Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 28
Текст из файла (страница 28)
1ВЗ Результат (см. рис, 12.8, в) представляет собой значения сплошного спектра эт(со) дискретизованного сигнала х (г) на частотах т„г в2к/Т,=й2к/ХТ=п»о,//У, и в данном примере при п, пе кратных /У, эти значения равны нулю (см. также рис. 12.6,а и (1, 8 12.15)). Таким образом, в пределах периода Ж лишь одна спектральная составляющая с амплитудой ЮУ отлична от нуля. 12.13. При увеличении числа временных отсчетов с Ж до Л», = =2!х' добавлением А» нулевых отсчетов интервал между соседними дискретными частотами сокращается вдвое. Заменив в ДПФ предыдущего примера период /У на У, =2/!/, придем к ДПФ, которое определяет большее число спектральных коэффициентов (рис.
12.8,г): э(п)=!/О(1-е '"")/(1-е '""'"). Модуль этого выражения Я(п)= тяп(пп/2)/з!п(пк/2/У) представлен на рис. 12,8,г. 12.3. г-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 12.14. Найти г-преобразование Б(х) сигнала х(!)=е"'=екч '"', г>0, дискретизованного с шагом Т. Определить полюсы функции В(г) в трсх частных случаях: р» =О, р, =»з» (О и р, =гоз,. 12.15. Установить, как изменится г-преобразование произ- вольного дискретного сигнала х(/г) в результате умножения его на Е Используя установленную связь, найти г-преобразование дискретного сигнала х,(/г)=/г.1(/с), где ) 1 при /с>0, (О при /г<0 — последовательность отсчетов из единичного скачка х(г) =1, г> О.
12.16. Используя результат, полученный в предыдущем при- мере, найти г-преобразование дискретного сигнала х»(/г =/с'1(/с). )= '( 2.17. Йайти г-преобразование дискретного сигнала х(й.), представленного на рис. 12.13. угяк х. 01284 х дг35 х Ряс. 12.13 12.18, Найти г-преобразование дискретного сигнала х,(/г)= =И» 1(/г), используя известное х-преобразование сигнала х(/с)= =Ь» 1(х) (см. п. 2 решения примера !2.!4). 184 12.19. Установить, как изменится равенство, определяющее г-преобразование дискретного сигнала т(/г)=Ь" 1(/г), в результате его дифференцирования по Ь.
12.20. Дискретный сигнал з(й) = ! (/г), /с=0,1, 2, ..., со прорежен М вЂ” 1 нулевыми отсчетами, в результате чего получен сигнал (рис. 12.14) для М=4 з(т)=! при /с=тМ„ з,(/с)= 0 при других /с. Выразить Б,(:) через г-преобразование непрореженного сигнала х(й)=1(/г). УУУ25~~ Ряс. 12.14 0 У 2 т 4 К л 12.21. Найти г-преобразование последовательности отсчетов из прямоугольного импульса х(/с)= //о, /с=О, 1, ..., /9 в 1, %=9.
Сопоставить ДПФ этого же сигнала (см. задачу 12.12) с найденным з-преобразованием. 12.22. Последовательность отсчетов из прямоугольного импульса х(/г)=//о, /с=О, 1, ..., /т' — 1, /9=9, прорежена нулевыми отсчетами с нечетными номерами, в результате чего получена последовательность 2уУ отсчетов ( 1/О при /' = О, 2, ..., 2 (/!/ — 1), (О при /с = 1, 3, ..., 2Ь/ — 1. Найти --преобразование прореженной последовательности отсчетов.
