Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 33
Текст из файла (страница 33)
После приведения знаменателя К(р) к виду (Р— Р гМ-Р'„!)=Р— 2не(Р ! г)Р+!Р, г!'=Р +,,l2а,р+а, запишем передаточную функцию фильтра в форме К(р)=аг/(рг+ /2а,р+а~). Непосредственно нз схемы (см. рис. 14.1) вытекает соотно- шение К(р)=5/1У, (РЯУ, (р)+У,(р)+Я~. Таким образом, приходим к равенству 5Д ~12(Р) Рг !. /2,, +„, г„(Р)+Х,(Р)+Л' Это равенство может быть удовлетворено только при У, (р/=1/Ср, Х~(р)=1р и БА=1. При этом ! /2 С ( ) Рг+(Я~ЦР!. 1/ЬС Сопоставление приведенных двух форм функции К(р) позволяет определить параметры синтезируемого фильтра: 1/ЕС=(2я/;)', 2.=Я/( /2а,), С=1/(агг.). При /;=104 Гц и Я=10! Ом получаем А=0,11 Гн, С= =7 10 Ф. 14.6.
Передаточная функция фильтра, представленного на рис. 14.2 [1, ~ 15.6], Ко/Л, Лг С, Сг ! ~ягСг С, 1 Р + [ + +! Хо/Р! Л,С,[,Л,С, С, / лясс, Как и в предыдущем примере (фнльтр Батгерворта второго порядка), полюсы этой функции р„, г — -( — 1/ /'2 к!/ /2)а, и переда- точная функция должна иметь вид 2!6 К(р) а'/(р'+ /2в р+в') Приравнивая знаменатели в приведенных двух выражениях для К(р), получаем следующие условия для определения основных параметров схемы: 1/(кк2Сгккг С, )=в.', — ( — ~ — г.~ — К,)= 'гк.
! ~яг сг сг я,с,(,я,с, с, При наложенных условиях Я,С2ж1/а, и С2/С, =0,4 из первого равенства находим )1, С, -Я,С, = 1/в„а из второго Ко = 1+ +С2/С, +1 —,„/2ж1. Как видим, в данном устройстве назначение операционного усилителя заключается лишь в осуществлении глубокой отрица- тельной обратной связи. В частном случае при С,=О,О! мкФ получаем С,=С,/04=0025 мкФ, Юг=1/а,С,=63б Ом, К,=25Я,= =1270 Ом.
При р=О (т. е. на нулевой частоте а) К(р)=1. 14.7. Передаточную функцию ФНЧ Ваттерворта третьего порядка сначала запишем в общей форме А (Р Р г)(Р Р г)(Р Ркг) где р„= — в,; р„, = ( — 0,5+1 „/3/2)а„р„, = р'„, = ( — 0,5 — / ~Ъ/2)а, [1, з 15.5). Переписав затем эту функцию в виде произведения будем трактовать К(р) как передаточную функцию каскадного соединения двух развязанных звеньев с передаточными функциями К, (р) = А, /(р — р„, ) = А, /(р+ ак) и Кх (р) = =А1/(р' — 2Ке(р„2 з)р+1р, 1"). При А,=1/Я,С, и Я,С =1/а, первая функция реализуется звеном первого порядка )1„С,.
При съеме напряжения с конденсатора С, ~/я,с, ~/с,р Р+~ Я,С, и,+~/СР Вторая передаточная функция К, (р) = А,/(р'+а,р+а,') при полюсах р„,л— - ( — 0,5+/ ~3/2)в, реализуется звеном второго порядка, схема которого и параметры совпадают с приведенными на 217 рис. 14.2, однако параметр операционного усилителя Кв должен быть примерно 1,4 (а не 1). При А,=а, К,(0)=1, а также К(0)=К,(0)К,(0)=!.
14.8. По своей структуре фильтры Чебышева н Баттерворта совпадают. Для перехода от фильтра Баттерворта к фильтру Чебышева требуется лишь изменить сопротивления резисторов Я, и Я~ (или емкости конденсаторов С, и С ) в схеме рис. 14.2, а также несколько изменить коэффициент усйления Кв (операцион- ного усилителя) в соответствии с новыми полюсами передаточной функции. Для фильтра Чебышева второго порядка при заданной неравномерности АЧХ (не более 3 дБ) полюсы р„,=( — 0,322+ +/0,777)со„р„, =р'„, =( — 0,322 — !0,777)гв, [1, 8 15.71.
