Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Из условия нормировки [ р(с)Й=1 следует и 1 / [ с2е-Ы~Д /сз/2 о [13, 2.322.2). Функция распределения 1 ~з ( ~,~В+У„+2 — ~ К е 'а'1=1— е ' при />О, ()= '~ о 0 при 1<0 [13, 2.322.21 Вероятность попадания значения с'(с) в интервал (0,1//с) Р(0<с<1//с)= 1 — О 914= 0,086. Графики функций р(1)=(/с'/2)ске "', А ' и Р(/) при /с=3 показаны на рис. 4.4,а и б.
асО ео ов оо Оо 02 вло г вйл Ю Ряс. 4.4 о г/к.г г ао М[и(сЦ=т„= ) ир(и)с/и=5 В. о Средний квадрат случайного колебания со М[и'(сЦ= ) и'р(и)с/и=33,3 В'. о Дисперсия случайного колебания 1о .О„= ) (и — т„) р(и)с/и=М1и (сЦ-т~=8,33 В1. о Среднеквадратическое значение 56 4.8. Математическое ожидание стационарного напряжения определим по формуле 1о о„= /3„=2,88 В. 4.9. Математическое ожидание огибающей узкополосного гауссовского процесса определим из выражения о — и~йго2) о Произведя замену переменной и)( 12о)=0 найдем т„=о /2 ( 2г~ехр( — г')й=о /2 )' 72гехр( — гг)й. Интегрируя по частям, окончательно получаем т„=о,о~2 ~я~2=о /к/2 1,26о, В. 4,10. Вначале определяем плотность вероятности иР(о) ) Ке ы пРи и')О, р(и)= — =~ ~о ) О при и<0.
Размерность р(и) — В Математическое ожидание т„= ир(и)йи= и~се ""ии=-, В, о о Средний квадрат И[и (гЦ= игр(и)гни= — „Вг, о Дисперсия )9 М[иг(гЦ щг )~1ог Вг Математическое ожидание щ„=С'о имеет смысл постоянной составляющей стационарного случайного колебания, М[иг(г))— средней мощности (полной) колебания, выделяемой в сопротивлении 1 Ом, а гу„— средней мощности, выделяемой флуктуационной составляющей колебания. 4.11. Задача сводится к определению вероятности того, что положительное отклонение случайной величины У от. среднего значения т„= — 50 мВ остается в пределах 0...200 мВ„а отрицательное отклонение †пределах О... — 100 мВ. 57 Вероятности этих двух событий равны соответственно 0,2 Р(0<0<02)= — "е "ЯгЩИи Ф( ~1 Ф(2) о ол Р(0<~ ц<0 1) ~ е- ~лзо„.ь~уц Ф( ~ ~ 1 Ф(1) /2м0„,1 ~,/в„г о о,~о„ где Ф1 — = — е ' 'за — функция Лапласа (5, с. 532]. ~ ~/Э„ / ~/ 2х о Совместная вероятность указанных двух событий Р(! и~ <0,15) = Ф(2)+Ф(1) =0,8185, т.
е. вероятность того, что напряжение на выходе усилителя не выходит из полосы — 100... +200 мВ, составляет 0,8185. 4.2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 4Л2. Задана ковариационная функция случайного колебания ~0: КФ(81 г2 ) 1/ ь1 (г 12 ) 3 где г — безразмерное время. Определить ковариационную функцию случайного колебания т1(С)-е '~(~)+182К 4ЛЗ, Показать, что модуль корреляционной функции ~ Я (г„г )~ случайного процесса ~(г) меньше или равен половине суммы дисперсий процесса в моменты времени г=г, и ~=~,. 4.14. Спектральная плотность мощности И'(в) стационарного процесса х(г) задана графически (рис.
