Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Однако в данном примере начиная с момента /=2Т эти отклики взаимно компенсируют друг друга. Этот же результат непосредственно следует из разностного уравнения фильтра (см. условие задачи 12.3б), так как при /с>2 з,„„(КТ)=з,„„[(/с — 1) Т'3=0. 12.39. Ответ представлен на рис. 12.20,б (см. также решение задачи 12.34) 12.40. Подставляя в выражение з.„„(lст)= "~" з(тт)ц, ЦЙ вЂ” и) Т~~ т=О отсчеты входного сигнала и импульсной характеристики фильтра я,(/ст) из задачи 12,3б, получаем ,,' ь, ь»1-(ь/ь,)'" ь',"-ь" ' 1-Ь/Ь, Ь,-Ь = — (0,8»" — 0,5 '), /с=О, 1, 2, 12.41.
Отклик фильтра на единичный отсчет 6, ()сТ) равен я,(/ст)=Ь»1 ЦКТ) (см. решение задачи 12.3б). При воздействии на входе периодической последовательности единичных отсчетов выходной сигнал на основании принципа суперпозиции з,„„ЯТ) = ~х, я, ~(/с+ /М) Т3' = ,"~„Ь",+'"'1 Цс+ Щ Т~ = ! = — сс ~= — ~ю =~)(/+ь/) Т1. Для одного периода этого сигнала (0</с(Х) ~(/т)=ь", ~ ь',"=ь»/(1 -ь,) 8-637 Сравнение полученного результата с импульсной характе» ристикой фильтра (см. задачу 12.36 и рис.
12.19) показывает, что при любом /г в пределах О</г<Ь/ отсчет сигнала на выходе при заданном периодическом воздействии в (1 — ЬЯ) 'ж1,2 раза больше соответствующего отсчета импульсной характеристики, что объясняется наложением «хвостов» от откликов на предыдущие единичные отсчеты.
12.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ. ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ 12.42. На вход дискретного фильтра с импульсной характеристикой я,(/гТ)=б,(/гТ) — 6„~(/с — 1) Т3' (см. рис. 12.16) поступают отсчеты взятые с шагом Т=1 мкс из сигнала х(/)=е ", />О, и = 5 10 1/с. Найти сигнал на выходе фильтра с помощью г-преобразования. 12.43. На трансверсальный фильтр первого порядка (см. рис. ! 2.16) поступает шумовая помеха х (/) (эргодический случайный процесс) с корреляционной функцией К(т) = о„'е '"'~', М(х(/)1 =0, дискретизованная с шагом Т. Найти корреляционную функцию Я,(ЙТ) и дисперсию сгу2 отсчетов помехи на выходе фильтра.
Определить коэффициент ослабления помехи в фильтре. Параметры помехи: п=20 мс, о2=10 4 Вз, шаг дискретизации Т=2 мс. 12.44. Решить предыдущий пример при спектральном представлении передаточной функции и входного шума. 12.45. На трансверсальный фильтр второго порядка с импульсной характеристикой я, (/с Т) = б, (к У) — 26, [(/с — 1) Т)+ б, ((/с — 2) Т3' поступают отсчеты шумовой помехи, заданной в двух предыдущих примерах. Определить коэффициент ослабления помехи в фильтре и сопоставить с найденным в примере 12.43. 12.46. Определить передаточную функцию фильтра, структурная схема которого изображена на рис. 12.19. Найти сигнал на выходе фильтра при входном сигнале я(й)=е '«~=Ь», е "т=Ь<1„ /г>0. 12.47.
Найти с помощью г-преобразования сумму целых чисел до нуля до /г я„(/г) и сумму их квадратов л,(/г). 12.48, Сигнал на выходе фильтра при воздействии я(/г)=1(/г) равен я.„„(/с~=(1 — Ь") 1(/г), 0<Ь<1. С помощью метода з-преобразования йаити передаточную функцию фильтра и построить его структурную схему.
12.49. На вход трансверсального фильтра, передаточная функция которого К(з)=2 — х ' +2г 2, подан сигнал л(/г)=Ь".1(/г), Ь=0,8. Найти сигнал на выходе фильтра. 12.50. Алгоритм работы трансверсального фильтра описывается разностным уравнением л,„„(к)=0,5з(А)+х(/с — 1)+0,5я(/с-2).
