с соответствующими значениями Я(п). Ьг Уменьшение шага дискретизации Т при Т,=соп81 приводит к увеличению вдвое числа 111 как временных отсчетов сигнала кг(1), так и отсчетов его спектра Яг(ез„)=Б(п) (рнс.
12.9). Форма Яг(а) прн уменьшении Т несколько изменяется за счет меньшего перекрытия отдельных спектров $(а-л2я/Т) исходного континуального сигнала длительности Т,. 12.8. Вследствие периодичности функции ~ — ~Й ~' — о 1/с ыФ) е ч =е х' обратное ДПФ в ~ Я(п)е ч = — ~; ь(а)е ч =8(Й+1Л'). в=О л'.=О Аналогично, ДПФ я — ~,Зс„ х(А)е л =я(в+1Ж). к=о Таким образом, ОДПФ определяет периодически повторяющуюся с периодом Ф совокупность ограниченного числа У отсчетов (я(1)) исходного непериодического сигнала.
Напомним, что дискретизация с шагом Т ограниченного по длительности непериодического сигнала 8(г) приводит к периодической структуре сплошного спектра Б (е) с периодом (на оси частот) 2я1Т. В свою очередь, повторение этого дискретизованного сигнала к (г) с периодом Т,=МТ приводит к дискретизации спектра В (о) с интервалом Ла=2я/Т,. 12.9. Основываясь на выражении для ДПФ, получаем а=о Аг 1-е "'" " г-е "'"'" ) -и ~ -ож ~ -ч ч.~аж~' Модуль этого выражения МА~2 при п=И+1, /=0„1, ..., (и) = 0 при других и.
Как и следовало ожидать, полученный результат является периодическим повторением линейчатого спектра гармонического сигнала. 12.10. Представим алгоритм ДПФ в виде У-1 гк „ля-~ $(п)= 2. 8(lг)е У = ~~ зЯсоа — пзбг) — ! „"з(1с)х с=в г=в е=а 18! ь !'— а)=~-'ь„;~еьч~=с()= Яьь.*: ье()=-а~ььЬ. При четном Ж и действительных отсчетах х(сс) $(п)=Ба( — л), а=О, 1, ..., Ь!/2 (1, 8 12.4).
Это позволяет упростить вычисления Б(л) путем расчета коэффициентов а„и Ь„, а=О, 1, ..., Ж/2, с помощью алгоритма БПФ. Сигнальнйй граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени (1, рис. 12.39) изображен на рис. 12.10. Вычисления выполнены с помощью микрокалькулятора «Электроника МК-61» по программе: х- П2 х-ьП5 П-хЬ х- П! 2 П- х9 П- х2 П- хсг + л П8 х- Пб П- х8 П-+хЬ с/и У к а за ни я.
Исходные данные х(7с) (вычисляемые перед счетом с помощью калькулятора) вводятся в регистры памяти КСьО...КСь7 в соответствии с номером отсчета )с=0...7. В этих же регистрах после счета запоминаются выходные данные: аа в КгхО, а, в Кгх1, Ь, в КСь2, а, в КСхЗ, Ьх в КО4, аз в КСх5, Ь, в КСхб, аа в КСх7. Хранение вйходных данных позволяет вычислить 1с йомощью того же калькулятора) значения 5(л) и агдБ(л).
При повторном счете исходные данные х()с) вводят заново. у~~7сГХ-уг аГг84 а и 55а Рис. 12.11 Рис. 12ЛО Результаты вычислений ДПФ о(п) представлены на рис. 12.11. Штриховыми линиями показано периодическое повторение !82 П О П- х2 П-ьх! П- х3 П- х8 П- хс П- х2 П-ьхь7 П- х4 П- хб П- х5 П-ьх7 П вЂ” ьха П-ьхе П -+х5 П- хб а~-ОМ аа 8г4) х)-812) ьх ~')-8Ю ~8)-аа аз х- П8 х-ьПа х- Пс х- Пе х-~П2 х-ьП5 х- ПО 2 П-ьхО П-ьх2 П- х! П вЂ” х3 П -ьх8 П- хс П-ьх2 П-ьх4 П -ьхб П- х5 П-ьх7 П вЂ” ьха П -»хе П- х5 х-+П9 х-пь х- Пь7 х-ьПб х-ьПЗ х- П4 х- П7 П-9 П- хб х-~П2 спектров ДПФ. Полученные результаты наглядно иллюстрируют частотную характеристику устройства ДПФ [1, 8 12.15]. При вТ=п/2 составляющие спектра 5(п) (рис.
12.11,а) попадают на максимумы АЧХ 2-го частотного канала (и=+2) и нули остальных каналов (отсчеты ю(й) соответствуют дискретизации ровно двух периодов отрезка синусоиды). При вТ= к все отсчеты ю(й)=0 (два отсчета на период синусоиды) и, следовательно, спектр ДПФ равен нулю. При замене в выражении ю(й)=Аяп(геТк) функции яп на соа спектральная составляющая (только при а>0) попадает на максимум АЧХ 4-го частотного канала 15(4)=МА=81.
Указанная замена эквивалентна представлению отрезка дискретизованной гармоники в комплексной форме е™г=соВ(еэТИ)+1йп(ь ТК), При озТ=1,25к шаг дискретизации Т (8 отсчетов на 5 периодов синусоиды) превышает максимально допустимое значение к/а. Устройство ДПФ выделяет в этом случае ложные (зеркальные относительно и=+Я/2) составляющие 5(+3)=АЖ!2. Истинные составляющие спектра 1а=+ 5 Ъс~'ХТ) возникают в результате периодического повторения вычисленного ДПФ (рис. 12.11,б). При незначительной расстройке частоты сигнала относительно максимума АЧХ того или иного частотного канала (в данном примере л = 2, в Т= 1,5 ~ л2п/М = к/2 = 1,57) составляющая 5(+ л) = 5(+ 2) несколько уменьшается, а на других частотах спектр не. равен нулю (рис. 12.11,В). При глТ=к18 дискретизации подвергается полпериода синусоиды и ДПФ 5(п) представляет собой отсчеты спектра 5„(оз) дискретизованного синусоидального импульса (рис.
12.11, г). Число отсчетов %=8 в данном случае недостаточно и ДПФ не дает полной информации о спектре. При недостаточном числе отсчетов У это положение справедливо во всех других случаях большого отклонения глТ от центральных частот л2к~Ж, а также при дискретизации импульсных сигналов другой формы. 12Л1. ДПФ суммы двух гармонических колебаний представлено на рис. 12.12. -У-В -В -Е -Г0 1 Б В ВУ л Ряс. 12.12 -Хй/Т Лыр-йВОВц ЗЯр Лги ю 12.12. Подставляя В(/с) в выражение для ДПФ, получаем ы 1 е-~™ 1 1УоФ при п=О, +М, ~2Л1, ..., 1 — е """"" ~ 0 при других л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
