Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Найти плотность вероятности н математическое ожидание выходного процесса. 11.5. На двухсторонний ограничитель с характеристикой, приведенной на рнс. 11.1 (а=0,5 В, 6=1 В), действует нормальный !б2 Рнс. 1!.2 Рнс. 11.1 случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 1 В'. Найти математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе ограничителя.
11,6. Найти математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе нелинейного четырехполюсника с характеристикой, изображенной на рис. ! !.2, при входном воздействии в виде синусоиды со случайной фазой; амплитуда постоянная, равная 2 В. 11.7. На идеальный двухсторонний ограничитель с выходным напряжением +2 В подается нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием. Определить характеристическую функцию выходного процесса.
11.8. На нелинейный элемент с характеристикой у=ах' подается нестационарный процесс вида х(!)=Р(!) +Ьсоз|10 где с,(1)— стационарный нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и дисперсией о'. Записать выражение для одномерной плотности вероятности выходного процесса. 11.9. Процесс х(1) с равномерной плотностью вероятности в пределах +1 В и независимыми значениями подается на нелинейный элемент с характеристикой у=ах', а=2 В '.
Определить двумерную плотность вероятности процесса на выходе. 11.10. На квадратор с характеристикой у=ах2 (а=0,2 )/В) воздействует гауссовский случайный процесс с корреляционной функцией А (т)=о2ехр( — ск!т/), где о„=0,5 В; п=)04 |/с. Определить спектральную плотность мощности выходного процесса. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЪ| 11.1. Вначале запишем плотность вероятности входного процесса ) с/2Ь, — Ь<х<Ь, (О, !х!>Ь; Ь= ! В. Величину с определим из условия нормировки р (х) с/х а|х (Ь +Ь) |, 163 т . е. с=! и р(х)=1/(2Ь). Обратная функция для характеристики у=ахз двузначна: х=+ ~Уу/а, а у'(х)=2ах и ) 05 В ', — 1 В<х<1 В, (О, !х!>1 В.
Поэтому ) 1/2 4,2у, 0<у<0,2 В, р('~ (о, у<о. При у — 0 Иу/Их -+ О, чем и объясняется обращение р (у) в бесконечность в этой точке. 11.2. Плотность вероятности выходного процесса " (- ' !'"(-')Й= — ехр 1 — ! 2,5 (1п 2у) ' ), —. 2 0,365у ' в' 11.3. Огибающая нормального случайного процесса распреде- лена по закону Рэлея —,ехр — —,, А>0, О, А<0, из чего следует, что ~ ! / Е ! р(А )=р(х)= О, 2<0, т.
е. распределение экспоненциальное. 11.4. Плотность вероятности !б4 1 ! -у/!2аа') -6(у)+ е, у>0, р(у) 2 2е /2кду О, у<0. Математическое ожидание ОЭ ~Ю Г щ ур (у) Ау е а 2а'~!у ,! 2е /2я а — Ю о Обозначая /у/а =г и используя табличное значение интеграла (13, 3.461.2) хгехр( — Ь х )йх= /, при Ь>О, о получаем т,=аог/4=1,12 В. 11.5. Вследствие симметрии входного распределения и нечет- ности характеристики ограничителя очевидно, что математическое ожидание выходного процесса равно нулю.
Линейной части характеристики ограничителя соответствует усеченное гауссовское распределение в пределах +Ь, а горизонтальным участкам— дельта-функции с коэффициентами, определяемыми площадями входного распределения при ~х~>а.
Таким образом, плотность вероятности выходного процесса й / оь,,ь ехр( — —,,/ь, — Ь<у<Ь, [, 2Ь~а~/' Я(а)б(у — Ь), у=Ь, Я(а) 6(у+Ь), у= — Ь, О, 1у!>Ь, Р г à — '12 где Я(а) = р (х) Их =Ф (оо) — Ф (а/Ь)' Ф (г) = — ~ е ь/х — интег/го -а о рал вероятности. Второй начальный момент при т,=О равен дисперсии тг,— — угр(у)Иу= Я(а)Б(у+Ь)уЫу+ Б(а)б(у-Ь)угс!у+ ~Π— ~Э ь ь ь ь ьз + у ехр( —,~,) Му=23(а)Ьг+2 )уг — ехрх Ьа /гя, 2Ь'а') ,1 Ьа /гх — ау.
165 Интеграл в формуле для т2„не выражается через элементарные функции. Однако, учитывая, что нормальное распределение достаточно полого вблизи нуля, можно аппроксимировать р (у) при ~ у( <Ь равномерным распределением (это допустимо при а<о). Тогда р(у)= — „,Р-~(п)1 -Ь~у~Ь' у',', Р— г~(а)1 (у=',* Е(-М(аП о Окончательно получаем т„=о„' =25(а) Ь'+ — (1 — 2Я(а)) =0,73 В'. Интересно отметить, что больп2ая часть мощности процесса в данном случае обусловлена значениями +Ь, а не промежуточными значениями. 11.6.
Так как выходной процесс представлен только двумя значениями: 0 и 2 В, то р(у)=-Ь(у) + -Ь(у — 2); т,= 1,33 В; ! 2 2л„=2,66 В2; ст~=!,33 В'. 11.7. Для идеального двухстороннего ограничителя 1 2,х>0, у(х)=2я8пх=~ ( — 2, хсО. Плотность вероятности р(у)=-Ь(у — 2) + — Ь(у+2). Характеристическая функция распределения процесса у(г) определяется выражением (1, 9 7.6) 0 (Ч) = р (у) е'"'21у = — Ь (у — 2) е'""Ыу+ — Ь (у+2) е"Му. ( 2 2 Используя фильтр ующее свойство Ь-функции (1, формула (2.9!)), получаем 0(Ч)=-е '2ч+ -е'2ч=соз2Ч, — 12 1 ~2 2 2 11.8.
