Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 13
Текст из файла (страница 13)
84 а) Рвс. 5.23 5.23. Определить виды и указать цепи обратной связи в следующих схемах усилителей (рис. 5.23, а, б, в). 5.24. Комплексные коэффициенты передачи прямой и обратной ветвей замкнутой системы (рис. 5.24) соответственно равны К„(~ в») = К„(К„) О); К„.
(~а») = ехр ( — ~ йЛ'). При каких значениях К~ данная система устойчива? Какой вид имеет АЧХ устойчивой замкнутой системы при различных значениях К„? Ряс. 5.24 5.25. Амплитудно-фазовая характеристика (годограф) двух каскадно соединенных четырехполюсников может быть аппроксимирована уравнением в полярных координатах А = и (1+ сов а). Определить критическое значение и,„, при котором замкнутая система, составленная из этих четырехйолюсников, теряет устойчивость.
Построить для и=0,5и, годограф разомкнутой системы Н (1е»). 5,2б. Электрическая цепь описывается дифференциальным уравнением 3-го порядка Ьой и(й'+Ь й и~й»+Ь»йи~й+Ь»и=0, Ьо=1, Ь! =4, Ь»=1, Ь»=2. Используя критерий Рауса — Гурвица, определить, является ли данная цепь устойчивой, а также определить размерность коэффициентов Ьс, Ь,, Ь», Ь,, если размерность переменной и (В), а слагаемых в уравнении 1В»/А ). 85 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ и ФЧХ (р„(в)=(р„(в) +(р„(в) =я — агстя(в т). Графики АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы представлены на рис.
5.25,а, б, т) <р(),рад 50 !д д8 ()д ()4 йг в 2,0 Рд 2б рз 1дзр(за д а Рд 2а ъз "Рдзрад/с д3 Рис. 5.25 5.20. Передаточная функция одного ( ) Р 2 (р) Рз2Р(рС) ) Рзз Ез(Р) Лз-)-)!(РС) зтз каскада на р-плоскости )+рлзС Для трехкаскадного усилителя ~(Р)=~~ (Р)=( —,), Р 8б 5Л9. Передаточная функция замкнутой системы 1~. (р)=К,ф -К,1~..(. )), где К., ( р) = 1/(1 +рт); т = АС.
Таким образом, К() (р) = К,/!! — Кр/(1+рт) ')= К„(1+рт)/(1+рт — К„). Эта функция обладает единственным полюсом р„= — (1 — К„)/т. При Кр<1 этот полюс расположен в левой полуплоскости, что указывает на устойчивость замкнутой системы. При К„>! полюс расположен в правой полуплоскости — система неустойчива. Пере- даточная функция разомкнутой системы определяется как произве- дение: Н(!в)=КР(!в)К„(!в), и при Кр(!в)= — 1000, т=0,001 с )Оз )Оз н(г~)-- — .,Р(у(~-ю аз(и ~))). ( *)' Следовательно, АЧХ о( )=1о'(,РГР ( ~)' Ьг Ьз О Ьо Ьг 0 0 Ь, Ьз Ь, Ьз ЗКгк,С Кг+Кг (СК К )з ЗСК Кз >О >О.
Нетрудно убедиться, что в данном случае /) з ='Лг, 9кзс~К~К~ Яз ЯзСзЯ Я6СзКз >О откуда ЯзСзКз ~ЯК~ — Кгз)>0 или, если Кг/К, <2, Лг>0, Ьо=(СК,кг)'>О. Таким образом, система устойчива при К,/К, <2. Для определения устойчивости цепи с помощью критерия Найквиста запишем Н ( ) 1г (. ) 1( ( ) (Кг/К1) ( Кг/Кг) (» звлгС) (1+1вКгС)з (1+вглггСг)з +1 ( Кг/Кг) +Зв КгС(Кг/Кз) ° ЗвлгС(Кг/Кг) — взлгСз (Кз/Кг) (1+ глгСг)з (1+ вг КгСг) з Для того чтобы цепь была устойчивой, необходимо выполнение одновременно двух условий: 1ш(Н(г о)Л=О' Ке1Н(йо)]«!. Из первого условия получаем (Яг/К,)з (ЗазКгс — еззкгзсз) =О, откуда находим езг =О, азг — — /3 /(Кзс). Из второго условия находим, подставляя о=азг, (Кг/Кг) (Зез~Кг~с3 — 1)/(1+езгКзс )з< 1, 8 (Кг/К,) з < б4 или Кг/К, < 2; последнее условие совпадает с результатом, полученным при решении с применением критерия Рауса — Гурвица.
5.21. Система устойчива. 5.22. Сначала находим передаточную функцию цепи обратной связи 87 Учитывая, что коэффициент обратной связи К„=1, запишем передаточную функцию замкнутой системы в форме к(к) ( — и /и )' ~О(Р)-1 К(,)К -(,+,К С)з(1+(К /К )з/(1+,К С)з). Характеристическое уравнение системы (Я /К )з+ (1+рк С)з О или (1+рк С)з Яз+Кз О и К'+ ЗРК,СКз+ Зр'С'К'Я'+р'С'К,'Я,'+ Кг'=О, Для составления определителей выпишем все коэффициенты характеристического уравнения: ь,=(ск,к,)', ь,=зк,'к,'с', ь,=зск,к,'; ь,=к,'+к,'.