4.5). Определить дисперсию и корреляционную функцию процесса, указать их размерности. -оь Ю оь е Рве. 4.5 58 4.15. Напряжение с выхода электронного коммутатора пред- ставляет собой стационарный случайный процесс и(г) (рис. 4.б), описываемый двумерной плотностью вероятностей Р~(и,, иг' т)=05Р,(т)6(и,— 1)6(иг 1)+ +0,5Р,(т) 6(и, — 1) 6(и,)+0 5Р (с) 6(и,) 6(и — 1)+ +0,5Р, (т) 6(и, ) 6(и ), В где Р,(т)= !+ехр( — 2Хе) ! — ехр( — 22г) 2 ' 2 ); Р,(т)= ; Х вЂ” параметр процесса Цг). Определить корреляционную функцию процесса Ц7), спект- ральную Плотность мощностй и полную мощность процесса У(г); изобразить графики корреляционной функции и спектральной плотности мощности- указанного процесса.
4.1б. Дан стацйонарный случайный процесс (рис. 4.7) и(г)= Ю сох(ег !+ер), В, где амплитуда У и частота ег„— детерминированные .величины; ер — случайная величина, равномерно распределенная в интер- вале — я(ер<я. Найти его ковариационную и корреляционную функции. гг нс Рис. 4.7 Рис. 4.8 4Л7. Ковариационная функция случайного тока г'(г), представленная. на рис. 4.3, описывается выражением К(т)=0,8ехр( — 1О'|т~)+09, А'.
Определить и изобразить на графике спектральную плотность мощности процесса '1(7), полагая закон распределения нормальным, качественно изобразить на графике реализацию случайного тока г'(г). 4.18. Даны корреляционные функции трех случайных процессов: а) Я(т) =А/(1+еггтг); б) Я(т)= А ехр ( — еггтг); в) Я(т) = =Аз(пеплах). Определить интервал корреляции т„=- ! !г(т)!Ит, где г(т) — нормцрованная корреляционная функция процесса. 59 419. Определить корреляционную функцию случайного процесса х(г)=г(г)т~(г), где Ц(с) и т)(г) — стационарные случайные некоррелированные нормальные процессы с корреляционными функциями Я~(т)=а~ ехр( — а'т~) и )т„(т)=а,',/(1+и т1) и математическими ожиданиями и =и„=О.
4.20. Известны математические ожидания и корреляционные функции двух случайных колебаний г,(() и ц (~). Определить математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции х(г)=с(~)+т)(г) в общем виде. 4.21. Определить взаимные спектральные плотности И'т„(о) и И'„~(оэ) процессов Ц(~) и т)(~)=Ыс(г)~й. Корреляционная функция процеоса ~(~) задана: А„(т)=а~1ехр( — а'т'). 4.22. Определить спектральную плотность И'„(оэ) процесса х~г) =Р (Ф) п(т), где с(г) и ц (к) — независимые нормальные случаиные процессы с известными математическими ожиданиями и и и„и корреляционными функциями )1т(т)=а~техр( — и,~т~),,и Я„(т) = а,', ехр ( — и, ! т !). 4.23.
Определить спектральные плотности средней мощности стационарных случайных колебаний по известным ко реляционным функциям: а) тт(т)=а'ехр( — а~т~)созе т; б) )т т)= =а'ехр( — р'т )созтоот. Построить графики получейных И' то). 4.24. По заданной графически спектральной плотности средней мощности (рис. 4.9) определить корреляционную функцию А(т) стационарного случайного процесса.
4.25. Вычислить эффективную ширину спектра стационарных процессов по заданным их корреляционным функциям: а) Я(т)=Ае "~'~; б) Я(т)=Ае "~всозсоот; в) Я(т)=Ае '"'~~созсо т. 4.26. Определить корреляционную функцию и дисперсию стационарного случайного процесса, имеющего спектральную плотность средней мощности И'(оэ)=2Ая!(а'+а'), А>0, п>0. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 4.12.
Прибавление неслучайного слагаемого не оказывает влияния на ковариационную функцию случайного процесса. При умножении же случайной функции на неслучайную функцию ~р(~) ковариационную функцию нужно умножить на <р(г,)<р(г,). Такйм образом, 60 й;(»»г)=е " "!>/[! — (»! — »»)']. 4.13. В задаче требуется показать, что ~К (»„» )~<0,5[с»» (»!)+о» (» Ц. Для доказательства воспользуемся соотношением М(~ [г,(»,) — »»»~(»Ц+[с,(»~) — »»»»(»~ ЦГ) )О. При переходе к центрированным значениям случайной функции г, (» ) = г, — л» (») получим М(~$(»!)+$(»,)!') ~~0.