При этом К (р) = 0,708/(р'+ 0,645р+ 0,708). Приравнивая, как и в примере 14.6, соответствующие коэффи- циенты полиномов в знаменателях передаточных функций, полу- чаем следующие условия для определения параметров активной ЯС-цепи: 1/(Я,С, А,С,)=0,708ш„ Я~С~1 Я,С, С, Сохранив соотношения, принятые в примере 14.6 для фильтра Баттерворта (Я,С 1/а„С /С, =0,4), получим Я,С, = '2/а„ Ко=1/ /2+Сг/С~+1 — 0,645ъ1,46.
При Сх=0,01 мкФ и С,=0,025 мкФ Я,=1/а,С~=1600 0м, Я,= 2/еэ,С,=900 0м. 14.2. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ПО АНАЛОГОВОМУ ПРОТОТИПУ 14.9. Задан аналоговый фильтр нижних частот в виде простой ЯС-цепи со съемом напряжения с конденсатора. Передаточная функция цепи К,(р) = 1/(1+ тр), постоянная времени т = 4 мс. Основываясь на дифференциальном уравнении цепи, определить структуру дискретного фильтра при шаге дискретизации Т=! мс. Оценить отклонение АЧХ Кт(га) от К,(гв) на частоте ~= 500 Гц и расхождение импульсных характеристйк я (/г7) и «,(!) к моменту времени 1=т. 14.10.
Синтезировать цифровой фильтр с импульсной характеРнстикой 8г(/гТ), точно совпадающей с отсчетами Я,(/гТ) импульсной характеристики из предыдущего примера. Сопоставить АЧХ цифрового и аналогового фильтров. 14.11. Синтезировать цифровой фильтр, инвариантный относительно импульсной характеристики аналогового ФНЧ Баттерворта второго порядка с частотой среза /; = 10 Гц. Частота 2!8 дискретизации 1/Т=10" Гц.
Сопоставить АЧХ цифрового и аналогового фильтров. 14.12. Синтезировать цифровой фильтр, инвариантный относительно АЧХ аналогового ФНЧ Баттерворта второго порядка с частотой среза /;= 10 Гц. Частота дискретизации 1/Т= 10~ Гц. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 14.9. Дискретизация уравнения <й,„„(!) ! ! — -!- — и, „(!)= — е(!) а ЯС В~х ЛС с шагом Т приводит к разностному уравнению 11, 915.12] и,„„(тТ)= е(тТ)+ — и „(тТ- Т), 1 =ЯС. (з+т) х+т '"* е!г/ Рис. 14.5 Этому уравнению соответствует рекурсивный фильтр первого порядка с передаточной функцией Кт (р) = ач/(1 — Ь, е "т ) (рис.
14.5) и импульсной характеристикой дг(/гТ)=Ь"„где а=; Ь,= Т/т ! ! + Т/х ! + Т/х Амплитудно-частотная характеристика дискретного фильтра приводится к виду Кг (гв) а импульсная характеристика — к виду Яг (/гТ) = 1/(1+ Т/т)' [1, 9 15.12!. Соответствующие характеристики аналогового прототипа: к,! )-|~,ЛТ! )*;,.~=- ч'. При со=2к 500 рад/с Ктж0,11, а К.ж0,08. В момент 1=т=4Т Ят=041, а тЯ,=е 'ъ0,37.
