Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Построить функциональную схему обработки сигнала. 15,6. Дискретный сигнал ю(т) =з, (ггг) (х! зг (ггг) (свертку) преобразовать в сумму х(вг)=х, (ггг) +хг(гв). Построить функциональную схему обработки сигнала. 15,7. Сумму у (1) =у, (1) +уг (г) преобразовать в свертку з,„„(1) =г„„. (1) еюг„„„(1). Построить функциональную схему обработки.
15.8. Объяснить суть обобщенного принципа суперпозиции. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЪ| 15,5. Первый шаг — применение к г(г) преобразования Фурье, в результате чего временная свертка переходит в произведение спектров (1, 9 2.8 и 9 16.2): .Зг [х(1Ц =.Зг [з, (Г) е гг (1)) =$„(а) . Бг (а) =Б (а). Второй шаг †логарифмирован полученного произведения: ! и [!5 (а)~ =! и Бг (а) +! и Бг (а).
Третий шаг — переход из спектральной области во временную с помощью обратного преобразования Фурье: ' [!и Б(а)) = — !и Я(а) е' 'Иа=х(г), откуда следуют равенства хг(1)-9" [1п Бг(а)Л хг(г)-9" [!пзбг(аЦ. Функциональная схема обработки показана на рис. 15.5. ай~- (! За»- "" 11 !пааво= "З,Гг2 "агФ =З,нааг(ы) ЬЗ,М+Магй4 -х,!1)+~гк) Рве. 15.5 15.6. Первый шаг — применение к дискретному сигналу з(ггг) г-преобразования: г, [х (т)~ = Б (г) = Б, (г) Я г (г). 229 Таким образом, свертка г (гп) преобразуется в произведение Яг(г)Яг(г) (1~ 5 16.2] Второй шаг — логарифмирование полученного произведения: 1пй(г) =1п Б, (г)+1пБг(г). Третий шаг — обратное г-преобразование: '[1пБ(гЦ= — 1пЙ(г)г 'Иг=х(т) [1, с.
364], откуда следуют равенства х,(т)=Ц '[!пБ,(гЦ, хг()п)=~ '[1пйг(гЦ. Функциональная схема обработки сигнала представлена на рис. 15.6. згт)- " ю= " магг)= ео )- =~йг)®ага) =Зг1г)агГг) "Ьа)1г)+ЬЗг(г) Хгст)+Хгбгг) Рис. 15.б 15.7. Первый шаг — применение к функции у()) преобразования Фурье: у' [у()Ц= ] у(г)е й)=хг(а)=Ъ (а)+Ъг(а). Второй шаг — потенцирование функции г'(а): ехр [Ъ'(аЦ =ехр [У, (аЦ ехр ['г'г (аЦ. Третий шаг †обратн преобразование Фурье, в результате которого произведение спектральных функций переходит во временную свертку (1, ч 16.2]: г,„„(г)= — ( етое "Иеыйа=г~,„„(г)мг «.()) Функциональная схема обработки показана на рис.
15.7. ди)= у'(] УГя) УЯ+Уг® Уга)) Уг а) е ' ' е * г)ь ~иа)"ггь 1г) Рне. 15.7 15.8. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, предусматривает только операцию сложения сигналов на входе системы. Обобщенный принцип суперпозиции предусматривает также и операции умножения илн свертки сигналов. Для осуществления систем, подчиняющихся обобщенному принципу 230 суперпозиции, требуется сочетание нелинейных и линейных преобразований сигнала (гомоморфная обработка). Между сигналами з,(1) и зс(1), образующими произведение или свертку, в гомоморфной системе (как и в линейной системе) отсутствует взаимодействие. !5.3.
КЕПСТР МОЩНОСТИ СИГНАЛА 15.9. Вычислить кепстр мощности С,(т) дискретного сигнала з(т), представленного на рис. !5.8, при следующих параметрах: А=! В, Т=! мкс, 6=5 !О с '. Составить функциональную схему обработки сигнала. А 0 с 012 т„Х11 0-1л 0 10 Ю Й7 40 00 008-1 а Ряс. 15.8 Ряс. 15.9 15.10. Вычислить корреляционную функцию В,(т) и сопоставить ее с кепстром С,(т) для сигнала з(т) из предыдущего примера.
