Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 8
Текст из файла (страница 8)
3.18, из которых следует, что А(г) не является огибающей для а(г) в обычном смысле, т. е. не проходит вблизи максимумов а(г) и не является касательной [1, з 3.9). Это объясняется тем, что заданный сигнал не является узкополосным. 49 Ряс. 3.18 ея е(с ео ео 3,28. Представим первый радиоимпульс последовательности рис. 3.17 в виде четной функции ) Асоза г при -т„/2ь'/<т„/2, (О при (г(>т„/2. Спектральная плотность подобного сигнала (1,8 3.3] Ат,(с(о[(е-е )с„/2) Ип((е+ео)с„/2~ 2 1 (е-ед)с„/2 (е+ео)с„/2 В области частот а>0 второе слагаемое в фигурных скобках пренебрежимо мало, поэтому Вс(а)=йс(ао+Й) ° Й=а ао.
А с„но (сзс„/2) 2 сзс„/2 Спектральная плотность последовательности радиоимпульсов, представленной на рис. 3.17, (а) = Вс (ао+ Й)+ В2 (ао+Й )+ Вз (ао+ Й ) -Б4(ао+Й)+Я~(ао+Й)=Б,(ао+Й)(1+е '"о+"'" + +е с<-о'йыс. е-(<"о+огэст+с-с("о'й("абаз В случае когерентной последовательности радиоимпульсов (аос,= =п2я, и — целое число) последнее выражение упрощается: В( ) б( +Й) ~и ео( ~м/ )(1 ( — ссь 1 — (2йс 2 Гзс„/2 е-(зйс +е — йоши ) и модуль спектральной плотности е (о(=я (2~с(= — '~ ' ~ 5~-ссссо~„+2 о 4Ог~,. в График 5 (2яГ) прн Я=5 показан на рис.
3.19. 3.29. Комплексная огибающая аналитического сигнала, соответствующего первому радионмпульсу, А(г)=А, — т,/2</от„/2, а 50 Ряс. Зл9 Ы 4б бб Вб 100 7Вб АР гбао 1ВВ ГкГц набег фазы, обусловленный доплеровским смещением частоты за время Т, равен Г1Т. Следовательно, набег фазы для и-го радиоимпульса будет иГ1Т и комплексная огибающая А (г)= =е'"пт. Физическое же колебание внутри и-го радиоимпульса будет а„(г =А сов(оог+ийУ').
.30. Корреляционная функция ЛЧМ радионмпульса 11, з 3.11] имеет вид В (т)= ""'"( " ( ")созсэ т, — т стст, где использованы обозначения„принятые в примере 3.22. При р=0 А2т В,(т)= ' "(1 — ~т!/т„)соатв т, )т(ст„, что совпадает с корреляционной функцией прямоугольного импульса с немодулированным высокочастотным заполнением. Отметим, что при достаточно большой базе сигнала ширина основного лепестка функции В,(т) равна 2//' [1, рис. 3.32), а в отсутствие частотной модуляции (р=О) протяженность корреляционной функции равна 2т„.
При т„=5 мс и /;= 5 кГц ширина основного лепестка В,(т) для ЛЧМ импульса в 25 раз меньше длительности В„(т) при / =О, 3.31. Для построения корреляционной функции радиоимпульса, фазоманипулированного по коду Баркера, можно воспользоваться графическим методом, переходя к огибающей А (г), как и в примере 3.28.
Особенностью А (г) таких сигналов является возможность представления огибающей последовательностью действительных чисел с соответствующими коду Баркера знаками. Смещая последовательности относительно исходной 5 раз (по числу элементов кода) и складывая смещенные последовательности, можно получить огибающую искомой корреляционной функции. Уровень ее боковых лепестков составляет 1/У=0,2 от максимального значения при т=О. 51 Аь 3.32.
С учетом исходных данных физический сигнал можно определить выражением а(г)=Ае рл (Созеззг+созеззз), которое можно преобразовать, применив известные тригонометрические формулы: а(р)=2Ае о з'сох"з ~'зсоз~з — "1 г 2Ае-о,э<со,~зсозезоз= 2 2 2 =2Ае о з'соз2ягсозезок Анализ полученного после преобразований выражения показывает, что огибающая исходного физического сигнала А(з)=2Ае о,з'~соз2х График А (г) представлен на рис. 3.20.
Из этого графика следует, что при несовпадении частот ез, и ез возникают биения с разностной частотой. Такой метод измерения частоты носит название метода акустических биений и применяется также в электроизмерениях. А9! Ъ1 Ряс. 3.20 44 48 зг г8 28 гА г8 ~2 884844 йс 3.33. Частота дискретизации для заданного сигнала должна быть Р'„>2 кГц, восстанавливающий фильтр должен иметь полосу пропускания 2 кГц, среднюю частоту АЧХ 1 МГц.
3.34. Р )~ 10 кГц, Пф — -10 кГц, /".р — -100 кГц. 3.35. Р,>10 кГц, П, =5 кГц, ~ =2,5 кГц. Г л а в а 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ 4.1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 4.1. Дано колебание г,(г)=х(з)чз(з), где х(з) — случайный стацио- нарный процесс; ф(з) — неслучайная функция времени.