14ЛО. Импульсная характеристика данной аналоговой цепи Я.(!)=-е ". По условию импульсная характеристика цифрового фильтра должна представлять собой последовательность 1, е е ~т',... (постоянный коэффициент 1/т опущен). Применив к этой 2!9 последовательности х-преобразование, получим передаточную функцию К Ц=1+е-г! х-«+е-зтл~-2+ — )/(1 е-гл,-«),/(х е-го) имеющую полюс г„=е т'=ерш". Как и в предыдущем примере, полученной функции К (г) соответствует рекурсивный фильтр первого порядка, однако полюс г„связан с полюсом р„= — Т/т аналоговой цепи стандартным к-преобразованием: к„=е'~~. При этом импульсные характеристики ат(/гТ) и я,(~) совпадают при любом шаге дискретизации Т. Амплитудно-частотные хаРактеРистики Кг(гоТ)=1/ 1+е 'гл — 2е ~!*.созпТ и К,(со)= -!/ Л+(и)' уш р а ~!а 14.11.
Как и в предыдущем примере, решение основывается на методе стандартного к-преобразования. При заданной передаточной функции аналогового прототипа К(р)=а,'/(р'+ /2а,р+а,') с полюсами р„„о=(1/ /2+1/ /2)со, (см. пример 14.б), импульсная характеристика фильтра с.«! !!! я,(~)= — К(р)е«'4~= — '(е«вп — е«Р)= с-!!!! = /2в,е " '~'яп(со,|/ /2). По условию импульсная характеристика цифрового фильтра должна удовлетворять требованию, чтобы яг (й Т) = я, (/сТ) = Ф =(1/2«)(е«п™-е«„«!«) (постоянный коэффициент /!2оэ, опущен).
Применив г-преобразование к последовательности я ЯТ), /с=О, 2, ..., получим передаточную функцию искомого филь- тра Но е "' =г„, и е" =к„', есть не что иное, как отображения точек р„, и р„', из р-плоскости на г-плоскость. Очевидны следующие выражения: 220 к„, г=е " ~" (сов(а,Т/ /2) ~/з(п(а.Т/ /2)~. Подставив в последнее выражение значения р„, и р„'„после несложных преобразований получим л К(е)=а1к '/(1 — Ь~г ' — Ьтк '), где а~— - е м'™ цп(а,Т/ /2 ); '2а т = — е л Данной передаточной функции К(к) соответствует структурная Ь,=2е ' ~ сов(а,Т//2); Ьг= схема фильтра, приведенная на рис. 14.6. Для посгроения АЧХ р .мь ми вычислениями.
Задача упрощается при представлении передаточной функции в форме К(г)=и,. е~ г К(е'"")=а, ) ( ~ т )(еи~~ ° ) когда ! К (е'"т) ! = ! а, !/(Я„Я„2). При этом вычисление АЧХ сводит- ся к измерению расстояний Я„=!е'"~ — е„,! и Я,2 — — !е'"~ — к„',! от точки е'" (на окружности !к!=1), соответствующей углу аТ, до полюсов е„, и г,',.
На рис. 14.7 показано положение полюсов тЛ/ ат .. в,тЪ е„,, = е ~сок — ' + / з!и — ' /! иа е-плоскости прн а, Т/ /2 = /2 /2 =О,! 2к/ /2 и проиллюстрирован смысл Я„, и Я„,. л Результаты вычисления ! К (е'"т) ! = Кт(аТ) приведены на рис. 14.8. На том же рисунке представлена АЧХ аналогового гг! следует положить 2=е'"г и определить ! К (е'"т) (. Прямое вычислел ние модуля приведенной выше функции К (г) связано с громоздки- а Ха~ Д2~М З22 аа ~~ ! ( д 1 2 Т 4 ~гас Рве. 14.8 Ф- к.( ~.)=н Т+м У-~~ .
Можно отметить значительное уменьшение крутизны спада ~Кг(вТ)! по сравнению с !К,(соТ)!. 14.12. Для приближения формы АЧХ цифрового фильтра к форме К,(гв/га,) используется дробно-линейное преобразование г=(1+р)/(1-р), р=(г — 1)/(г+ !), в результате которого АЧХ К,(а~а,), сохраняя масштаб на оси ординат, сжимается в пределах — к<гаТ(л. Связь между абсциссой в„Т функции К(ех,Т) и абсциссой в/в, функции К,(а/со,) определяется соотношением 11, 9 15.13) а„Т= 2 агсгя (в/йо), где йо — нормирующая частота, обеспечивающая требуемое соответствие между какими-либо характерными частотами передаточных функций аналоговой и цифровой цепей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