15.11. Вычислить кепстр мощности импульса прямоугольной формы, дискретизованного с шагом Т (рис. !5.9), при следующих параметрах: А=! В, Х=т„~Т. 15.12. Построить функциональную схему вычисления кепстра МОЩНОСТИ СИГНаЛа З(1) =З, (1)сЗ (1) (СВЕРтКа), КОтОРЫй ДИСКРЕтИЗОВаи с шагом Т, основанную на использовании БПФ и ОБПФ. 15.13. Задан сигнал в виде суммы з(1)=з,(1)+ы,(1 — 1е), где си, (1 — 1е) — сигнал, задеРжанный на вРемЯ 1„относительно исходного сигнала я, (1) и — постоянный козффициент.
Привести з(1) к виду свертки з(1) = з, (1)сз, (1), где з, (1) — подлежащая определению функция. 15Л4. Вычислить функцию !п(йз(е*'"гНс и кепстр мощности сигнала зз(т)=8(т)+Ы(ги — тс) прй те=!О, а=0,8. 15.15. Вычислить кепстр мощности сигнала з(ги) =з, (т)+ + аз, (т — асс) для случая, когда з, (т) соответствует сигналу, представленному на рис. !5.8, при %=56. Совместить на одном рисунке графики С„(т) и С,з(лс) для тр — — !О, а=0,8. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 15.9.
Кепстр мощности дискретного сигнала з(т) определяется выражением 23! С,(гн)= — 1п(8(е'"т)1г сох(твТ)й(вТ), где Б(е' т) — г-преобразование сигнала з(1), днскретизованного с шагом Т (1, 5 1б.5). В данном примере В(еет) А ~~' е ьете ~ т ., ЬТ=0,05. е=О е-рте-ит Находим квадрат модуля функции Б(е'"~): хг ~Я емт1~г (е т) , 2е--,,...+е--т-1 „...„,-„г где обозначено с1=ехр(-БТ)ж0,95. Тогда !и ~Я(сыт)~ г 1пА г 1п(1 2г~созвТ+,1г) Графики функций )Й(е'"т)~ и 1п16(е'"т)~г прн А=1 В и ОТ=0 05 представлены на рис. 15.10. 1з~,1 ~в'12 24 ту а Рис. 1540 Выражение для кепстра мощности приводится к виду С, (т) = 1п А ' — ) сов (тв Т) Ы(в Т) — — 1и (! — 2Ы сов в Т+ ег г) х 2х 2х 1 х сох(твТ) т1(вТ).
При та=0 первый интеграл равен 2я, а второй обращается в нуль (13, 4.224.14) и С,(0) =1и А г — — 1п(1 — 2Ысоз вТ+Ыг) И(вТ) =1п А '. — и 2З2 При тФО первый интеграл обращается в нуль, а второй равен < — — Ы (13, 4.397.б3 и С,(т)=И"/т, т=1, 2, .... График С,(т) при Ы=е ~'~~а0,95 представлен на рис, 15.11, а функциональйая схема — на рис. 15.12. бг 2а бВ- б,б бА Д2 2Х4бб7сб10т Рис. !5.11 Рвс. 15.12 15,10.
Корреляционная функция дискретного сигнала определяется выражением В (т) )$(сыт)! г сов(т!лТ)г1(гоТ) — к которое отличается от С,(т) только отсутствием операции логарифмирования под знаком интеграла. Подставив ~ Я(еыг) ) г А г !(1 2Всоз сеТ+с) г) (см. решение предыдущей задачи) и вычислив последний интеграл (14, 859.122], получим В ( ) 1г ! ~ сог(тогТ)4(тТ) А' 2Ы г 7,„)( 2с ) (1 — 24сосвТ+4г) 2с (1-нг) Функции В,(т) и С,(т) при А=1 В и 0=0,95 представлены на рис. 15.13.
Отметим более быстрое убывание кепстра. 15.11. Для сигнала в виде импульса прямоугольной формы 2-преобразование !Стг В(е'"т)=А ',~„ е ' "г=А — сов — аТ вЂ” !яп — глТ е о ЯП— 2 233 б Ю в бб 2 б, ав дб Д4 42 а с, вб Дв бб 84 бг У 2 Е Ф б б 7 В Я 7б и-7а Гб 18 гбе 248818 Л1 б1 Рис. 15.13 Рис.