Сопоставить полученный результат с ДПФ сигнала, рассмотренного в задаче 12.12. 12.23. Найти х-преобразование последовательности конечного числа отсчетов з,(й)=з(/г) /г, где х(А)= ! (/с=0,1, ..., Ж- !)— сигнал, рассмотренный в примере 12.21 (при //О=1). 12.24. Найти отсчеты з(А) сигнала, г-преобразование которого Я (.)=г-=-'+3.-'. 12.25. Найти обратное г-преобразование функции Я(г)= =з ~/(2+0,8) разложением ее в степенной ряд. 12.26. Найти обратное з-преобразование функции Б(а)= =(2а'+ Зг)/(а- !)~ путем использования табличных преобразований. 12.27. Решить предыдущий пример вычислением интеграла обратного г-преобразования с использованием теоремы о вычетах.
1В5 12.28. Найти обратное г-преобразование дробно-рациональной функции Й (г) =(г+ 0,2)/(г' — 1,8г+ 0,8) путем разложения ее на простые дроби и использования табличных преобразований. 12.29. Найти дискретный сигнал, г-преобразование которого: а) Б(г) 0 2:~(г — 0,8)(г — 1)з; б) 8 (г) =(2г + 3гЦг — 1)г (сопоставить с примерами 12.26, 12.27); в) В(г)=(2гг+4г)/(4гг — 5г+1), 12.30. Решить предыдущий пример при Й (г) =(5гг — 1,35г+ 2,25)/(гг — 1,26г+ 0,81).
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 12.14. Основываясь на выражении для прямого г-преобразования [1, 8 12.6), находим. В(г)= Х Б[(ст)г '= Х е""-"=1+с"" '+ е""г 2+...= а о а=о = 1/(1 — е ' г ')=г/(г- е ' ). Полюс функции В(г) расположен в точке г„= е"' . 1. При р =0 г„=1, сигнал г(1)= е ' =1, ~>0, посдедоватеяьность отсчетов г(/сТ)=1, В=О, 1, 2, ..., и г-птреобразование $(г)=г/(г — 1). 2. При р, =о, 01, =О, г„= ео =Ь, где 0<Ь<1 (при о, <О), Соответственно гр)=со г, г)0, г(КТ)= е~ ~Т=Ь', Ь=О, 1, 2, ..., и В(г)=г/(г — Ь).
3. При р,=101, а, =О, г„=еио т Соответственно г(1)=еио', 1>0, г((сТ =еио "т, /с=О, 1, 2, ..., н е)(г)=г/(г — его т). оложение найденных полюсов г„на г-плоскости иллюстрируется рис. 12,15. Рис. 12.15 12.15. Дифференцируя по г выражение, определяющее г-преобразование сигнала г(/с), получаем У (г)= — ,'~„ г(/г)г '~1 = 2 ( †/с)г(/г)г ~ = — г ' 2 аг(/е)г ", "где=о 1 а=о а-о откуда 2 /гг(/е)г "= — ,'~ г(/г)г ' ( — г).
а=о ~1г~ а=о 186 В рассматриваемом примере х(/с)=1(/с), Я(~)=г/(~ — 1) (см. п. 1 примера 12.14) и для х,(й)=1(й) /г Я, (г)= — — ( — г)=, ( — г)г к/(г — 1)2. 12.16. Представим заданный сигнал в виде х,(к)=(1(/с) /с1/с= =ю,(/г) /г (а-преобразование сигнала ~,(/г) найдено в примере 12.15). Тогда, используя методику, рассмотренную в предыдущем примере, находим В,(г)= —, (-г)г к(г+!)/(г — 1) . 12.17. Представляя заданный сигнал в виде суммы (см. рис. 12.13) ю(/с)=к,(/с)+к~(1)=3 1(/с)+1(/с) /1 и используя результаты примеров 12.14 (п, 1) и 12.15, находим Б(г)=Я,(г)+Б,(г)= — + Этот же результат получается при использовании г-преобразования только сигнала ю,(/г)= 1(/г) А..
