Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Графики функции 1п!$,(е™~)!' (а) и кепстра С,2(т) (б) при и=0,8, т =10 представлейы на рис. 15.17. 1п~ а~(е'7) ~ -а~~2 я „я 2/Я д~ 15.15. Кепстр мощности исходного сигнала вычисляется по формуле С„(т)=И (т (см. решение 15.9 и рис. 15.11), а кепстр С,. (т) следует перенести с рис. 15.17,б.
15.4. ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛ/ШУМ НА ВХОДЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПРИ КЕПСТРАЛЬНОИ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛА 15Лб. Сигнал з(~)=Ае ь', ~>0 (см. рис. 15.8), действующий на фоне белого шума х(с) со спектральной плотностью мощности И'„(а)=сопз1, подвергается дискретизации с шагом Т. Вычислить отношение п(оТ) спектральной плотности энергии сигнала к спектральной плотности энергии шума после дискретизации. Отметить значение п(гаТ) в точке аТ=я. Данные сигнала и помехи: А = Ю В, Т= 1 мкс, 6=5 104 с ', число отсчетов сигнала М=б4„И'„(а)=., 10 б Вз~Гц.
15.17. Йсходя из условия, что единственной помехой при кепстральной обработке является шум квантования, определить требуемую разрядность АЦП для сигнала из предыдущего примера. Для ослабления взаимодействия сигнала и помехи в логарифмической нелинейности обеспечить выполнение неравенства ц(я)>10. 15.18. Определить величину 11(я) для сигнала з(г) = Вге " (рис. 15.18) при использовании 1О-разрядного АЦП. Парамет- 237 ры сигнала: Ь=1,25 ° 10» с ', Т=40 ис, И=128.
Максимальное значение сигнала з„,„на входе АЦП не должно превышать 1О В. 15.19. Сопоставить результаты решения примеров 15.17 н 15.18; объяснить необходимость повышения разрядности АЦП при переходе от сигнала з,(!)=Ае " к сигналу з,(!)=Вге ". МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 15.16. Спектзпальная плотность энергии континуального сигнала з(!) равна о (а) [1 с 36$ а после его дискретизации с шагом Т вЂ соответствен о' (а)/Т (при условии, что спектр сигнала ограничен полосой — 1/2Т...+1/2Т [1, с.
65]). Переходя к г-преобразованию Б(е~г)/~Т, получаем [1, с. 362) я — ! Я с !вт~ с — еьг — 1твг ~ т — т ° 0,05 — тиат Поскольку е»~ ' ~ ~' = 0,04, замена верхнего индекса сум- мирования т=63 на со не приводит к существенной погреш- ности. Тогда в соответствии с вычислениями примера 15.9 получаем !Б(е'"т)~з Ах/(1 — 2»/соя езТ+!/~), »(= ехр ( — Ь Т) и 0,95. Определим теперь спектральную плотность энергии помехи, действующей на отрезке времени Т, =/!/Т, совпадающем с длитель- ностью обрабатываемого сигнала з(1). Заметим, что при заданной спектральной плотности мощности И'„(а) спектральная плот- ность энергии равна Т, И~„(а).
После дискретизации с ша- гом Т спектральная плотность энергии помехи Т, И~„(а)/Т'=/Уа„', где о„' = И'„(а)/Т вЂ” средняя мощность помехи в полосе ча- стот — 1/2 Т... + 1/2 Т. Итак, искомое отношение [1, 8 16.8] Я(! Т)!2 / ! 2 Фе( '! о„ / Ф(1 — 2И»о»аг+ й' ) В данном примере сг„'= И:„(о)/Т=10»/10»=1 В~, (А/ст )~=100 и 238 Я аа за 2а та а -та Рис. 15.19 т1(егТ)=100/(гтрк(1 — МсозегТ+д~) '1 График функции т1(егТ) приведен на рис. 15.19.
Находим значения п(гвХ) в характерных точках нв оси гвХ: г)(0)=100/Ф(1 — 4~=100/64(0,05)г=!04/16- (40 дБ — 12 дБ)= 28 дБ, г1(я) = 100/М(1+юг =100/64 3,8- (20 дБ — 23,8 дБ) = — 3„8 дБ. 15.17. Из предыдущего примера видно, что для обеспечения г)(я)>10 требуется отношение мощностей сигнала и помехи на входе АЦП (А/о„) >Ч(я)гт(1+и) =10 64.3,8=10 243-+(10 дБ+23,8 дБ)= =33,8 дБ; А/о„> 50. Это означает, что динамический диапазон АЦП должен быть не меньше 34 дБ, т. е. число разрядов должно быть не меньше 6 (6дБ на разряд).
