Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В данной задаче такими частотами являются частоты среза а,„и а„цифрового и аналогового фильтров, Для указанных частот ез Т= = 2 агсгд (со„/йо). По условию задачи а,„=0,1 2к/Т, а,„Т/2=18' и, следовательно, ез„/йо=!8(а,„Т/2)=0,3249, а йо-— а„/0,3249. Таким образом, искомое соотношение между ь„Т и со/е., имеет вид в„Т= 2 агс!8 (в/йо) = 2 агс!8 (0,3249оз/га„). Построение АЧХ Кт(а„Т) по заданной АЧХ К,(га/а„) для фильтра Баттерворта 2-го порядка показано на рис.!4.9. Структурная схема фильтра Баттерворта 2-го порядка, инвариантного относительно АЧХ, может быть определена по передаточной функции 222 (е) 4ааа /гг /в т' Г в хв юа ва /2втитввы„т' Рис. 14.10 л Аа(г+1)' 4а(1+2г "-г ') (г-г„,)(г-г„',) 1-/г,г '-Ьгг-г ' которая получается при подстановке Р=(г — 1)/(к+1) в передаточную функцию аналогового фильтра К (р) 11, 0 15.131.
В последней формуле /а, = 2Ке (г„, ) и /аг = — ! х„~ г. л Полюсы функции К(г) на плоскости г связаны с полюсами Ры, г/гв . =( — 1/ а/2 + 1/,,I2 ), нормированными относительно частоты среза 03„, соотношениями !+03249( — 1/ /2+1/ /2) ла1 1 — 0,3249( — 1/ /2+1/ /2) г„г =га1 =0 57 — 10 294. Структурная схема фильтра приведена на рис. 14.10. Трансвер- л сальная часть схемы обусловлена наличием в функции К (2) двукратного нуля в точке г= — 1.
Этим и объясняется подавление хвоста АЧХ в центральной части диапазона частот от 0...2я. 14.3- ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ КОМПЛЕКСНЫХ СИГНАЛОВ 14.13. Радиосигнал а(1)=Ассов(гас+гад)1, где сед 2к/д доплеровское смещение частоты, которое может быть как йоложительным, так и отрицательным, в результате квадратурной обработки 11, 0 13.9) преобразуется в комплексный сигнал г (1)= =г, (1) + и, (/) = Аа соя сод/+/Аа 01п а,а синтезиРовать Узкополос- 223 ный цифровой фильтр для определения знака гвд. Абсолютное значение частоты 7д=10з Гц. Частота дискретизации 1~Т=104 Гц. Полоса пропусканйя фильтра должна быть порядка 150 Гц.
14.14. Синтезировать гребенчатый режекторный фильтр с управляемой частотой режекции на основе трансверсального фильтра 1-го порядка. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 14.13. В качестве узкополосного цифрового фильтра реагирующего либо только на положительную, либо только на отрицательную доплеровскую частоту, может быть использован рекурсивный фильтр первого порядка с комплексным весовым коэффициентом в цепи обратной связи. Передаточная функция подобного фильтра л К(г)=1Я! — Ь,з ') имеет единственный полюс в точке „=Ь, = ьд т !в т =ге ", Приравняв а„частоте гад, получим г„=ге ' .
При гад)0 полюс расположен выше оси х, при гв,<0 — ниже оси х. Амплитудно-частотная характеристика подобного фильтра д ! К (е' "т) ! = Ц 1 — ге ' ! = 1,'хГТ+ г ~ -2г соз (со — гсд) Т. д При резонансе (в=еэ„) максимальное значение ~К(е ' )!= = 1/(! — г). Полосу пропускания резонатора (по ослаблению на 3 дБ) можно определить из условия !+г~-2гсоз(2яЛТТ)=2(1 — «)», соз(2яА~Т)=1 — (1 — г)з/2г. При 2яАТТ~к! соз(2яЛТ Т)-! — (2лЛТТ)~~2, откуда А7 Т=— 2л г„" По соображениям устойчивости фильтра радиус г нежелательно задавать близким к единице.
