Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Какие из приведенных функций ортонормированы? 2.2. Написать обобщенный ряд Фурье по системе функций 1, 2л 2л 2л сох — О сох 2 — 6 ..., сох и — б ... для импульса прямоугольной т ' т т формы с амплитудой А (рис. 2.1), определенного на промежутке времени ( — Т/2, Т/2).
Длительность импульса т„= Т/2. Определить относительную среднеквадратическую ошибку при аппроксимации функции х(1) двумя, тремя и четырьмя слагаемыми обобщенного ряда Фурье, 2.3. Один период синусоидального колебания с амплитудой 1 В в базисе ортонормированных на интервале [О, 1] функций Уолша ча1(1, 0), хча!(2, О), ..., юа1(п, О) аппроксимируется четырьмя членами обобщенного ряда Фурье (1, 8 14.5): и(0) =0,636 хиа1(1, О) — 0,265 ва1 (5, О) — 0,052 ва1 (9, О)— — 0,128~ча1(13, О), В.
Определить норму функции и (О). Вольше или меньше полученной величины норма исходного колебания? Определить энергию колебания и (О), выделяемую на сопротивлении 1 Ом. Сравнить полученное значение с энергией исходного колебания в том же сопротивлении. 2.4. Аппроксимировать симметричный импульс х (1) прямоугольной формы с амплитудой А и длительностью т„, заданный на интервале ( — Т/2, Т,'2), тремя слагаемыми обобщенного ряда Фурье по системе ортогональных полиномов Лежандра церво1о рода. Построить зависимость аппроксимирующей функции х,(1) от 1/Т при А=! и — Т/2<1< Т/2.
Определить среднеквадратическую ошибку аппроксимации. 2.5. Аппроксимировать на интервале (О, ао) импульс х(1)=1, 0<1<т„, тремя слагаемыми обобщенного ряда Фурье по системе ортонормнрованных функций Лагерра. Определить относительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации. 2.6, Аппроксимировать импульс х(г)=ехр( — аг) -ехр( — (31), 0<1<со, где а=!О' с ', [3=2 10' с ', тремя слагаемыми обобщенного ряда Фурье по системе ортонормированных функций Лагерра. Определить нормы исходного и аппроксимирующего импульсов.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 2.1. а),/Т; б) 1; в) 1; г) 11' /2; д) /Т; е) 1. Ортонормированы функции б), в), е) [1, 9 2,2]. 22. Определяем квадраты норм функций [1, 9 2.2]: 772 ттг — 127(1=Т, ))7Р„))г= созг2яп гсвг=в —. Ђ Т72 — Т72 Определяем коэффициенты обобщенного ряда Фурье [1, 9 2.2]: 774 т;4 ял л л'2 сл = — Ай = А(2, с„= — А сов 2яп — Й = А Т ил!2 774 — т~4 Обобщенный ряд Фурье по заданной системе функций А 2 2л 2 2л 2 2л х (1) = — + -сов — г — — сох 3 — г+ — сох 5 — г — ...— 2 л Т Зл Г 5л Т 2А ( — 1)" (2л — 1) 2л сох л(2л-!) Т Относительная среднеквадратическая ошибка определяется по формуле / Т)4 и '7 Т74 и,=( ! *'(14 — К .! ~~,, ф ! "114.
— Т!4 л=а — 774 ПОДСтаВИВ НайДЕННЫЕ ЗНаЧЕНИЯ Ел И !)1)7„!!г, ПОЛУЧИМ 2.3. Норма функции и (О) определяется в соответствии с равенством [1, 9 2.2] )! и(0) )! =[(о,бЗб)г+ (0,205)г+ (0,052) + (0,12З)211~2=0,70З В. Из неравенства Бесселя [1. ч 2.2] следует, что норма исходного колебания больше полученного значения. 9 Энергия электрического колебания, выделяемая на сопротивле- нии 1 Ом, определяется квадратом нормы соответствующей функции (1, ~ 2.2): '1 и(г)1'=0,493 В2 с; энергия одного периода синусоидального колебания с амплитудой 1 В на том же сопротивлении равна 0,5 В' с. 2.4. После замены переменной х=г/Т А, — х„<х<х„, х(х)= О, хс -х„х>х„, где х„=т„(Т. Квадрат нормы полнномов Лежандра Р„(х) 11, э 14.2) равен ~! Р„(х)1 =222(2л+1).
