Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 10
Текст из файла (страница 10)
4.13 Ряс. 4.12 4.17. Для случайного процесса с ненулевым средним значением спектральная плотность мощности И;.(а)= И'„(со)+та' 2яб(со) (1, в 4.3), где И'„(со) — сплошная часть сйектра, соответствующая флуктуационной составляющей тока ~. При заданной корреляционной функции Я,(т)=0,8 ехр ( — 10411() получим (1, В 4.4) бЗ 32 !0~ И;(а)= Я!(т)е ' Ит+!п~ 2яб(се)=;,+0,9 2яб(2!т~). График И;.(2к/') изображен на рис. 4,13, Полная мощность (средняя) процесса !'(т), выделяемая в сопротивлении 1 Ом, Р,.=Я,(0)+т,'=1,7 А~ Ом. Примерный вид одной из реализаций !(!) изображен на рис.4.14. сТ 4 Рис. 4.14 4.18. Для заданных корреляционных функций: Я(т) 1 Ит ! о о сО о — Ф(со)=- —; — е "А=1; о 5!пмт иприт ! $!Вх 1 х в) !(т)= —; т,=~ — Ит=-~ — а!х=--.
ат ' ' 1 ит а~ х а2 4.19. Для любых двух нормальных стационарных процессов корреляционная функция их произведения определяется выражением (5, с. 149) Я„(т) = Я (т) Я„(т)+ Ят„(~) Я„т (т) + ~ 'Я„(т)+ +т2Ят(т)+т т„~Ят„(т)+Я„т(т)1. Учитывая, что процессы ~(~) и т! (т) некоррелированные (Я~„(т)=Я„~(т)=0), с математическими ожиданиями тт- — !п„=0, получаем Я„(т) = Я„(т) Я„(т). б4 Подставляя значения корреляционных функций, находим Р„(т) = о' ог ехр ( — игтг ) ~ (1+ игтг). 4.2О. гп„=глт+ггг„; 11„(гг гг)=Ат(гг гг)+Яч(гг гг)+Луч(гг !г)+ +Я,т(гг, гг). 4.21. Вначале определим спектральную плотность мощности процесса г,(г) 7 ~( ) т( )е ~~™ ~~г 2я ~к~ — а Взаимная корреляционная функция стационарного процесса г,(г) и его производной г)(г)=т1г,/Й определяется выражением (5, с.
149) Ат„(т)= — = — И;(а)е'"*Иа = !ай' (в)е'"'Йа. Из этого выражения следует, что взаимной корреляционной функции Ят„(т) соответствует взаимная спектральная плотность ~г И'т„(в)=1вИ' (а)=ив ' е " 'г" . 2о ~к Учитывая, что Я„~(т)=Яг„( — т) и И'„~(а)= И'т„(а) (!, с.
125), получаем И'„т(а) = — йо И' (а), т. е. взаимные спектральные плотности И'„т(а) и И'т„(а) — чисто мнимые функции. Из этого вытекает важное следствие: Яьч (т = О) = А„т (т = О) = — йо И~,. (в) б!а = О, — со т. е. взаимная корреляционная функция стационарного случайного процесса г(г) и его производной г)(г)=Не(г)1й в совпадающие моменты времени (т.
е. при т=О) равна нулю. 4.22, Корреляционная функция произведения двух независимых случайных процессов с нормальным законом распределения определялась в примере 4.19. Учитывая, что математические ожидания не равны нулю, записываем я„(т)=я~(т)я„(т)+т~гЛ„(т)+тгя (т), Применив прямое преобразование Фурье, после подстановки функб5 З-б87 ций Я„(т) и Я„(т) получим выражение для спектральной плотности: й» йл (й1+ й2) и~йлй1 и3~е~й~ л ? ~й2 2 2 ( ) ( 2+( +й )з) („1+, г) ( 1+ 1) 4.23. Учитывая, что Я (т) — функция четная, спектральные плотности средней мощности определим с помощью выражения И'(а) =2 ( Я(т) совет; о а) И'(в)=2) тг'е '1'1созв тсозаЫт= о 2 й й =гг 2 2 й~+(~о+во)' й2+(а — ио)1 Корреляционная функция и соответствующая ей спектральная плотность для ао»и изображены на рис. 4.15, а, б: б) И'(в)=21 а~е о ' сова тсозви(т= о л (в Р) Мн иа) — [е ло' + е 49* 4Р л Рлс.
445 Гауссовское распределение огибающей корреляционной функции приводит к гауссовскому энергетическому спектру. Для а =О (видеосигнал) спектральная плотность запишется в виде И'(а)= оз ехр ( — вз/(4рз)) ((2р /и). Корреляционные функции и соответствующие им спектральные плотности при ао — — О и в ФО приведены на рис. 4.16, а, б. 4.24. Корреляционная функция по заданной спектральной плотности И'(в) определится из выражения 2 ~ (' Я(т)=-~ И'(в)созаЫа=-~ И'осозвто(в= л л~ 66 Рос. 4.1б со с»о к 2 д т И'сало яоаав2 соз аотз о Аол!2 где Ла=аз-а„ао=(а,+а~)~2.