Графики функции г1(соТ) для А/о„=10 и 50 представлены на рис. 15.19. 15.18. Для сигнала г(г)=Вге ~', Ь>0, г>0, г-преобразование Ф-1 я — 1 Б(сыт) ВТ ~ ще — ьтте — ытт ВТ '), ще — [ьт+ыт)т имеет вид арифметико-геометрической прогрессии. При %=128 и ЬТ=0,05 слагаемое (Ф вЂ” 1)е' " 0,2 и замена верхнего индекса суммирования М вЂ” 1 на со не цриводит к существенной погрешности. Поэтому [13, 0,1131 Б(сыт)~,ВТе-ьте — ™/(1 е — Вте ыт)г и спектральная плотность энергии сигнала ~Б(еыт)~г (ВИ)г/(1 — 2т/созщТ+аг)г г/=е гт Нетрудно убедиться, что г(г) достигает максимума г „=В/еЬ в момент г=1/Ь=20 Т.
Тикжят од~мзоьт, 239 (ВТт1)г =(Ьея,„)г =(0,05)г (ет1)газ,„ )Б(е! т))2=25 1О ~е'е(гх'.„/(1 — ЫсозвТ+т7г). Спектральная плотность энергии помехи (шум квантова- ния), как и в двух предыдущих задачах, равна Ютт,'. Искомое отношение )Я(еьт)(г 25 !О геггг~ г т)(вТ)- тта' Ь!(! — гггеегегТ+ггг) !, а„! Но (з„„,!ет„)г есть не что иное, как динамический диапазон АЦП, в данном примере 10-разрядного. Таким образом, (х „)о„),'г,— — бО дБ (6 дБ на разряд). В точке вТ=к ( ) (ьт) (егг! (~„„( (0,05) ( 0,95) 10е 9 ь!(!+,2)4 1, а.! !гх(!+095)' Итак, вблизи точки вТ= к, где спектральная плотность энергии сигнала минимальна, обеспечивается превышение на 10 дБ спектральной плотности энергии помехи.
Исследования показыва- ют, что такого превьпнения достаточно для удовлетворительного определения кепстра сигнала. 15.19. Для сигнала 5,(т)=Ае ", г>0, ( ) ~г!(1+ ~)г (см. пример 15.17), а для сигнала хг(т)=Вте ~', т>0, ~ЬТ)г(,!е)г, т)г(~) ' )4 !,г 4 (см. пример 15.!8).
При одинаковых значениях ЬТ (в данных примерах ЬТ=0,05; е(=0,95) имеет место соотношение цфис) е~(ьт)~и~! ~,„~~ т!г(л) (1 + Ы)г \, А ) Приравнивая амплитуды импульсов х„,„=А, получаем т)г(я)!' !т),(я)ж1,8 10 з. Столь резкое снижение т)г(я) объясняется более быстрым убыванием спектральной плотности сигнала хг(г); действительно, Вг (в)=А/ (Ь'+в~, Яг(в)=В/(Ь'+в'). При в -:е Ь Я! (в~ убывает со скоростью 1/в, а Вг (в) — со скоростью 1/в .
15.5. КОМПЛЕКСНЫЙ КЕПСТР 15.20. Определить кепстр испытательного сигнала з! (т) =8 (т), а также з,(т)=иб(т) при и>0. 240 15.21. Найти комплексный кепстр С,(т) сигнала к(т), представленного на рис. 15.8. Неоднозначность, обусловленную комплексным логарифмом функции $ (г), устранить с помощью метода логарифмической производной. В чем различие между С,(т) и кепстром мощности С,(т) для данного сигнала? 15.22. Составить алгоритм определения комплексного кепстра на основе логарифмической производной с использованием БПФ.
15.23, Составить алгоритм определения кепстра, основанный на прямом вычислении комплексного логарифма, с использованием ОБПФ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 15.20. В этих простейших примерах общее выражение для комплексного кепстра [1, З 16.9] С,(д)= — 1пБ(са)е! 'Йа 2!с приводит к следующим результатам: 1. ю ! (!) = 8(!), Б ! (се) = 1, 1п Б, (се) = О, С„(д) = О; 2. х,(!)=аб(1), Б,(са)=а, !пав,(са)=!па, С,~(9)= — 1пае! 'сао=!паб(9). При а <1 весовой коэффициент!па отрицателен, при а> 1 — положителен. 15.21. Определение комплексного кепстра' сигнала, не требующее знания его ФЧХ, имеет вид [1, З 16.10) С,.(т)= — — — ~Й'(г))г !12, тФО. 1т1= 1 При т=О и С,(0) = — 1п [Я (е!"т)! с!(соТ [1, с. 491). Для сигнала х(т), представленного на рис.