Коэффициенты обобщенного ряда Фурье для импульса заданной формы определяются по формуле 2 с„= А Р„(х) Их, — х При нечетных и полиномы Лежандра — нечетные функции и соответствующие коэффициенты равны нулю. Аппроксимирующая функция 5,(х) запишется так: 54(х) =СОР0 (Х) +С2Р2 (Х) +С4Р4(х), г где Р0 (х) = 1; Р, (х) = - (Зх 2 - 1); Р4 (х) = - (35х 4 — 30х 2+ 3); с0 = 2 ' 8 4 х А 1Дх4х41с2А(Зх1)42хАх11(х111)1 — 4 — 4 с4 — — А — (35х4 — 30х + 3) 22Х = — Ах„(7х4 — 1Ох~+ 3). — 2 Подставйв значение х„= т„~Т= 1/2, получим с0 = 1/2; с2 —— = — 15/16; с4=135/256.
После подстановки переменной г аппрокси- мирующая функция примет вид ,(5=,-1,-[12(-) — 1]-1 -[160(-) — 122(-) 12]. Зависимости аппроксимирующей функции 54 (г) (штриховая) и исходной 5 (г) (сплошная) от отношения ~/Т изображены на рис. 2.2. Среднеквадратическая ошибка (1, 8 2.2) 0.5 М= ( 5~0! — ]с02 Я Р0(х) Ц +с27 ИР1(х) $$ +с4~ Ц Р4(х) П~~-0,086. — 0,5 ю Рис.
2.2 -Юо -02о П 02о гГТ 2.5. Заменив переменную х=!~т„, запишем сумму первых трех слагаемых обобщенного ряда Фурье по системе функций Лагерра (1, 8 142): з,(х)=соУо(х) +су11 (х) +с~(~(х), /кк где 1о(х)=е '2~; l1 (х)=( — х+1)е "~~; !г(х)=( — — 2х+1 е Коэффициенты обобщенного ряда Фурье: со=) е "'~Их=2(1 — е "2) 0,786; о с,=) (1 — х)е ""Их=4(е "' — 1)ж0,426; о 1 7х ся= ! — 2х+ — ~е ""Их=(2 — Зе "2) О,!8. о Подставив значения коэффициентов и функции Лагерра в исходную формулу, после приведения подобных членов и замены переменной получим .к, (г) =(1,392 — 0,786!,~т„+ 0,09~Р(т~) е Относительная среднеквадратическая ошибка М=0,168.
2.6. После замены переменной х= 2и( форма напряжения запишется так: Определим коэффициенты обобщенного ряда Фурье в базисе функций Лагерра (1, в 14.2): со=~ (е "'~ — е ~')е "'~с!х=1— 1+ р~о' о 13 к (е-к!г е аг)( х+ !) е-кзгзгзг (1+ 13/а)' 1+ 13/а' о с =1 (е "зг-е а2)(кг — 2х+1)е "1гз!х= — + 1 + 13/а (1 + р/а)з о 8 (! +13/а)з' Подставив в последние формулы р/о1=2, получим сок— л !/3; сз = = — 2/9, сг = — 2/27.
После обратной замены переменной аппроксимирующую функцию получим в виде з,(1)кл~ -' — -(1 — 2а1) — — (1 — 4а1-~-2иг1г)1з1е "'= — 'х 13 9 27 27 х(1+20аг — 4аг1г)е ". Норма исходного импульса а.к — а 4 чпг З*»-Ц1. ° 1з) =[ "-- ] -Омвз )3 1+13/а.] о Норма аппроксимирующей функции '8 з, 11 = ~сД + с ~~+ сД '~~ х 0,4074. 2,2.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 2.7. Построить амплитудную и фазовую спектральные диаграммы напряжения 111 г — !з ~ввз-з-О' '], в. 3 л о Изобразить зависимость напряжения от времени. 2.8. Выполнить спектральный анализ колебания 3 з(1)лл ~ — соа" (2к 10з1+45 ). в=о Определить его период. 2.9, На вход приемника, настроенного на частоту/о=500 кГц, воздействует помеха в виде периодической последовательности 12 -г„,/2 г„/2 а) ги Рис, 2З -7 с'и 4~и T е 2 2 2 2 2 2 Рис. 2.4 2.12. Чем отличаются спектры напряжений и, (г) и из (с), временные диаграммы которых изображены на рис.