График Я(т) представлен на рис. 4.17. Рис. 4.17 4.25. Эффективная (энергетнческая) ширина спектра, который группируется вблизи частоты а=О («низкочастотный спектр»), определяется выражением (3, с. 199) (Ла).,=-~ — ( = 1 ( и'(в) Я(О) ~ и(О) и(О)' о где Я(0) — корреляционная функция при т=О; 3 ОЭ И~(0)= ) Я(т)е ' сй)„=о — — 2) Я(т)Ит. ОЭ о Таким образом, (Ла),б — — Я(0)/2 ) Я(т)сй. о 67 В случае узкополосного шума с центральной частотой вв эффективная ширина определяется выражением (Ьв) ~= —, где И'(ве)=2~ Я(т)созв тсИ. л(о) и Мо) о При заданных корреляционных функциях получаем: а) Я(т)=Ае ""; Я(0)=А; 2 Я(т)Ыт= —; (Ьв),в — — —, о б) Я(т)=Ае М'созвот; Я(0)=А; И'(ве)= -аф А =2А ) е '~'сов'в„Ит=-+А ~ е '~псоз2в„Ыт~— о в й о (при а~во интеграл (е ""соз2веай стремится к нулю).
о Таким образом, (Лв)„р=Я(0)! И'(в )=Ао~А=и; в) тт(т) = А е ' ' ~г сов вот; А(0) = А; И'(во) = ~з 2 2 Ге-а 1 /2соз2в тдт А ) е-а т /2~от+ о о о -«1т1 3 +А е ' ' ~гсоз2вот<Н=— а'ч' 2' о при этом (Лв),ф= /2~ли. 4.26. Основываясь на выражении Я(т)=- ~ И'(в)созвав, о получаем 68 Я(т)=-2Аи „,йо= — е "'=Ае при т>0; 1" +"' о Я (т) = А е"' при т < 0 или Я(т)=Ае "~', — ж<т<сс. 4.3. УЗКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 4.27.
Корреляционная функция стационарного узкополосного случайного процесса х(г)=А(()соз[оз 1+0(с)) имеет вид й„(т)= = а„' ехр ( — и'т'/2) сов азат. Определить условия, при которых функцию А(г) можно считать медленной по сравнению с созго„к 4.28. Определить корреляционную функ ию узкополосного случайного колебания х(~)=А(г)сох[в ~+0(г)1(, где А(~) и 0(г)— случайные, медленно меняющиеся функции. Спектральная плотность средней мощности случайного процесса представлена на рнс. 4.9. Изобразить (качественно) реализацию процесса и отметить на ней средний период огибающей. 4.29.
Для узкополосного случайного процесса х(г)=А(г)созх х [а ~+0(г)~ с заданной корреляционной функцией А„(т) получить приближенную формулу для корреляционной функции Я„(т) производной ц(1)=с/х(~)/гй. Исходить из условия медленности изменения амплитуды А(~) и фазы 0(~). 4.30. Определить связь между математическим ожиданием огибающей т„стационарного узкополосного шума и его средне- квадратическим значением о„. 4.31. Показать, что дисперсия огибающей о'„стационарного узкополосного гауссовского шума связана с квадратом его среднеквадратического значения о„' выражением а„' =~2-я/2~ о„'. 4.32.
Задан нормальный узкополосный случайный процесс х(г)=А(г)соз[во1+0(~Ц, где А(~) и 0(~) — медленно меняющиеся случайные функции времени; а~--средняя частота узкополосного процесса. Определить, является ли этот процесс эргодическим относительно математического ожидания ги„. 4.33. Узкополосный нормальный случайный процесс х(г) имеет энергетический спектр, изображенный на рис. 4.9, причем И' = =0,5 10 ' В~/Гц; Лв=1в,— в,1=2 1Оз рад/с. Определить вероятность того, что огибающая этого процесса превысит уровень Ая=3а„, где о„— среднеквадратическое значение процесса х(г). 4.34.
Задан узкополосный нормальный шум с корреляционной функцией Я„(т)=16ехр( — 4 1Охт')соз2к 1Овт, В~. Определить среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое значение 69 огибающей шума. Изобразить (качественно) реализацию узкополосного шума и отметить на ней вычисленные параметры. 4.35. Задан узкополосный нормальный процесс хЦ с корреляционной функцией Я„(т)=А ехр(-р~т~/2)соввот. пределить энергетический спектр огибающей этого процесса. Для А =0,25 В' построить график спектральной плотности огибающей.
4.36. Реализации узкополосного процесса представлены в виде суммы квадратурных колебаний: х (7) = А,(7) сов во7 — А,(г) в)п воГ, где А,(г) =А (г) сов 0(7); А,(7)=А (г) в)п 0(7); во=(в, +в2)/2 — центральная частота энергетического спектра (см. рис.
4.9). Определить корреляционные функции Я„, (т), ЯА, (т) квадратурных колебаний. 4.37. Задана двумерная плотность стационарного узкополосного колебания х(г): /«(А, 0)=А ехр ( — А2/(2а~))/(2яо,'), где А и 0— случайные амплитуда и фаза; с«2 — дисперсия процесса х (г). Определить математическое ожидание то и дисперсию оо фазы колебания 0(7). МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 4.27. Условие медленности изменения огибающей А (7) узкополосного стационарного процесса х(~) по сравнению с совво7 можно записать в виде [7, с. 358] (бв) э '~ во.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
