Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Аргумент спектральной плотности 8 (в) = кл — все/2. Зависимость модуля спектральной плотности от вс 12 изображена на рис. 2.15. зл Ф тг от — л — г иМг г г г г Рве. 2Л5 2,22. Спектральная плотность сигнала в виде суммы двух смещенных во времени Ь-функций 2! Б (в) = А (е! 12 — е !ва 12) = 2А! Б1п аа" 2' При интегрировании получается симметричный униполярный импульс прямоугольной формы с амплитудой А и длительностью т„. Его спектральная плотность [1, 9 2.8] Я! (а) = Я (в)/(!'а) = — яп — ". При определении спектра после повторного интегрирования необходимо учесть, что прямоугольный импульс имеет ненулевую площадь 5210)=Ат„, поэтому [1, 9 2.8 и приложение 2) 82 (в) аа — ', +лЯ! (0) Ь(а) аа — ав!П вЂ” "+2тАт„б(а). 2.23.
Спектр сигнала 5(!) (см. задачу 2.14) К(а)=2с!А/(с!'+в~). При а~и Б в[=2иА/в2. В знаменателе показатель степени в равен двум в ' = в2). Следовательно„производная первого порядка 5' (!) имеет разрыв непрерывности [1, 8 2.13 ]. При дифференцировании сигнала [1, 9 2.8] спектр Я! (а) = !аВ(в) аа =2иАа/(!22+а2). При а:в и Я,(а)=22!хА/а,' что указывает на наличие в производной сигнала 5'(!) скачка величиной 29!А [1, 8 2.12].
При повторном дифференцировании спектральная плотность становится равной $2(в =(!а)'В(а)=-2в~пА/(91~+в~). При а ~ и Ь2 (а) аа - 2иА, что говорит о наличии во второй проИЗВОДНОй 5а(!) Ь-ФУНКЦИИ ОтРИЦатЕЛЬНОй ПОЛЯРНОСтн С КОЭффициентом 29!А. 2.24. Спектральная плотность экспоненциального импульса [1, 9 2.12] 1)(в)= =- ехр~ — !агст8 — /!. 1 1 1 03 Я+ Яв 9 %+ 952/а' Максимальное значение спектральной плотности ЦО)=1/с!. Спектральная плотность уменьшается в десятв раз при выполнении условия (1+а„',/и2)21 =10, откуда а„=, +9,95п. Энергия колебания на входе цепи Э,„= ехр ( — 29!!) !тг = —. 1 о Энергия отсекаемой части спектра ЛЭ=- ~ —,—,йо=-~- — -агст89,95) = ' ! /'! 3,19 10 л и' -!. ва 5~ ) а 9,95а 22 так что относительная величина ЛЭ/Э,„=6,37 10 1. Напряжение на выходе цепи 9,95п 9,95п го )' СО5 Ои-агсгв /Г+оггаг " а /11 (ог, хг — 9,95п о 9,95п 19.95п и (0)пп —,,=-агс18 — ~ =0,468.
го+" " "о о При 1~0 интеграл нельзя представить элемензарными функциями. Сделав подстановку х=в/и, приведем его к виду, удобному для численного интегрирования: 9,95 ! ( соо (хаг — агс1в х) и,(1)=- ~ г/х. /1+хо о На рис. 2.16, а показаны экспоненциальный импульс иг (1) и импульс, полученный при усечении спектра и,(1), на рис. 2.16,6 зависимость ли=иг(1) — и (г) от параметра м.
2.25. Определив спектральную плотность прямоугольного импульса [1, 8 2.9) и спектральную плотность гармонического колебания [1, я 2,13), получим Е1(гп) = — яп — н+ Цк[егвоб(гп — 2к/)+е гвоб(со+ 2яЯ го 2 2.26. Спектральные плотности аг 11 ~~,~ — <-и т.
го 2 гг Ю (гп)=, е '"'и'~яп —" 2 ехр [ — 1(п — 1)гпТ). н=1 2.27. Представив заданный сигнал в виде произведения прямоУгольного импУльса и сок го 0 где ао= к/т„, искомый спектР можно определить с помощью теоремы о смещении спектра [1, я 2.8, 3.3): Я(аз) =- ял [(Гя — П/т„) т„/2) + ат [(ГП+ К/тн) тн/23 гоп„-х, опн+к оггн 5!П 5!П Сов— г 2 ~ 2ггг„2 ОГГн + а / 11 Овхн ( 2г) 23 ф Р~к. 2нб Ряс. 2.17 На рис.
2.17 изображена зависимость 5(в)/(Ат„) от гат„. 2.28. Импульс можно представить в виде произведения Ае "" и япс(ен). Спектры сомножителей: )к~и при — и<в<и, (О при в< — м, в>и; р(се) =2иА ~(а'+и') (см. (1, ф 2.10.) и задачу 2.14). Искомый спектр определяется сверткой С(оз) и Е(а) (1, 5 2.8): а 1 1 я 2АЫк А й Я(гя)= — ~ —, ',= — агс1я2 —,.