2.4, а и б? Как отличаются средние мощное~и. выделяемые напряжениями и, (г) и ия(1) на сопротивлении ! Ом при т„=0,5 мс, Т=1 мс и и=1 В? МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 2.7. Напряжение представляет собой сумму двух гармонических колебаний, частоты которых 10 Гц и 2 !О Гц, амплитуды 1 В и 0,5 В, а начальные фазы к и — и/2. Амплитудная спектральная диаграмма напряжения изображена на рис. 2.5,а, фазовая — на рис.
2.5,б. На рис. 2.б изображены каждое гармоническое колебание и их сумма (сплошная кривая). !3 прямоугольных импульсов с амплитудой А=!0 мВ, следующих с периодом Т=50 мкс. В полосу пропускания приемника попадает одна из гармоник периодической последовательности. Определить номер этой гармоники и выявить зависимость амплитуды помехи на выходе приемника от длительности импульсов т„при скважности Т!(т„, равной 20, 15, 1О и 5. 2.!О. Построить амплитудную спектральную диаграмму четной периодической последовательности прямоугольных импульсов (рнс. 2.3,а) с длительностью т„=! мкс и амплитудой (?=1 В при периодах Т, равных 3 и 4 мкс.
Как изменится спектр рассматриваемой последовательности при совмещении начала отсчета времени с фронтом одного из импульсов (рис. 2.3,б)? 2.(1. Представить в виде ряда Фурье периодическую последовательность треугольных импульсов напряжения (рис. 2,4,а). Построить амплитудную спектральную диаграмму, приняв сГ= ! В, т„=0,5 мс, Т=! мс. Ю„5 и 2 г",РФа аг Рис. 2.6 Рис.
2.5 2.8. В спектр колебания входит постоянная составляющая с амплитудой 1,1 и гармоники, параметры которых указаны в таблице 2.9. Дискретный спектр рассматриваемой периодической последовательности содержит гармоники с частотами л1'Т=н 20 кГц. В полосу прозрачности приемника, настроенного на частоту 500 кГц, попадает гарлюника, номер которой и=500/20=25. Амплитуда этой гармоники 11„п. 2.4.4) 2А . пис„ (а„)= — яп — —" . ии Т Подставив и=25, А=10 мВ и скважности Т1'т„=20, 15„10, 5, получим для 1и„) соответственно 180, 220, 254 мкВ, О.
2.10. Постоянная составляющая 17с= 13|„гТ, амплитуды гармоник 1/„=:~яп кн —" 11, ч 2,41. Спектры для Т=3 и 4 мкс и1. ип~ Т представлены на рис. 2.7,а и б. При сдвиге (задержке) последовательности на время т„~2 (см. рис. 2.3,6) спектр амплитуд остается неизменным, изменяются лишь начальные фазы гармоник (этот вопрос более подробно рассматривается в задаче 2.13). 2.11. Напряжение — четная функция времени и на интервале — т„12<г(т„12 равно иг(г)=У(1 — 2~~~~т„). В записи ряда Фурье остаются только косинусоидальные члены 11, ч 2.3) г4 02 ю,г 1 2 3 ГИГц ~ 1 2 Е ГИГа ау б Р .2Л и(1)= — "+ ~ ~а„созп — 'к Коэффициенты ряда 1 /2 4 ! l 2Й 2л ЮТ / т„1 а„= — 0~1 — — ~соуп — Йй=, ~! — Созкп — "~.
" Т ~ 1, т./ Т (ло)~т„ 1, т) о Для заданных параметров импульса постоянная составляющая напряжения Уо= — ~= — — "=0*25 В 2 2 Т Амплитуды гармоник 210о 1' 05 10з1 4 1 ллем У„=а„= ~! — совки ' ~= — ~! — соя — ~. !л„!лО 5. 1О-з~ 1О х,~ ло'1, 2 ~ Частоты и амплитуды первых семи гармоник приведены в таблице На рис. 2.8 изображена амплитудная спектральная диаграмма заданной последовательности треугольных импульсов напряжения. У,Ю п,г 41 1 2 3 4 Х 1РгГг~ Рис. 2.8 15 2.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
