Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 16
Текст из файла (страница 16)
7.10. Найти взаимную корреляционную функцию между входным и выходным процессами для интегрирующей цепи первого порядка с постоянной времени 2 мс при действии на входе белого шума со спектральной плотностью мощности И' =10 ~ Вх/Гц. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 7.1. Энергетический спектр шума на входе цепи И;„(07) = ст,'„/(2Л/), — 2яЛ/'< а < 2яЛ/; а на выходе цепи, модуль передаточной функции которой кь)=~~ Т+~~~' р, ~ ы ~ 651, мрпю~~ых ш~ р $03 И; (а)= И',„(а)К~(в)= '"... — 2яЬ7'<в<2яЛ7: Следовательно, дисперсия выходного процесса г лт 2кАт о ~„„= — И",, (в) Йо = — '*— — 2илт о 2 = — '" — агстя (2лЛ7т). 2Л~ ят При т=ЯС=5 !О ' с, 2кЛ7т=я102»1 агстй(2яАЯхя~2 и а~„,=2,5 10 з В2 7.2.
Сначала находим энергетический спектр входного процесса (1, а 73): И'„(в)=о„'' е "~совать=, 2иа,' Квадрат модуля передаточной функции при Д»1 (1, ~ 5.б) 7~г( ) 1+4Д~ Р 07 4о б'о Ряс. 7.3 Рис. 7.4 В пределах полосы пропускания контура, т. е. при въвр, энергетический спектр можно считать равномерным (рис. 7.3): Р Тогда энергетический спектр на выходе 2 газ („т+„г) ~+42~ "-~р и корреляционная функция выходного процесса Г04 Я,,(т)= — ~ И;„„(ог)совогта1ог=!25,бе "о 1'1сох104 т, Вг.
Л ~ 7.3. Использовав табличное значение интеграла (13, 2.2111 = агстй - /х, Ых Ь (а'+Ь'х) /х а при заданных параметрах а, Ь и г находим ог1=2 10 ' В', ог=10 Вг; тогда о,/о = 12=1,41. 7.4. о,„„=0,79 мВ. 7.5. Дисперсию определим спектральным методом: гле глл 2л Л -глг о =2йог — о(! -е-Ог"г)=1Вг 6 Интервал корреляции для процессов с неотрицательной корреляционной функцией можно получить в виде (8, с.
127] т,= — Я(т) ат Д(0) ) о (рнс. 7.4), Из теоремы Винера — Хинчина следует, что Я(0)=- И'(ог)йо, а Я(т)о(т=- И'(О); отсюда и (0) т =- 2" 2 ов, 1 и'(а)йо о где Лв, †эффективн ширина энергетического спектра, равная при заданных условиях глг 2гог, = е ""йо=-(1 — е ог"")= — '=б,2 104 рад!с. ! г„л 0,02 Р Р о 105 Тогда 'т.=2,53 10 ' с=2,53 мс. ' 7.6, а,„„=14,! мВ. 7.7. Спектральная плотность мощности входного процесса равномерна в пределах +Й и равна й г т 1в)>й, О, И;= — "гг,'„-0,5.10 4 В~/Гц.
Передаточная функция цепи К(ю)= 1 -е ' ', соответственно Кя (гв) = (! - сох а7) д+ яп ггвТ= 4 яп г (в Т/2 Спектральная плотность мощности процесса на выходе ( ) ( ) Кя ( ) 1У/04йп1 (глТ~/2) !гв!<а (0, !а!>О. Корреляционная функция выходного процесса А, „(т)= — ~ И~,„„(о)соаоийв= =- ~ — о,'„2 (1 — соя гвТ) сов олйв = л !Й о ,Гз ! = (у — со5 (ОЫΠ— — соз (щу — От) 6Ь вЂ” — СОВ (ыТ+Ол) ЙО '*(а~ а! г! о О 0 = гг ~, ( 2 япс йт — япс й (Т вЂ” т) - а!пс й (Т+ тЦ.
7.8. Квадрат модуля передаточной функции цепи КЯ (а) = =1/(1+(вЯС)~), а спектральная плотность мощности ~" ("'=~'"(")~ (")=( (-в'и.(--) т По теореме Винера — Хинчина ! ( И',соьолйо , (,) Г . ц 106 По таблицам интегральных преобразований (9, с. 243) находим Я (т) — в ~Ре (хио ДСе (хУ[лсГх1— вых 1(х ((гС) х х 4 10 — 4 [0 (е — 10 (х( е — хо !х(] Вг 7.9. Суммарная мощность процесса на выходе определяется суммой мощностей постоянной и переменной составляющих: 2 г "7 вых + О вых.
Квадрат модуля передаточной функции Кг (в) = (4+(его)г) поэтому т,„,=т К(0)=0,25 В, а дисперсия с учетом результатов задачи 7.8 г Ива(а — ИС) Ива ав» 0 4 Вг л [а — ((хС) х) л (а+ ххС) а+ х(С Таким образом, Р=0,46 В'. 7.10. Так как выходной и входной процессы связаны интегралом Дюамеля у(()= х(( — г)у(г)х'(г, о по определению взаимной корреляционной функции Я„, (т) = М (х(( — т) х(( — г) д(г) йг) = Я„(т — г) д(г) йг.