Из рис. 12.13 видно, что сигнал х(/г) получается из х2(й), если в нем нуничтожить» два отсчета: к(1)=1, к(2)=2, а все остальные сдвинуть на три шага влево. Для з-изображения находим В(г) к- 2к г гз ~(7 — !) ) (к — !) 12.18. Используя результат, получаемый при дифференцировании Б(г) по к (см. пример 12.15), находим 12.19. Дифференцируя обе части равенства ~ ~Ь "г "= — по Ь, к-в (х Ь) получаем Б„,(г)= 2' /сЬ" 'г "= в=а (х — Ь ) ~ (сравни это соотношение с результатом предыдущего примера). Дифференцируя второй раз по Ь, получаем Я„,()= ~ /(/-1)Ь'-' -'= — ", При Ь=! это выражение приводится к виду 187 я (я — 1) в=о — (о ~) Дифференцирование первого равенства по Ь / раз дает (О Щс — 1)...Я вЂ” 1+1)Ь~ 'г и=о (г — о)"' 12.20.
Основываясь на выражении для г-преобразования, получаем. Я ( ) ~ ()„) — х ~ ( ) — тм х~, — тм 1 ~(1 — и) в=о ~=о =о = "'(( -1)=й( "), где Б(г)=х/(г — 1) — г-преобразование сигнала я(/г)=1(/г). Соотношение Я, (г) = В ( ~) справедливо при прореживании произвольных дискретных сигналов. Справедливо и обратное утверждение: если Й,(г)=Б(я~), то их обратные г-преобразования связаны соотношением )х(т) при Й=тМ, (0 при других я.
12.21. Основываясь на выражении для г-преобразования, получаем Ж-1 — М 1 — х х ~(х)= ('о с' г = 11о = ('о 11о ~=о о~ х — ! г — ! Первое слагаемое в правой части полученного выражения есть г-преобразование отсчетов из сигнала х Я = Уо, ~> О, а второе в г-преобразование отсчетов из того же сигнала, задержанного на Ж шагов дискретизации.
Из сопоставления ДПФ последовательности конечного числа отсчетов прямоугольного импульса Я(л)= и~, (см. задачу 12.12) с найденным х-преобразованием В(х) видно, что Я(л) есть значения В(г), равномерно расположенные в Л точках г=еа2"'"'" единичной окружности на плоскости г. Этот вывод справедлив для любых последовательностей с конечной длиной в Ж отсчетов. 12.22. Основываясь на свойстве г-преобразования сигнала, прореженного нулевыми отсчетами (см. пример 12.20), и используя г-преобразование непро~еженного сигнала (см. пример 1221), находим Б(г)= Уо(1 — г о)/(1 — г 2). 138 Из сопоставления ДПФ Б (и) сигнала, рассмотренного в задаче 12.12, с найденным К(г) следует, что значения Я(г), равномерно расположенные в 2% точках х=е!!"'"!" единичной окружности на плоскости х, соответствуют двум периодам ДПФ о(л).
Отметим, что для увеличения числа отсчетов одного периода спектра ДПФ $(л) необходимо добавлять нулевые отсчеты в конце (или в начале) последовательности ю(Й) (как, например в задаче 12.13), Прореживание последовательности х(!г) нулевыми отсчетами не дает такого увеличения числа отсчетов спектра. 12.23.
Используя методику нахождения х-преобразования при умножении последовательности отсчетов на !г, рассмотренную в примере 12.15, находим Я~ (г)= — ( — х)= — ~ — — — х ~( — г)=~ ИЯ(л) и л г и~ ~0 — 1) — г Ж й~а — 1 г-1 ~ ~ (" — 1) (, 1)(1 Л~,-а,,-а ~,, ! .-и я;и ~(-г)= г. (, !)з ~ 1 ) [, 1)г Основные результаты г-преобразований дискретных последовательностей, полученные в данном параграфе, приведены в табл. 1 2. 1. Здесь же (пп, 8 — 1 О) приведены х-преобразования других дискретных функций [! 2 ), часто встречающиеся в практических задачах. Таблица 12.1 12.24. а(0)=2, х(2)= — 1, х(5)=3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