Положив г=0,95, получим Л1'= — ' 10" 80 Гц, 2Ь~=!60 Гц. /0,95 Структурная схема фильтра приведена на рис. 14.1!. Весовые коэффициенты Ь„и Ь, определяются выражениями Ь |-— гд=ге'""; Ь„=гсоз гсдТ 0 768 Ьу г з!и гвдТ=0,559. 14.14. Трансверсальный фильтр первого порядка с действительным весовым коэффициентом а, позволяет осуществить полную режекцию только на частотах аТ=я или 0 (1, 9 !2.9]. При 224 , Рис. 14.11 где в0 — частота, на которой требуется осуществить режекцию колебания, т. е.
К(е " )=О. Амплитудно-частотная характеристика фильтра л ~к(~'"з!=11 — ть-~,игл л ~~-~,)т~=г~ю,~' ">~/, 2 Структурная схема фильтра приведена на рис. 14.12. Задавая весовые коэффициенты а = — соаи0Т, и,= — з(пгв,Т, можно перемещать нуль АЧХ по оси гвТ во всем частотном диапазоне 0...2я. Г л а в а 15. ОБОБЩЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ. КЕПСТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 15.1. ОБРАБОТКА МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО СИГНАЛА 15.1. Заданный мультипликативный сигнал к(г) =к, (г) х1 (г) преобразовать в сумму х(г)=х, (1) +х2(г) так, чтобы функция х, (1) зависела только от з, (1), а х2(1) — только от ю2(1). Сформулировать требования к ю, (1) и кз(1), обеспечивающие реализуемость заданного преобразования.
225 комплексном коэффициенте функция фильтра л л К(2) 1 е' л 2 — 1 К(е~вг') Ряс. 14.11 — ьлдт и~ — — а„+ 1а, = — е ' передаточная 15.2. Мультипликативный сигнал ю(с)=х, (!)к, (!)=А (1+!с, х х яп йс) (1+юг яп сео!), 0 < ! < Т„с параметрами А = 1, !с, =0,25, 7сг=005, й=2т!Т=2кГ, Т=Т,/10, сво=2куо=10й преобразовать в сумму х(!)=хг (!) +х, (с).
Исходные сигналы х, (с)=1+0,25 апй! и кг (!) =1+0,05 яп свос представлены на рис. 15.1, сс, результирующий сигнал х (!) — на рис. 15.1, б. Найти функции х, (с), хг (!) и построить графики их спектральных плотностей Х,(св), Хг(се). ег ег е ег гг т~~ т т, тсгт 6~ Рис. !5.! 15.3. Преобразовать сумму у(!)=У,(!) +Уг(!) в мультипликативный сигнал х,„„(!)=хсв„,(с)х„„„(!) так, чтобы сомножитель х„„,(!) зависел только от у, (!), а сомножитель хг,„,— только от Уг (с).
15.4. В мультипликативном сигнале, рассмотренном в примере 15.2, требуется изменить соотношение между сомножителями к, (с) и хг (!): именно второй сомножитель должен иметь вид (1+5/сг х хяпсвос), т. е. амплитуда колебания с частотой сао должна быть усилена в 5 раз. Построить функциональную схему обработки сигнала. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 15 1. Единственным оператором, позволяющим осуществить подобное преобразование, является логарифмический.