Учитывая, что математическое ожидание модуля суммы равно модулю суммы математических ожиданий слагаемых, записываем ~ МД (», Ц+2М[~(»!)~(»~)]+М[$ (»Ц ~~~0! откуда следует М [~' (», Ц+ М Я' (»» Ц = о ~ (», )+»т~ (», ) > 2 ~ М ф»! ) $ (», Ц 1, или,учитывая,чтоМД(»!)Ц»,Ц=Я(»!, »,),окончательнополучаем ~К(»„» )!<0,5[»т~~(»!)+»т (» Ц. 4.14. Корреляционная функция ОЭ !! ! й (т) = — И'(со) е'"'»/»о = — И'ое!"'й» = — '' — '. ! ! График корреляционной функции показан на рис. 4.10.
Ряс. 4.10 Дисперсия процесса х(») .0„=Я„(0)= И'~»в»/»». Ее можно определить и непосредственно по спектральной плотности мощности: к 2х! х 61 Размерности корреляционной функции и дисперсии процесса х(1) совпадают и могут быть либо 1А' ), либо 1 В'), в зависимости от того, что описывает функция х(г) †т или напряжение. 4.15. Корреляционную функцию процесса, заданного двумерной плотностью вероятности, найдем из выражения Я„(т)= ) ) (и,— т„)(и,— т„)р„(и,„и~; т)~1и,с1и . Для определения математического ожидания т„найдем одномерную плотность вероятности р(и)„проинтегрировав р„(и„и„т) по и,: р(и,)= р„(и„ит; т)сМи,= — Р,(т)+-Рк(т) Ь(и,— 1)+ Учитывая, что Р, =0,5(1+е ~'*), Р, =0,5(1 — е '"), получаем р(и, =р(и,)=р(и)=0,55(и-1)+0,5б(и). пределим математическое ожидание и корреляционную функцию процесса: л.= ) ир(и)ни= ( и(0,56(и — 1)+0,55(и)~Ни=0,5 В; Я (т)= ) ) (и~ — т„)(и~ — т„)Р„(и~, и~1 т)ди Йи~ —— =0,25е "'~, В' Спектральная плотность средней мощности В2 И'„(в) = Я„(т)е '"' й = 2 Я„(т) сок 2ф'тб1т = юг+(2л1')з гц ~О о Полная мощность процесса Цг) Р =Я (О)+т~=Р +т~=0,5 В~/Ом.
Такую мощность выделяет процесс Цг) в сопротивлении 1 Ом. Графики Я„(т) и И'„(а) изображены на рис. 4.11,а, б. 4.16. Ковариационная функция стационарного зргодического г процесса определяется с помощью выражения К„(т) =!пп — ~ и(г) х о б2 Ряс. 4Л! -Х~гЛ) б ~1(~Х) т -гЛ б Ь~ Зп. б) б~ х и(1+т)411, следовательно, для 1)(1)= У сов(соо1+д) будем иметь т К„(т) = 1пп — ~ Уо сов (соог+ <р) Уо сов (соо 1+ соот+ <р ) ~й = о т и' 1'~ = 1пп — ' ~ — ( сов сост+ сов (2гоо1+ 2<Р+ гоо1)3 й. , „т~2 о После несложных преобразований получаем К„(т)= — 'сова т, В'.
Так как в общем случае ковариационную функцию можно представить в форме К„(т) = Я (т)+ т 2, то очевидно, что в рассматриваемом примере К„(т) = Я„(т). Важно отметить, что корреляционная функция гармонического колебания со случайной фазой ср является также гармоническим колебанием с той же частотой со; независимо от начальной фазы ср корреляционная функция Я„(т) является косинусоидальным колебанием (рис. 4.12). -гт б МВ ЫГВшус Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