198 бк 08 б,-й8 а,-г,8 Гг) Рис. 12.26 Ряс. 12.27 12.55. Найти передаточную функцию рекурсивного фильтра, структурная схема которого представлена на рис. 12.27. Построить структурную схему заданного фильтра в канонической форме и составить его разностное уравнение. 12.56. Структурная схема фильтра, состоящего из последовательного соединения двух фильтров первого порядка (трансверсального и рекурсивного), представлена на рис. !2.28. Составить Т) б,-й8 Р .
12.28 а- 1 разностное уравнение фильтра, найти его передаточную функцию и представить структурную схему фильтра в канонической форме. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 12.42. Передаточная функция фильтра й(г)= ~ ~8, (7оТ)г '= г=о 199 Найти импульсную характеристику и передаточную функцию фильтра. Построить АЧХ фильтра. 12.51. Найти и построить АЧХ трансверсального фильтра, алгоритм работы которого описывается разностным уравнением з,„, (lс) = — 0,5з Я+ и (7г — 2) — 0,5з (7г — 4). 12.52.
Передаточная функция цифрового фильтра задана своими нулями и полюсами на -.-плоскости: го, =О, гог з — — +0,51, г„, = 0,8, г,г з — — 0,6 ехР(+ 1Я/3). ПостРоить стРУктУРйУю схемУ фильтра в прямой, последовательной и параллельной формах. 12.53. Выбрать параметры цифрового резонатора (рекурсивного фильтра второго порядка), резонансная частота которого оз = 2я75 Т, а относительная полоса пропускання по уровню половинной мощности 2Ло~а,=0,01.
12.54. Найти передаточную функцию цифрового фильтра, структурная схема которого представлена на рис. 12.26. б-г =1 — г '=(г — 1)/т, г-преобразование входного сигнала ~(т)= =т/(т — е '~)=т/(т — Ь), где Ь=е "т (см. п. 2 в примере 12.!4), Таким образом, Й,„„(т) = $(г) К (т) =(г — 1)/(г — Ь). Отсчеты сигнала на выходе фильтра находим с помощью обратного т-преобразования. Представляя Й.„,(х) в виде $,„„(г) = — — — г е т х — Ь г — Ь и используя табличное преобразование (и. 4 табл.
12.1), получаем и,„„(/сТ)=Ь" 1(!с) — Ь" ' 1(/с — 1)=[(1+Ь') — Ь~ '3.! (/с — 1)=1— (! Ь) Р— 1, ! (/с !) ! (! е-'т)е-"и-цт. ! (/с При ссТ~к! 1 — е 'тж! — (1 — пТ)=ссТ. Таким образом, при ссТ((! отсчеты з,„„(/сТ) 1 — аТе ' "т 1(/с — 1) являются отсчетами производной сигнала х(с). Как и в примере 12,32, убеждаемся, что фильтр с импульсной характеристикой 8, (/с Т) = =б,(/сТ) — б, [(/с — 1) Т)' по существу является дифференцирующим устройством. 12.43.
Основываясь на алгоритме работы фильтра у (п Т) = =х(пТ) — х[(п — 1) Т' и на стационарности процесса х(с), находим корреляционную нкцию отсчетов помехи на выходе ультра тст((сТ) =(х(пТ) — х [(и — 1) Т1) (х [(и+/с) 7!' — х [(п+/с — 1) Т3) = = х (п Т) х [(п+/с) Т)+ х [(п — 1) Т3' х [(п+/с — 1) Т 3 — х(пТ) х х х [(п+/с — 1) Т1 — х [(и — 1) Т Зх [(п+ /с) Т 3= тс, (/с Т) + Тс„(/с Т)— -Л„(/ - !) Т]-Я„[(/+ !) Т1 =М„(/ Т) — М„[(/+ !) т~. исперсия отсчетов помехи на выходе фильтра (/с=0) а~= =Я,(0)=2Я„(0)-2Я„(Т)=2ст~[! — т„(Т))', где г„(Т)=Тс„(Т)/о~= =е ('г'Я) ъ0,906.