15.14 ! $(е'"г) ! =А ! яп — !/! 51п — (, 1п!Я(е"'т)!' =1пА'+21п!в!п — ~!! — 21п/в!ив 2 / Кепстр мощности С,(т) = 1п А ' — сов(таТ) Ы(вТ)+2 — 1п ! яп — ! сов х -к й м х (лна Т) И(ге Т) — 2 — !п ! яп — ! сов (ппеТ) а (ге Т). При я=О первый интеграл равен 2я, а второй и третий равны — 2п!п2 (13, 4.224.3]. Таким образом, С,(О)= 1п А ~. При гн,-ьО первый интеграл равен нулю, а второй обращается в Мвт нуль ввиду ортогональности функций 1п!яп — ! и сов(лкеТ) на г интервале — к, я, третий же интеграл равен ( — к/т) 113, 4.384.7). Таким образом, С,(л1)= — 2 — — — = —, гп=1, 2, ..., Х вЂ” !. 2л~ т/ т Полученный результат представлен на рнс. 1з.!4.
234 15.12. Все преобразования сигнала, предусмотренные функциональной схемой на рис. 15.!2, остаются в силе. Необходимо лишь отобразить, во-первых, то, что входной сигнал является сверткой, и, во-вторых, что вычисление Б (е'"т) на ЭВМ производится по алгоритму ДПФ. Из определения ДПФ И-1 2(п)= ~~~ з(т)ехр — 1 — тп, п=1, 2, ..., А1 — 1, е=О видно, что каждый из комплексных спектральных коэффициентов Б(и)=КеБ)и~+1'1ш!Б(и)! есть не что иное, как значение Б(2) в точке г=е2 '", лежащей на окружности единичного радиуса: Б(п) = Ке Б(п)+ 1' 1гп Б(п) = Б(е12'и").
Переходя к квадратам модулей !Б(п)!2=(КеБЩ2+~1шБ(и)12 и логарифмируя, получаем Ю чисел вида !и!Б(и)~, т. е. набор дискретных значений функции ! и ) й (е1 т) ! 2. Применив, наконец, ОБПФ, найдем кепстр мощности и — 1 .2х С, (т) = — 2 1п ! Б(п) ! 2 ехр ~ 1 — пт = С„(т)+ С 2 (т), л=О т=О, 1, ..., 2Ф вЂ” !. Алгоритм перечисленных преобразований представлен на рис. 15.! 5. 8 О, 1Па Рис. 1О.15 15.13. Составим выражение для спектральной плотности сигнала з(1): Б(О2)=Б1(гО)+иБ1(о)е 'О1'=Б1(О2)(!+ске '"")= Б1 (Оз) Б2 (гО)т где Б2(в)=!+ее Получилось произведение двух спектральных плотностей, из чего следует, что 2(1) является сверткой 21(г)Оз (1), где 22(1)— функция времени со спектральной плотностью Б2(Оз).
Очевидно, что 22(1)=б(1)+иб(1 — гО) (рис, 15.16). Переходя к дискретному сигналу з(т)=21(т)+пз1(т — тО), получаем аналогичные соотношения: Б (е1"т) = Й (е'"т)(! +е '""О12) = Б,(е1"т)Б, (е'"т). 235 Р эа =а»ах Ряс. 15.16 Вэ (сыт)=1+ггехР( — 1товТ); ь(лэ)=ь,(»т»)(9ь~(т»э); ь~(»э»)=о(т)=по(лэ — тла). В данном случае задержка г,=тТ, где»т» — целое число. Существенно, что множитель Я,(в)=1+пе '"" или Й,(е' т)= =1+ее """", учитывающий задержку сигнала на время гв а также постоянный коэффициент и, от структуры спектра исходного сигнала ь,(») не зависит.
15.14. Сигналу ь,(»э»)=аб(лэ — лэ ) соответствует г-преобразование (е|«т) 1 1 гге — э«|аэт Запишем )В (е™т)1э в форме 11-»-»хе '"'о"т»~ 1+2ггсоь(товТ)+из= (1 1 е|е»е<>«т)(1 1 ае+»т»»нт) Тогда 1п»Б (е"'т)»э=1п(1+с»е ""о"т)+1п(1+ее+» а"т) Так как »е»е ' а"т~<1, можно написать (1 1 — »«|авт' — »«|а||т — и«в«т 1 е — !3«|ест а аэ 2 3 э цЭ 1 (1 1 +!«|е|эт) (у «Яд«т е+»э«|е«т 1 е-»ъэ«оат 2 3 Гогда ,э 1п~Бэ(е )» =гэ2соь(»»»,вТ) — — 2соь(2тевТ)+ э + — 2соь(Зт вТ) †..., я общее выражение для кепстра Сь (»т»)= — 1п Яэ (е~т)12 соь(тавТ) 4вТ) -« >36 приводит к следующим результатам: С„(0)=0, С„(+т,)=, С„(+2т,)= — "—, С„(+Зт,) = — ",...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