о о Для белого шума Я„(т) = И'об(т) (1, ~ 4.4), поэтому при импульсной ! г характеристике цепи первого порядка у(г) = — ехр ~- — ( получим ЛС (, ЯС/ Я„(т)= И'об(т — г) — е и~"~~х(гвв — 'е о 5. 1О-ве-з 1о ( ( Вг т>0 7.2. ПАРАМЕТРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ 7.11. Найти математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе интегрирующей АЕ-цепи в переходном режиме при (07 включении на ее входе в момент ! =0 белого шума со спектральной плотностью И',=10 " В'/Ги и постоянной составляющей т,„=0,1 В. Параметры цепи: 1=1 мГн, А=! кОм. 7.12. В момент времени !=О на вход интегрирующей цепи первого порядка с постоянной времени 0,2 мс подается широкополосный шум. Через какое время дисперсия выходного напряжения достигнет половины установившегося значения? 7.13.
На колебательный контур с параметрами ~ =! МГц, Я=20, коэффициентом передачи при резонансе Кб=0,2 в момент г=0 подается белый шум со спектральной плотностью И' =10 х В'!Гц. Определить закон изменения во времени и установйвшееся значение дисперсии на выходе контура. 7.14. Случайный процесс с корреляционной функцией А„(т) подается на вход цепи, структурная схема которой приведена на рис. 7.5. Выразить корреляционную функцию выходного процесса А„„„(т) через А„(т). х~х б„,„,Н~ 'Сбх® ~ ГХ х2 ббых 2 ~ х т~г Рис. 7.5 Рис. 7.6 7.15.
Определить отношение сигнал/шум на выходе интегрирующей АЕ-цепи (А=500 Ом, Е=5 мГн) при подаче на ее вход сигнала с,„(г)=0,5со810'б В, и шума с равномерным спектром и дисперсией о,'„=0,4 В' в полосе Л1'=1б0 кГц. 7.16. К генератору шума подключены параллельно две интегрирующие АС-цепи (рис. 7.б); А,=2 кОм=2Аб, С,=2Сб= =1 нФ. Шум имеет равномерный спектр в полосе Лг=!,б МГц и дисперсию ст,'„=400 мВЯ (!Ус=0 вне полосы ЛЯ. Найти взаимную корреляционную функцию для выходных напряжений. 7 17. Белый шум со спектральной плотностью мощности И'„= 1О '" В 1/Гц подается на два параллельно включенных резонансных усилителя с одинаковыми коэффициентами усиления Кб =20 и резонансными частотами соответственно вр, =10 рад/с, а, = 1,1 10' рад/с и одинаковыми полосами пропускания 6 Лв=2 10 рад!с.
АЧХ усилителей практически прямоугольные, ФЧХ вЂ” линейные в полосе пропускания. Определить взаимную корреляционную функцию выходных напряжений усилителей. 7.18. На идеальное дифференцирующее устройство с постоянной времени т„=! мкс подается случайный процесс с прямоугольным в полосе Ь~=1б кГц энергетическим спектром И'с=10 В~/Гц. Определить дисперсию процесса на выходе устройства. 7.19.
На входе дифференцирующей цепи с постоянной времени те =1 мс действует случайный процесс с корреляционной функцией ш8 Я„„(т)=4ехр( — и'т'), В', где а=10 с '. Найти дисперсию процесса на выходе. 7.20. Напряжение с выхода генератора шума с равномерной спектральной плотностью мощности И' = !О ~ В'/Гц подается через разделительную ЯС-цепь ф,=10 кОм, С„=0,1 мкФ) на интегратор, выполненный на основе операциойного усилителя (рис. 7.7) с параметрами Я„=10 кОм, С„=10 нФ.
Определить корреляционную функцию выходного процесса. ~н Рис. 7,7 721. Случайный процесс с плотностью вероятности равномерной в пределах от -а до +а (а=2В) и нормированной корреляционной функцией г„(т)=ехр( — и(т)), и= 1О с ', подается на интегрирующую цепь с постоянной времени т„=1 мс. Оценить характер плотности вероятности выходного процесса. 7.22. Как изменяются коэффициенты асимметрии и эксцесса процесса с экспоненциальным распределением при его прохождении через высокодобротный колебательный контур? Изобразить временные диаграммы и плотности вероятности входного и выходного процессов.
7.23. Обобщенный телеграфный сигнал, т. е. процесс, принимающий фиксированные значения (+ 5В) случайным образом (рис. 7,8) при пуассоновском законе распределения моментов перемен знака (среднее число перемен знака за 1 с равно и), подается на интегрирующую цепь. Изобразить вид плотности вероятности выходного процесса для различных значений постоянной времени цепи: то = О,З~п, 70 = Зпк Рис. 7.9 724. Случайный процесс представляет собой совокупность отрезков линейно изменяющегося напряжения с одинаковой крутизной о= 1О~ В(с, случайным знаком крутизны и случайной длительностью (рис. 7.9). Вероятности положительных и отрицательных знаков одинаковы. Определить плотность вероятности заданного процесса после его дифференцирования.
7.25. Для моделирования случайного процесса на ЭВМ генерируются случайные числа с равномерным распределением на интер- 109 вале (О, 1) и в каждый дискретный момент времени складываются пять таких чисел. Записать приближенное выражение для одномерной плотности вероятности генерируемого процесса. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 7.11. Вероятностные характеристики процесса на выходе линейной цепи в переходном режиме можно определить с помощью импульсных характеристик.
Для рассматриваемой цепи импульсная характеристика я(1)=ае "', 1>0, где а=Я/Е=10о с Математическое ожидание выходного процесса определяется выражением ! т,„„(1)=)К(1 — х)т,„(х)Их=~'ае " 1т.,!(х=т,„(1 — е "'), 1>0, о о Дисперсия выходного процесса определяется через двойной интеграл о' „(1) =) )Я(х )Я(хг) Я „(х — хг) !!«ггг«г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