15.8, 241 Поэтому ( -~ -м ььь 2х, (т ь ьт) тьь ь -ьт" —, тть>1; тьь С,(0)= 1 1п~А(1 2е-ьтсозтвT+с-зьт)п21 х 2ьт ) — к х Й(тлТ)=1пА (13, 4.224.14). При А=1, С,(0)=0 С,(т)=е ьт.1т, т=1, 2, 3,.... При т > 1 комплексный кепстр С,(тть) рассматриваемого сигнала совпадает с кепстром мощности С(тл) («минимально-фазовый» сигнал). (См. решение примера 15.9 и рнс. 15.11.) 15.22.
Предварительно необходимо представить Й (е т) и Й'(е'"~) в виде л-преобразований: п-т -')('"')= Х ( ) М-1 Й'(е'"г)= -1 2 тз(т)е ' Следующий шаг — использование соотношения между ДПФ и г-преобразованием [1, я 12.61: м-т Ь'ть'~ Б(л)= х ~«(ттт)е ь ьь/ =$(еь'т)~ 2„ ~=о Л", м-ь /'ть '1 Б'(и)= — 1 2 ии(т)е ь "У =Й'(е' г)~ т ьь = 0 Ф . Тогда приведенные в предыдущем примере 15.21 выражения для кепстра принимают вид 242 Первое слагаемое в правой части, учитывающее зффект задержки, не зависит от структуры сигнала т1(т). Назовем его «кепстром задержки» и обозначим С (т): ао С (и) = — 1тп — ~ хе' Ых. '"о 2П ~ -п При т=О интеграл (хдх-О, так что С (О)=О. При т~О к хе "" 1/х = 21 —, = — 21 — сов (гпя) . ИО (ПП1) — ПП1 СОО (1ПП) .
П РП РП (1, ~ 16.11) и С„(т) = — —" — 21' — сов(тя) = — '( — 1) 2л ~ При задержке сигнала на один такт (ш =1) кепстр задержки с возрастанием т убывает по закону 1, — 1/2, +1/3 и т. д. С возрастанием задержки масштаб С„(т) увеличивается пропор"о ционально величине то. 15.25. Из условия задачи очевидно, что преобразование сигнала заключается в уменьшении шага дискретизации в л раз, так что Т1= Т,/П=1 мкс. Отсчеты функции з1(1) совпадают по величине с отсчетами функции ю1(!).
Следовательно, К-1 фр1аТ2 ) Я (Е!аТ11и) ~~~ К (П1)Š— 1аТ1 1к и кепстр сжатого сигнала будет к С„(тл) = — 1и Я1(е'а'1'")сов — 41 — ' . Изменение шага дискретизации (Т,/п вместо Т, ) не оказывает влияния на структуру кепстра. Изменяется лишь масштаб кепстрального времени: интервалы между отсчетами кепстра на оси будут Т,=Т,/5=! мкс. ~6, !1) 15.26. Функции з(!)= '' соответствуют спектральная плот- Ш ность Б(в)=1в$1(в) и логарифм 1пБ(в)=1п(1в)+1пБ1(в).
Второе 244 слагаемое определяет кепстр исходного сигнала у!(/), из чего следует, что при дифференцировании сигнала к его кепстру С„(д) добавляется кепстр С „4(д)= — ~ 1п(!То)е' 'г/д. Можно показать 11, 8 16.11), что последнее выражение приводится к виду С„„е(д) = — 1(7+1п д)о (д)+-и(дЦ, где 7=0,577 — постоянная Эйлера, а и(д) — единичный скачок в момент д=0.
При д)0 Сх„е(д)= — 1!д. 15.27. Исходйм из условия Я,(0)=0, так что спектральную плотность интеграла можно записать в форме Я (оз)=Яз(оз)/(ко) '11, приложение 2). Тогда 1и Я,(пз)= — 1п(ко)+1пЯ, (оз). Повторяя рассуждения, приведенные при решении предыдущей задачи, приходим к следующему результату: С,„,(д)= — С, ~(д)=1/д при д>0. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Гоиоровский И. С.
Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник лля вузов.—. 4-е изд., перераб. и доп. — Мс Радио и связь, 198б. 2. Гоиоровокий И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. — 3-е нзд., перераб. и доп. — Мх Сов, радио, 1977. 3. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