Функция Ь сов й2 является математическим ожиданием заданного процесса, поэтому его плотность вероятности выражается в виде ьь у)* ~)= р р1- —.)*-Р~ Р2~!'). ( рр уу222 1 2а~ Используя (11.6) (1, я 11.1), получаем р)у,г)- ( р(- —,()- — р руй~))р «р(- —, х — — — Ьсовй! Таким образом, выходной процесс является негауссовским и нестационарным. 11.9.
При независимых значениях х„хг двумерная плотность веРоЯтности Р(У„Уг)=Р(У,)Р(уг), Для у = ах плотность вероятности ! и О, )у(>2 В, Их где Ь=! В (см. задачу 11.1). Тогда ! „, „„-2 В<у<2 В, р(у у ) — У! У2 О, (у)>2 В. 11 1О !гу ( ) цг 42,б(г ) +дг .4,! )(4 г+ г) Ш-з2 Ь(„з) + +10-з,4.10 4)(4.10-в+аз ) Вг/Гц (! я 1! 3 11.2. ВОЗДЕЙСТВИЕ УЗКОПОЛОСНОГО ШУМА НА АМПЛИТУДНЫЙ ДЕТЕКТОР 11.11. На диодный одиополупериодный детектор подается нормальный случайный процесс х(Г) с корреляционной функцией Я„(т)=9е ®~ !'сов!Опт, Вг.
Диод имеет линейно-ломаную вольтамперную характеристику, внутреннее сопротивление диода Я)= = 100 Ом. Параметры нагрузки детектора: Я = 100 кОм, С = =1000 пФ. Найти математическое ожидание и дисперсию выходного процесса г(г). 11Л2. Пользуясь данными предыдущего примера, найти плотность вероятности выходного напряжения детектора при квадратичной вольт-амперной характеристике диода у=ахг, а=2 мА/Вг.
)67 11.13. На вход тракта, состоящего из идеального одностороннего ограничителя и идеального ФНЧ с частотой среза 0=2 !О' рад/с, подается нормальный процесс х(1) с корзпеляционной функцией Я„(т)=4ехр ( — !3'т') сов )О'т, где !8= (О (/с. Определить математическое ожидание выходного процесса г (1) и построить графики плотностей вероятности и энергетических спектров на входе и выходе ограничителя у (1), а также.
на выходе ФНЧ. и~~грр у -и 0 й мр 2ьр ы р1 Р Н.з Р 0 а 11.14. Решить пример (!.(3 при замене одностороннего ограничителя устройством с характеристикой у=1х~. 11.15. На вход линейного детектора подается узкополосный гауссовский процесс х(г) с равномерным в полосе Л/=(О кГц спектром И"0 - — !О 4 В'/Гц при центральной частоте А — — (О МГц.
Постоянная времени нагрузки детектора ЯС=20 мкс. Определить плотность вероятности процесса на выходе детектора г(г) и его спектральную плотность мощности. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 11.11. Так как Я/Я;= !О' 10 з» ), то угол отсечки 0 близок к нулю и сов 0 !; следовательно, при выполнении условия 2к/1в0«ЯС«2к/й !1, З 8.9] на выходе детектора воспроизводится огибающая входного процесса 2(~).
Поскольку огибающая имеет рэлеевское распределение, то т, = 1,26о„= 2,52 В, аз = 0,43а~ = =0,86 В~ (см, решение задачи 4.9). 11.12. Прн квадратичной характеристике диода и выполнении остальных условий задачи выходное напряжение пропорционально ! 68 квадрату огибающей [1, 8 11.41. В этом случае т,=ао„'Я=8 В; о~ =аза4Яз 64 В~ 11.13. Так как частота среза ФНЧ удовлетворяет условию р ~ Й ~ еэ~, то на выходе фильтра выделяется постоянная составляющая ограниченного сигнала, пропорциональная огибающей: У ~г) = КоссоА (г), где ае — коэффициент Берга.
Для идеального ограничителя без смещения угол отсечки О=к/2, следовательно, ит — — 0,32. При этом т,=1,26а„ив= = 0,57 В; а/ = 0,43о„'а~в =0,88 В . Графики плотностей вероятности и энергетических спектров процессов приведены на рис. 11.3. 11.14.
По сравнению с однополупериодным при двухполупериодном выпрямлении удваиваются постоянная составляющая и среднеквадратическое значение, а в спектре остаются только полосы с центральными частотами, кратными четным значениям несущей частоты. 11Л5. При выполнении неравенства 2я/1О'»ЯС»2я/10~ огибающая процесса, выделяемая детектором, распределена по закону Рэлея 11, Ч 4.6) — ехр — —,, г>0, Ик) = О, ~<0, где о.з И~о Л./= 1 Вз Ковариационная функция процесса г(г) приближенно описывается выражением 11, формула 14.77)1 где г (т) — огибающая корреляционной функции х(~). Для процесса с равномерным в полосе Л/ спектром 11, табл. 2.11 «„(т) = 1з)п яЬ/т)~/я/3/ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