Окончательно сг~=2ст~(! — 0,906)=0,188о1=0,188 10 ~ Вт. Мощность помехи ослабляется в фильтре приближенно в 5,3 раза. Заметим, что в случае белого шума х(~) имело бы место не ослабление, а увеличение дисперсии в два раза. 12.44. Сначала находим спектральную плотность входного шума И'„(со)= ( Я„(т)е '"*с/т=2ст„' ! е С"~'Рсовсотс/т= И'ое "~, ОЭ о где И' =схст„'/ lл; Г=а~2л (13, с. 494).
АЧХ фильтра получаем нз передаточной функции К(г)=1-г (см. пример 12.42) после подстановки г=е'"~: 200 !К(сыт)!=[1 — е ь'г[=2[з1п(гвТ/2)~ Дисперсия шума на выходе фильтра в~/2 сО ог ЦР (ге) ~ Кеыг! за!гв 0 е "а'г' з1пг (нЯТ) ~/(2н1с) (предел интегрирования гв,/2 заменен на оо, так как И'„(а,/2)ъО). Используя табличный интеграл [13„3.89б.4) (е Р' созЬх0х= ~/л/4~3ехр( — Ьз/4Щ, о находим ог 2 И~ ч'~(! е-!лги)') откуда после подстановки числовых данных з 0188 г 0,188.10-4 Вз Полученный результат, как и следовало ожидать, совпадает с дисперсией а,', найденной в предыдущем примере по корреляционной функции отсчетов выходного шума.
12.45. Заданный фильтр может быть представлен каскадным соединением двух трансверсальных фильтров первого порядка [1, п. 12.8.3). Таким образом, ) К (е'"г) [= [2 ( яп (аТ/2) Ц' = 4яп' (гвТ~/2). Дисперсия шума на выходе фильтра м,/2 о„'=- И'„(в)!К(е'"~)~~йо= — ' е "~ ьт (кГТ)й(2тЯ. ! ! . г Подставив з1п~х=- — -соз2х — -з1п'2х и вычислив табличные 2 2 4 интегралы [13), получим а,'=8И~„— 1 — е 1"~~"1 — -(1 — е 1~'~~"1) ж0,0995оз 1О ' Вз а ~ Ослабление шума в рассмотренном фильтре примерно 1О, т.
е. вдвое больше, чем в фильтре первого порядка. 12.46. Передаточная функция фильтра К(.)= ~ Ь",.— = 1/(1 -Ь,.— )=к/(:-Ь!). 20! На выходе фильтра 2-преобразование сигнала Я,„, (г) = = ~2/(г-ЬЦ ~гф — Ь,)~. Сигнал на выходе находим с помошью табличного преобразования (см, п. 10 табл. 12.1). С учетом опережения на один шаг получаем ь ь (см. также решение примера 12.40). Особый интерес представляет частный случай Ь=Ь,.
Раскрывая получающуюся в этом случае неопределенность, находим з, „(/г)= =(1+1)Ь" 1(/г). Для получения сигнала на выходе фильтра в виде з,„„(й) =И".1(/г — 1) требуется введение задержки Т н умножение на Ь=Ь, (точка / в схеме на рис. 12.19). При Ь=! (Ь,<1) з,„„(/с) = — ' — 1 (к), а при съеме выходного сигнала в точке 2 (см. рис. 12.19) з,„„(/г)= ' 1(й-1).
Прн Ь,-+1 (Ь=1) х,„„(й)=/с 1(/с-1) (в точке 2, совпадающей с точкой /). Таким образом, рассмотренный фильтр реализует умножение заданной последовательности входных отсчетов х(Й)=Ь 1(/г) на Й. 12.47. Представляя сумму целых чисел от 0 до /с в виде дискретной свертки функций з(/с)=/с 1(/с) и я(/с)=1®: з (Й)= 2 т=яЯ)*дЯ= ~~> т.!(й — ги) а=О ~=О и переходя к =-преобразованию, имеем (см. пп. 1 и 2 табл. 12.1) Й,(г) =Б(г) с(г) = Используя табличное преобразование (см. п. 6 табл. 12.1 при Ь=1), получаем 2 ( ) 2 Аналогично сумма квадратов целых чисел з, (/г) = ~йз х х 1(/с))О1(/с). Для г-преобразования имеем (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