Для того чтобы цепь была устойчива, необходимо, чтобы Ьр>0, а также были положительны все определители: Лг =Ь, =Зк,'К,'С'>О; К, =гг/(8(+гг), где 8г=,' гг —— )!г+1//аСг.' л,/г.ас, Лг + 1/гоуС, К„(йо)— яг+Лг+ягСг/Сг+иоСг (Лгяг — ! йо СгСг) Я 1 Зй+гогС(яг — (/оугСг) 3+г(оуг — 1/оуг) Здесь т=АС=10з 1О У=!О о с, Т(згда [1, 8 5. 7 ) Ко (!в) = К„/ [! — К К„(ко) ) = 2/ [3+ 1(вт — 1/аС) ) и соответственно Ачх=к (~(=,, Фчх=у,= — ' ~г гг( — ц у Графики АЧХ и ФЧХ представлены на рис. 5.26.
/~хогг 8 5 Гогг ауа уууог (у ог уа араб'а -уу/8 г 8 у2 16 а> Для определения запаса устойчивости устройства исходим из передаточной функции разомкнутого тракта Н(гв)=КК, (га)=К„/[3+((вт — 1/ат)) В соответствии с критерием Найквиста система устойчива при условии ! Н(коо) (с1, где ао — частота, при которой мнимая часть функции Н(ко) равна нулю [1, 8 5.10). В данном примере эта частота определяется из равенства вот-1/вот=О, откуда ао= = 1/т = 1/ЯС= 10' рад/с. Итак, при заданном значении К = 2 !Н(1во)!=Ку/3=2/3, критическое же значение К„„„(при !Н((вУ)!= =!) равно 3. 5.23. а) последовательная отрицательная обратная связь по току; б) параллельная отрицательная обратная связь по напряжению; в) последовательная положительная обратная связь по.: напряжению. 5.24.
Комплексный коэффициент передачи замкнутой системы Ко (йо) =Ку/[! К К (йо)) =К„/(1 — Ке '"г). ПРи Ко<1 значение Ко (в) максимальйо при а -+ О. В этом случае в системе существует положительная обратная связь, однако цепь является устойчивой, так как ! Н (1в) ! = ! К К„(гв) ! <1. Модуль ! К„,. (га) ~ принимает максимальное значенйе +1 и минимальное значение — 1.
Если 88 К„= — 1, то в системе существует отрицательная обратная связь: Ке !ехр (-1аТ))=сов аТ, Поэтому, если аТ=2яи, то при и=О, 1, 2, ..., а=2ия/Т Ко— - К„/(1-К„), т. е. обратная связь положительная, Если аТ=(2и — !) я, и=1, 2, 3, ... „а=(2и — !) я/Т, Ко= К„/(1+ +К ), то обратная связь отрицательна. В результате можно заключить: если К„с1, то цепь устойчива независимо от частоты а. При положительной обратной связи К,-+ со при К„- 1; при отрицательной обратной связи Ко- 0,5 при К- 1.
АЧХ замкнутой системы для двух значений К„представлена на рис. 5.27. 5.25. В соответствии с критерием Найквиста система неустойчива, если годограф системы охватывает точку с координатами (1, 0). В полярных координатах это соответствует случаю, когда А>1, ~р=О. В критическом случае А=1, ~р=О, при этом а,„= = А/(1+ соа 0) = 0,5.
Годограф устойчивой системы при а=0,5а„,=0,25 показан на рис. 5.28. е!н(зоо1 0 и 2л' ои 4и яи ои- ти аи в т т т т т т т т Рис. 5.27 5,26. Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения запишется в виде рз+4р'+р+2=0 В соответствии с критерием Рауса — Гурвица система будет устойчивой, если Ьо > 0 и все определители, составленные из коэффициенто в характеристического уравнения, будут положительными: Ь1 Ьз Лз=Ьз=4>0; Лг=~ =ЬзЬз — ЬоЬз=2>0' Ьо Ьг Ь, Ь, О Ьо Ьз О О Ь, Ьз = Ь1 ЬзЬз - Ьз Ьо = 4 > О Так как Ь,=1>0 и все определители положительны, можно сделать вывод, что система, описываемая дифференциальным уравнением, устойчива.
С учетом указанных условий размерности коэффициентов следующие: Ь,— Вс'/А; Ь,— Вс~,тА; Ь,— Вс/А; Ь,— В/А. Г л а в в 6. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 6.1. ВОЗДЕЙСТВИЕ ШИРОКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ НА АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПИ 6.1. На дифференцирующую цепь (рис. 6.1) подается импульс к(т)=Аехр( — ест), т>0; А=10 В; сс=4 10~ с . Постоянная времени цепи тсС=0,5 мкс. Вычислить спектральную плотность сигнала на выходе и найти сигнал я,„„(т). 6тцВ т Р с 1 г 4 В В Гмс Рнс.
6.3 Ряс. 6.1 Ряс. 6.2 6.2. На интегрирующую цепь (рис. 6.2) подается тот же сигнал, что и в предыдущей задаче. Постоянная времени цепи тсС= =0,5 мкс. Вычислить спектральную плотность сигнала на выходе и найти к.„„(т). 6.3. На дифференцирующую цепь (см. рис. 6.1) подается импульс х(т)=т(техр( — ит), т>0; А=10" В с, а=10з с ' (рис. 6.3). Постоянная времени цепи тсС= 2 мс.
Вычислить спектральную плотность сигнала на выходе и найти к,„„(т). 6.4. На интегрирующую цепь (см. рис. 6.2) подается тот же сигнал, что и в предыдущей задаче. Постоянная времени цепи 11С=2 мс. Вычислить спектральную плотность сигнала на выходе и найти Яви (т). 90 6.5. На дифференцирующую цепь (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