-Ы ~ —.."(.— х) ОЗ' 2.29. Спектральная плотность определяется сверткой исходных спектров ВМ)= ~ г 1 к1~(х)+. 2„юг+(щ,)1 ~ п~ а+ю форма сигнала (см. задачу 2.24) (ехр(-ш), Г>0; 2.36. 0,02 В; 20 В (1, 5 2.7). г з г,моя 2 . ат„ 2З1, АЧХ импульса заданной формы о(а)= — яп —" показана со 2 на рис. 2.! 8 штриховой линией. Частоты гармоник /„'= и/ Т= =О,ббп МГц. На этих частотах определяются по графику значения спектральной плотности.
Умножив эти значения на 2/Т= 1,33 10~, определим амплитуды гармоник А„. Постоянная составляющая равна з(0)/Т. 2.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ С ОГРАНИЧЕННОЙ ПОЛОСОЙ ЧАСТОТ РЯДОМ КОТЕЛЬНИКОВА 2.32, По заданной совокупности отсчетов (х(пЛ1)), взятых с шагом Ж из континуального сигнала 5(1)„требуется восстановить исходный сигнал. Один из возможных способов основан на использовании специального фильтра. Каковы должны быть характеристики фильтра — импульсная, АЧХ и ФЧХ? Исходить из условия, что отсчеты 5(пав!) представляют собой достаточно короткие импульсы, близкие к дельта-функции 8(1). 2.33. Определить шаг дискретизации единичного скачка х(1)=1, 1>О, при котором обеспечивается воспроизведение перепада с длительностью фронта тф не больше заданной.
2.34. Определить шаг дискретизации экспоненциального импульса з(1)=е ", 1)0, при котором обеспечивается воспроизведение фронта с длительностью т, не большей 10% от постоянной времени т= 1/а= 1 Мс. Определить приближенно требуемое число отсчетов. 2.35. Определить число отсчетов, необходимое для представления прямоугольного импульса с длительностью т„= 1 мс, при условии, чтобы длительность перепадов восстановленйого импульса не превышала 5% от т„.
2.36. Спектральная плотйость В(в) импульса к(1) с длительностью т„=1 мкс представлена совокупностью отсчетов (Б(л2!а)). Определить максимальный интервал Лсо между отсчетами, при котором возможно восстановление спектральной плотности Б(оз). Зависит ли этот интервал от формы импульса 5(1) (при неизменнои длительности т„)? 2.37. Вычислить отсчеты В(пАв) спектральной плотности прямоугольного импульса з(1) с длительностью 2„=1 мкс и ампли- 25 тудой Е=10 В. Изобразить линейчатый спектр графически. Каковы должны быть интервалы Ла между отсчетами, чтобы исключить возможность потери информации о спектре.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 2.32. Импульсная характеристика фильтра Е(1) должна совпадать с базисной функцией ряда Котельникова: г 1 ипа 0-п(2Я п и (| п(2(. ) 5|п (Ощ1 Ь (г)= — ", а =2кХ. Ф,~ Учитывая, что импульсная характеристика фильтра должна отвечать условию Я(г)=0 при ~<0, запишем ее в форме и(') = Япю 0 — А) ю„р — 0) где г, — — задержка (рис.
2.19, а), обусловленная инерционностью фильтра. з его т+— и) Рис. ЗЛУ Тогда искомая передаточная функция фильтра Ипа 0-0) о~ (| — А) яп е„| Спектральная плотность функции —" равна к/в, -а <а< п|~Р 3НФ В$ <в„, а с учетом задержки ~, (1, З 2.15] — е '"' при (в)<а, К((в) = и 0 при (в)>в . Таким образом, АЧХ и ФЧХ, равная азу„должны иметь внц, показанный'на' 'рис. 2.19, б. АЧХ дйлжна быть максимально близкой к прямоугольной, а ФЧХ- — к линейной. 2.33. На рис.
2.20 представлена последовательность отсчетов, взятых из единичного скачка, а на рис. 2.21 — соответствующие этим' озсчетам 'базнсйые 'функции ~р (г), <р,(г), ... и их сумма. Задержка этих функций во времени, обусловленная инерционностью формирующего фильтра (см. рис. 2,19, а), здесь не учитывается. При учете задержки получается график восстановленного сигнала, представленный на рис.
2.21. Длительность перепада т, отсчитываемая между точками «а» и «б» (рис. 2.21), практическй равна 1,5Лп При этом следует учитывать, что положение точки «а» на оси времени может не совпадать с истинным'момейтдм скачка исходного сигнала. Ошибка а может достигатй' велнчинь1 ' Лг '(см. рис. 2,20). Рис. 2.21 Р»с. 2.20 2.34. Используя результаты решения предыдущей задачи, нетрудно построить график, представленный на рис. 2.22. В данном случае первый отсчез будет е "„длительность фронта, как и ранее, т, =1,5Ж.
0 г 20 40»= а 1/Лг 20 Ряс. 2.22 2 ке 27 Тогда т/тф — -т/(!,5Лг)=10, откуда Лг=т/15. Задаваясь условием, чтобы уровень отсчетов к концу импяульса не превышал примерно 2'/О от первого отсчета, получаем е =е "'=1/50, откуда требуемое число отсчетов М>151п50х58, В зависимости от случайной величины с, наибольшее значение которой может достигать Л~, разброс пика импульса заключен в пределах от е ~=0,95 до единицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