Поэтому необходимо прологарифмировать заданный мультипликативный сигнал х(!)=1пк(!)=1и х, (!) +1п хг(!), откуда следуют равенства хг (!)=1пхс (!), Хг (1)=1пхг((). Сигналы х,(!) и х,(!) должны быть больше нуля на интервале своего определения. 15.2. Применительно к заданному сигналу к(!) приведенные в предыдущем примере результаты позволяют написать х г (!) = 1п (1+ /с с яп й!), хг (!) = 1и (1+ lсг яп сво!). Спектральные плотности этих функций 226 т Х, (в) = ( 1п (1+ lс, яп йг) е ' й, о т Хг(в)= ( 1п(1+/гг япвог) е '"'й. о Основываясь на разложении !п(1+а)=а — аг/2+а /3 — ... при (а!(1, получаем х,(г)=025япйг — — 'яп йг+ ...=025в!пйг— 2 — 0,016(1 — сов2й~)+ ..., хг(г)=005япвоа- ' яп вог+ ...=005япво!— 2 — б,25.10 ч(1 — сох 2во!) + ....
При заданных значениях й, =0,25 и 1гг =0,05 можно пренебречь слагаемыми с высшими степенями в разложении 1п (1+ а) и подставить х, (г) = 0,25 и!и йг, хг (~) -0,05 яп вок Таким образом, в рассматриваемом примере функции х, (Е) и хг(1) представляют собой отрезки гармонических колебаний длительностью Т, с частотами соответственно й и в,. Спектральные плотности Х, (в) и Х, (в) подобных функций легко определяются [1, с. 811. Графики функции Х,(2я/') и Хг(2кТ) при Т,=!0 Т и Е=1~Т, уо=10г" изображены на рис.
15.2. Спектры Х, (в) и Хг(в) в данном случае не перекрываются. к;т Я Ряс. !я.2 15.3. Сумму у(г)=у, (г) +уг(г) можно трактовать как логарифм искомого мультипликативного сигнала ь.„,(!), т. е. у(!)=1пх. (!)=1пх...(!)+!пхг...(!). Отсюда следует, что для определения х,„,(г) к функции у(г) нужно применить преобразование, обратное операции логарифмирования.
Таким преобразованием является потенцирование 227 ехр !'у(УЦ=ехр 1"!пз,„„(1Ц=з,„,(1). Таким образом, з„„„(1)=ехр ~у, (1Ц=е ' х2,„„(1)=ехр (у2(1Ц=е ' 15.4. Поставленная задача может быть осуществлена в три этапа: преобразование мультипликативного сигнала з(1)=ь, (1)х,(1) в сУммУ х(1)=х, (1) +хз(1); разделение сигналов х, (1) и кь (1) с помощью частотных (линейных) фильтров Е, и Е., [при условии неперекрытия спектров Х,(оэ) и Х,(оз)) и относительное усиление в 5 раз сигнала уз(1) на выходе линейного фильтра Еь; преобразование сигнала у(1) с выхода фильтров в мультипликативный сигнал з,„„(1) = к„„„(1) зг. * (1). Зь„„гб" юьаьх (~~' отья (11 ой1 о,1~~ Ряс.
18.3 Функциональная схема обработки должна иметь вид, показанный на рис. 15.3. Сигнал на выходе , 1О хдв з,„„(1)=е ' е - '=к„„„(1) 8.„„(1). Полагая коэффициенты передачи фильтров Е, и Е, равными единице, получаем уь (1) = хь (1) = 0,25 йп йг, у2 (1) = 5хг (1) = 0,25 81п сооь Поскольку величина 5!г,=0,25 достаточно мала по сравнению с единицей, можно считать з,„„(1) = ехр ~0,25 8!и йк") ехр ~0,25 81п гоо1) ж(1+0,25 8!и й1) х х(1+0,258!и гоо1), Ос1с Т, (а Тс ЮТ Рис.
1о.4 Новый мультипликативный сигнал с измененным соотношением между амплитудами А-,=0,25 и 5к2=0,25 изображен на рис. 15.4 (сравнить с рис. 15.!). 328 15.2. ОБРАБОТКА СВЕРНУТОГО СИГНАЛА 15.5. Сигнал а(1) =г, (1) яраг (1) (свертку) преобразовать в сумму х(г)=х,(1)+хг(1) так, чтобы х,(г) зависело только от а,(г), а хг (1) — только от хг (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