Определить, является ли это колебание стационарным процессом. 52 4.2. Случайный процесс представлен в виде г,(()=фф)+ г, где ф(г) †стационарн эргодический процесс; У вЂ” случаиная величина. Определить, является ли процесс ~(~) эргодическим. 4.3. Задан сигнал в виде постоянного напряжения случайного уровня г,(г)=К Можно ли процесс ~(~) назвать стационарным и эргодическим. 4.4.
Случайное колебание г,(~) в любом сечении представляет собой непрерывную случайную величину с одномерной плотностью вероятности Р(х, г). Определить в общем виде выражение для математического ожидания т~(г) и дисперсии 17 (1) колебания г,(с). Изобразить примерный вид реализации случайных процессов: а) нестационарных по математическому ожиданию; б) нестационарных по дисперсии; в) нестационарных по математическому ожиданию и по дисперсии одновременно. 4.5. По заданной графически функции распределения Р(х) стационарного случайного колебания (рис.
4.1) определить плотность вероятности и изобразить примерный вид реализации этого- процесса. Рис. 44 -Х-4-т-2-10 г 2 3 45 Юх',д 4.6. Сопротивление цепи г(~) (линейный элемент) и протекающий по ней ток 1(г) представляют собой некоррелированные стационарные случайные колебания. Определить среднее значение электродвижущей силы Е, создающей ток в цепи, если известно, что т„=100 Ом, а гл,=1 А. 4.7. По заданной плотности вероятности стационарного случайного процесса (электрического тока) Р(1)=Ы'ехр( — Ы), й>0 0<~'<со, определить коэффициент и, функцию распределения Р(1) и вероятность пребывания значения ~' в интервале (О,1//с). Построить графики функций р(1) и Р(1) для частного случая 1с=З А 4.8.
Определить математическое ожидание, дисперсию, средний квадрат и среднеквадратическое значение стационарного случайного напряжения, заданного одномерной плотностью вероятности (О,! В ', 0<и<10 В, Р(Я) = (О, и<0, и>10 В. Указать размерности найденных величин. 4.9. Плотность вероятности огибающей узкополосного гауссовского процесса определяется выражением [1, с. !29) 53 -кг | и О, исО. Определить математическое ожидание зтого колебания. 4.10.
Задано, что функция распределения стационарного случайного напряжения и(|) имеет вид ) 1 — ехр1='кй~| и>0, 7с>0, В ', (О, " исО. Определить математическое ожидание, средний квадрат и дисперсию этого процесса. Пояснить физический смысл зтих параметров.' 4.11. Напряжение на выходе измерительного усилителя представляет собой нормальный стационарный случайный процесс с математическим ожиданием т„= — 50 м В и дисперсией, ХЗ„= 0,01 Вг. Определить вероятность того, что мгновенное .
значение напряжения не превысит по абсолютной величине 150 мВ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 4.1. Для проверки стационарности колебания ~(|) определим его математическое ожидание и дисперсию: М [Ц| )1 = М [х (|) Ф (г Ц = Ф (|) М [х (|)), В, [Ц|)) = 1З [х(|) ф(|)) = фг (|) 1З [х(|)). Поскольку статистические характеристики функций г,(1) зависят от времени, процесс г,(|) является нестационарным. 4.2. Из условия, что М[У) от времени не зависит, а ф(|) является стационарным процессом, вытекает, что г,(1) также является стацйонарным процессом. Для эргодичности процесса Е,(г) требуется, чтобы и случайный процесс у(|), в сечении которого в момент времени |=г получена случайная величина 1; был зргодическим. 4.3. Случайный процесс г,(|)= 1| стационарен, поскольку при усреднении по множеству все статистические характеристики не зависят от времени; процесс г(|) не эргодический, поскольку при усреднении по времени результат' будет зависеть от выбранной реализации. 4.4.
Математическое ожидание и дисперсия случайного колебания Е,(г) могут быть записаны в виде т„(|)= ) хр(х, |)Их; 1З„(г)= ) [х —.т,(|))гр(х, г)с|Х. 54 Реализации процессов, у которых от времени зависит только т (г), только Р (г) или т (~) и Р (г), показаны соответственно на рйс. 4.2,а, б, е. Ряс, 42 б 4.5. Функцию распределения Р(х) представим в виде прямой, проходящей через две точки с координатами (х„у,) и (хз, уз): (х — х~ )/(хр — х~ )=(у у~ )/(ур .у~ ).
При х,= — 3, у,=О, х =4 и у, 1 получаем у=Р(х)=(х+3)/7. Функция распределения и плотность вероятности связаны соотношением р (х) = г/Р(х) / йх, следовательно, 1 при — 3 ~ ~х(4, р(х) = 0 при хс — 3, х>4. Убеждаемся, что условие нормировки р(х)~Ь= ~ -Их=! вы- полняется. График плотности распределения и изображение одной из возможных реализаций процесса показаны на рис,4,3. Р 4.З ч 4.6. Исходя из очевидного соотношения е(г)=г(~)~(г) и учитывая независимость линейной функции г(г) от тока ф), получаем е(~)=г(г)!(г)=т,т,=100 В. 4.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
